单位盘上的泊松等式

此示例显示了如何在数字上解决泊松方程式，将数值解决方案与精确的解决方案进行比较，并在解决方案关闭之前优化网格。金宝搏官方网站

单位磁盘上的泊松方程可以写入零的单位边界条件 $- Δ 你 = 1$ 在 $Ω$ 那 $你 = 0.$ 在 $δ Ω$ ，在哪里 $Ω$ 是单位磁盘。确切的解决方案是

$你（ X 那 y ） = \frac{1 - X^{2} - y^{2}}{4.} 。$

对于大多数PDE，确切的解决方案是未知的。但是，单位盘上的泊松等式有一个已知的，精确的解决方案，您可以用来了解错误如何降低，因为您将网格缩短。

问题定义

创建PDE模型并包括几何图形。

model = createpde（）;几何Fremedges（模型，@ CircleG）;

绘制几何形状并显示边缘标签以用于边界条件定义。

图pdegplot（模型，“EdgeLabels”那'在'）;轴平等的

图中包含一个坐标轴。轴包含5个类型的类型，文本。

在所有边缘上指定零Dirichlet边界条件。

ApplyBoundaryCondition（模型，'dirichlet'那'边缘'1: model.Geometry.NumEdges,'U', 0);

指定系数。

指定COFEFICERS（模型，“米”，0，'D'，0，'C'，1，'一种'，0，'F'，1）;

解决方案和粗网格的错误

创建一个最大元素尺寸为0.1的网格。

hmax = 0.1;generatemesh（型号，'hmax'，hmax）;图pdemesh（型号）;轴平等的

图中包含一个坐标轴。轴包含2个类型的型号。

解偏微分方程并画出解。

结果= Solvepde（型号）;u =结果。不管地区;pdeplot（模型，'xydata'，U）标题（'数字解决方案'）;Xlabel（'X') ylabel ('是'）

图中包含一个坐标轴。具有标题数值解决方案的轴包含类型贴片的对象。

将此结果与精确的分析解决方案进行比较并绘制错误。

p = model.mesh.nodes;精确=（1  -  p（1，：）。^ 2  -  p（2，：）。^ 2）/ 4;pdeplot（模型，'xydata'，U  - 确切的'）标题（'错误'）;Xlabel（'X') ylabel ('是'）

图中包含一个坐标轴。标题为Error的轴包含patch类型的对象。

金宝搏官方网站具有精制网格的解决方案和错误

在每次迭代中精炼网格并将结果与精确解决方案进行比较时，解决方程。每次细化都会减半Hmax.价值。在误差矢量的无限常态下方精确到网状物 ${5. \cdot 10.}^{- 7.}$ 。

hmax = 0.1;error = [];err = 1;尽管err> 5e-7％运行直到错误<= 5e-7generatemesh（型号，'hmax'，hmax）;%细化网格结果= Solvepde（型号）;u =结果。不管地区;p = model.mesh.nodes;精确=（1  -  p（1，：）。^ 2  -  p（2，：）。^ 2）/ 4;err = norm（U  - 精确'，INF）;％与精确的解决方案相比错误= [错误错误];％保持错误的历史hmax = hmax / 2;结尾

绘制每个迭代的错误矢量的无限常态。误差的值在每次迭代中减少。

绘图（错误，'rx'那“MarkerSize”12);甘氨胆酸ax =;斧子。XTick = 1:元素个数(错误);标题('错误历史'）;Xlabel（'迭代'）;ylabel（'错误的规范'）;

图中包含一个坐标轴。具有标题错误历史记录的轴包含类型线的对象。

绘制最终网格及其相应的解决方案。

图pdemesh（型号）;轴平等的

图中包含一个坐标轴。轴包含2个类型的型号。

图pdeplot（模型，'xydata'，U）标题（'数字解决方案'）;Xlabel（'X') ylabel ('是'）

图中包含一个坐标轴。具有标题数值解决方案的轴包含类型贴片的对象。

将结果与精确的分析解决方案进行比较并绘制错误。

p = model.mesh.nodes;精确=（1  -  p（1，：）。^ 2  -  p（2，：）。^ 2）/ 4;pdeplot（模型，'xydata'，U  - 确切的'）标题（'错误'）;Xlabel（'X') ylabel ('是'）

图中包含一个坐标轴。标题为Error的轴包含patch类型的对象。

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