建立和解决PDE

为非线性定义一个函数f语法中的系数f指定系数系数．

函数bcMatrix=myfffun（区域、状态）

bcMatrix = 1 + 10 * region.z。^ 2 + region.y;

导入几何图形并检查面标签。

模型= createpde;g = importGeometry(模型,“Plate10x10x1.stl”)；pdegplot（g，“FaceLabels”，“上”，“FaceAlpha”, 0.5)

这些面编号为1到6。

创建系数和边界条件。

c = 1;= 0;d = 1;f = @myfffun;specifyCoefficients(模型,“我是0,' d 'd“c”c“一个”一个,“f”f);applyBoundaryCondition(模型,“边界条件”，“脸”1:6,“u”, 0);

设置零初始条件。

setInitialConditions(模型中,0);

创建一个边长不超过0.3的网格。

generateMesh(模型,“Hmax”, 0.3);

从0到0.2设置时间，解偏微分方程。

tlist=0:0.02:0.2；结果=solvepde（模型，tlist）；

情节切片通过解决方案

创建一个网格(x, y, z)点，在哪里x=5，y取值范围为0 ~ 10，和z取值范围为0 ~ 1。插值这些网格点和所有时间的解。

yy = 0:0.5:10;zz = 0:0.25:1;[YY, ZZ] = meshgrid (YY, ZZ);XX = 5 *的(大小(YY));uintrp = interpolateSolution(结果,XX, YY、ZZ 1:长度(tlist));

解矩阵uintrp有11列，每一列代表一次tlist．取第二列的插值解，它对应时间0.02。

usol=uintrp（：，2）；

的元素usol来自于插值的解XX，YY,ZZ矩阵，每个是5乘21，对应于z-by-y变量。重塑usol以同样的5乘21的尺寸，并绘制解决方案的曲面图。同时制作对应于0.06、0.10和0.20倍的曲面图。

figure usol =重塑(usol,size(XX));次要情节(2、2、1)冲浪(usol)标题(“t = 0.02”)zlim（[0,1.5]）xlim（[1,21]）ylim（[1,5]）usol=uintrp（：，4）；usol=重塑（usol，尺寸（XX））；子地块（2,2,2）冲浪（usol）标题(“t = 0.06”) zlim ([0, 1.5]) xlim ([1, 21]) ylim((1、5))usol = uintrp (:, 6);usol =重塑(usol、大小(XX));次要情节(2,2,3)冲浪(usol)标题(“t = 0.10”) zlim ([0, 1.5]) xlim ([1, 21]) ylim((1、5))usol = uintrp (:, 11);usol =重塑(usol、大小(XX));次要情节(2,2,4)冲浪(usol)标题(‘t=0.20’xlim([0,5]) xlim([1,21]) ylim([1,5])

建立和解决PDE

问题是求解具有零狄利克雷边界条件的复杂几何Poisson方程。泊松方程

偏微分方程工具箱™用于求解这种形式的方程

你可以通过设置来表示这个问题 $$c＝1$$和 $$\mathrm{一个}＝0$$．任意设置 $$f＝10$$．

c = 1;= 0;f = 10;

解决任何三维PDE问题的第一步是创建PDE模型。这是一个容器，用于保存PDE的方程、几何形状、网格和边界条件的数量。创建模型，然后导入“ForearmLink.stl”文件和查看几何。

N = 1;模型= createpde (N);importGeometry(模型,“ForearmLink.stl”）;pdegplot(模型,“FaceAlpha”, 0.5)视图(-42,24)

指定PDE系数

包括PDE系数模型．

specifyCoefficients(模型,“我是0,' d '0,“c”c“一个”一个,“f”f);

在所有面上创建零狄利克雷边界条件。

applyBoundaryCondition(模型,“边界条件”，“脸”1: model.Geometry.NumFaces,“u”, 0);

创建一个网格并解决PDE。

generateMesh(模型);结果= solvepde(模型);

将解决方案绘制为等高线切片

因为边界条件是 $$u＝0$$在所有面上，解决方案 $$u$$仅在内部为非零。若要检查内部，请使用矩形网格覆盖几何体，每个坐标方向的间距为一个单位。

[X, Y, Z] = meshgrid (0:135, 0:35 0:61);

为了绘制和分析，创建一个PDEResults对象从解决方案。在每个网格点上插入结果。

V = interpolateSolution(因此,X, Y, Z);V =重塑(V,大小(X));

绘制不同值的等高线切片 $$z$$．

图colormap飞机contourslice (X, Y, Z, V,[],[], 0:5:60)包含(“x”) ylabel (“y”) zlabel (“z”)颜色栏视图(-11,14)轴平等的

绘制不同值的等高线切片 $$y$$．

图colormap飞机contourslice (X, Y, Z, V,[], 1:6:31,[])包含(“x”) ylabel (“y”) zlabel (“z”)颜色条视图（-62,34）轴平等的

按需计算以节省内存

对于大问题，您可能会在创建精细的3d网格时耗尽内存。此外，在完整的网格上评估解决方案可能非常耗时。为了节省内存和时间，只在您绘制的点进行评估。你也可以使用这种技术来插入倾斜的网格或其他表面。

例如，将解插入到倾斜平面上的网格中 $$0\le x\le 13.5$$， $$0\le y\le 3.5$$, $$z＝x/10+y/2$$.绘制等高线和彩色表面数据。使用精细网格，间距为0.2。

[X，Y]=网格（0:0.2:135,0:0.2:35）；Z=X/10+Y/2；V=插值解算（结果，X，Y，Z）；V=重塑（V，尺寸（X））；图形子地块（2,1,1）轮廓（X，Y，V）；轴平等的标题(“倾斜平面上的等高线图”)包含(“x”) ylabel (“y”) colorbar subplot(2,1,2) surf(X,Y,V，“线条样式”，“没有”）;轴平等的视图（0,90）标题(“倾斜平面上的彩色地块”)包含(“x”) ylabel (“y”) colorbar

导入并查看几何体

模型=createpde；导入几何（模型，“Block.stl”）;pdegplot(模型,“FaceLabels”，“上”，“FaceAlpha”, 0.5)视图(-42,24)

设置边界条件

将面1、2和5设置为粒子可以逃逸的位置。在这些面上，解决方案 $$u＝0$$．在面3、4和6上保持默认的反射边界条件。

applyBoundaryCondition(模型,“边界条件”，“脸”(1、2、5),“u”, 0);

创建PDE系数

PDE是

在偏微分方程工具箱中™ 语法，

这个方程转化为系数c = 1，一个= 0,f=2．输入系数。

c=1；a=0；f=2；特定系数（型号，“我是0,' d '0,“c”c’,“一个”一个,“f”f);

创建网格和解决PDE

初始化网格。

generateMesh(模型);

解偏微分方程。

结果= solvepde(模型);

在等高线切片图中检查解决方案

创建一个网格并将解决方案插入到网格中。

[X, Y, Z] = meshgrid (0:135, 0:35 0:61);V = interpolateSolution(结果,X, Y, Z);V =重塑(V,大小(X));

的5个固定值创建一个等高线切片图y协调。

图colormap飞机轮廓切片（X，Y，Z，V，[]，0:4:16，[]）X标签(“x”) ylabel (“y”) zlabel (“z”)xlim（[0100]）ylim（[0,20]）zlim（[0,50]）轴平等的(-50年,22)colorbar视图

粒子在该点附近的平均退出时间最大 $$（x，y，z）＝（100，0，0）$$．

在抖动和流线图中使用渐变

通过评估解决方案的梯度，更详细地检查解决方案。使用一个相当粗糙的网格，以便您可以看到箭袋和流线图上的细节。

[X, Y, Z] = meshgrid (1:9:99, 1:3:20 1:6:50);[gradx, grady, gradz] = evaluateGradient(结果,X, Y, Z);

画出梯度向量。首先将近似的梯度重塑为网格的形状。

gradx=重塑（gradx，大小（X））；grady=重塑（grady，大小（Y））；gradz=重塑（gradz，大小（Z））；图3（X、Y、Z、gradx、grady、gradz）轴平等的xlabel“x”ylabel“y”zlabel“z”标题(“估计溶液梯度的颤动图”）

绘制近似梯度的流线。从一组稀疏的起始点开始流线。

持有在[sx, sy, sz) = meshgrid ([1, 46], 1:6:20 1:12:50);简化(X, Y, Z, gradx grady, gradz, sx, sy, sz)标题(“带流线的颤抖情节”)举行从

流线显示，较小的y和z给出更大的平均退出时间。他们还表明x-coordinate对u当x很小，但是什么时候呢x是否大于40，较大的值对u．同样的,当z是否小于20，其值影响不大u．