ode15s
求解刚性微分方程和DAEs -变阶法
语法
[t,y] = 0 (t, t,y)
[t,y] = ode15s(odefun,tspan, 0,options)
[t,y, the,ye,ie] = ode15s(odefun,tspan,y0,options)
= ode15s()＿＿＿）
描述
例子
具有单一解决方案组件的ODE
具有单个解决方案组件的简单ode可以在求解器调用中指定为匿名函数。匿名函数必须接受两个输入(t, y)即使其中一个输入没有被使用。
求解ODE
使用时间间隔为(0, 2)初始条件Y0 = 1。
Tspan = [02];Y0 = 1;[t,y] = ode15s(@(t,y) -10*t, tspan, y0);
画出解。
情节(t y“o”）
解决僵硬的ODE
刚性方程组的一个例子是松弛振荡中的范德波尔方程。极限环有一些区域，其中解的分量变化缓慢，问题很僵硬，交替出现一些变化非常剧烈的区域，而不是僵硬的区域。
方程组为:
初始条件为
和
。这个函数vdp1000随MATLAB®发货并对方程进行编码。
函数Dydt = vdp1000(t,y)%VDP1000求mu = 1000时的范德Pol ode值。％%参见ODE15S, ODE23S, ODE23T, ODE23TB。杰塞克·基尔岑卡和劳伦斯·f·香蒲版权所有:The MathWorks, Inc。Dydt = [y(2);1000 * (1 y (1) ^ 2) * y (2) - y (1)];
用数值具有默认的相对和绝对误差容限(1 e - 3和1 e-6)非常慢，需要几分钟来求解和绘制解决方案。数值由于难以满足公差的刚度区域，需要数百万个时间步骤来完成集成。
这是由数值，这需要很长时间来计算。注意通过刚性区域所需的大量时间步长。
求解刚性系统ode15s求解器，然后画出解的第一列y对比时间点t。的ode15s求解器通过刚性区域的步骤远少于数值。
[t,y] = ode15s(@vdp1000，[0 3000]，[00]);情节(t y (: 1),“o”）
传递额外的参数给ODE函数
ode15s只适用于使用两个输入参数的函数，t和y。但是，您可以在函数外部定义额外的参数，并在指定函数句柄时传入它们。
求解ODE
将方程改写成一阶方程组
odefcn.m将这个方程组表示为一个接受四个输入参数的函数:t，y，一个,B。
函数dydt = odefcn(t,y,A,B) dydt = 0 (2,1);Dydt (1) = y(2);dydt(2) = (A/B)*t.*y(1);
使用以下命令求解ODEode15s。指定函数句柄，以便它传递的预定义值一个和B来odefcn。
A = 1;B = 2;span = [0 5];Y0 = [0 0.01];[t、y] = ode15s (@ (t, y) odefcn (t, y, A、B), tspan, y0);
绘制结果。
情节(t y (: 1),“o”、t、y (:, 2),“-”。）
比较Stiff ODE求解器
的ode15s求解器是大多数刚性问题的首选。然而，对于某些类型的问题，其他刚性求解器可能更有效。本例使用所有四个刚性ODE求解器求解一个刚性测试方程。
考虑测试方程
随着的大小，方程变得越来越僵硬
增加。使用
初始条件
在时间间隔内0.5 [0]。有了这些值，问题就很棘手了数值和ode23努力对方程进行积分。此外,使用odeset传入常数雅可比矩阵
并打开解算器统计信息的显示。
λ = 1e9;Opts = odeset()“统计数据”，“上”，的雅可比矩阵λ);Tspan = [0 0.5];Y0 = 1;次要情节(2 2 1)disp (“ode15s统计:”）
ode15s统计:
Tic, ode15s(@(t,y) -lambda*y, tspan, y, options)， toc
104个成功步骤1次失败尝试212个函数评估0个偏导数21个LU分解210个线性系统的解运行时间为2.240989秒。金宝搏官方网站
标题(“ode15s”) subplot(2,2,2)＇ ＇）
disp (“ode23s统计:”）
ode23s统计:
Tic, ode23s(@(t,y) -lambda*y, tspan, y, options)， toc
63个成功步骤0个失败尝试191个函数评估0个偏导数63个LU分解189个线性系统的解运行时间为0.554184秒。金宝搏官方网站
标题(“ode23s”) subplot(2,2,3)＇ ＇）
disp (“ode23t统计:”）
ode23t统计:
Tic, ode23t(@(t,y) -lambda*y, tspan, y0, options)， toc
95次成功步骤0次失败尝试125次函数求值0次偏导数28次LU分解线性系统123个解运行时间为0.831466秒。金宝搏官方网站
标题(“ode23t”) subplot(2,2,4)＇ ＇）
disp (“ode23tb统计:”）
ode23tb统计:
Tic, ode23tb(@(t,y) -lambda*y, tspan, y0, options)， toc
71次成功的步骤0次失败的尝试167次函数评估0次偏导数23次LU分解236次线性系统的解运行时间为0.737902秒。金宝搏官方网站
标题(“ode23tb”）
硬解器都表现得很好，但是ode23s针对此特定问题，以最少的步骤完成集成并以最快的速度运行。由于确定了雅可比矩阵常数，因此求解器不需要计算偏导数来计算解。指定雅可比收益ode23s因为它通常在每一步中求雅可比矩阵。
对于一般的刚性问题，刚性求解器的性能取决于问题的格式和指定的选项。提供雅可比矩阵或稀疏模式总是能提高求解刚性问题的效率。但是，由于刚性求解器使用的雅可比矩阵不同，因此改进的效果差别很大。实际上，如果一个方程系统非常大，或者需要求解很多次，那么研究不同求解器的性能以最小化执行时间是值得的。
评估和扩展解决方案结构
范德波尔方程是一个二阶ODE
解范德波尔方程
使用ode15s。这个函数vdp1000.m随MATLAB®发货并对方程进行编码。指定单个输出以返回包含有关解决方案的信息的结构，例如求解器和求值点。
Tspan = [0 3000];Y0 = [20];(@vdp1000,tspan,y0)
索尔=带有字段的结构体:Solver: 'ode15s' extdata: [1x1 struct] x: [1x592 double] y: [2x592 double] stats: [1x1 struct] data: [1x1 struct]
使用linspace在区间内生成2500个点3000年[0]。在这些点上评估解决方案的第一个组件德瓦尔。
X = linspace(0,3000,2500);Y = deval(sol,x,1);
画出解。
情节(x, y)
将解决方案扩展到
使用odextend并将结果添加到原始情节中。
Tf = 4000;Sol_new = oextend (sol，@vdp1000,tf);X = linspace(3000,tf,350);Y = deval(sol_new,x,1);持有在情节(x, y,“r”）
半显式微分代数方程(DAEs)求解Robertson问题
本例将ode系统重新表述为微分代数方程(DAEs)系统。发现的罗伯逊问题hb1ode.m是解决僵硬ode的程序的经典测试问题。方程组是
hb1ode在初始条件下求解了该系统的稳态
，
,
。但方程也满足线性守恒定律，
对于解和初始条件，守恒律为
用守恒定律来确定的状态，方程组可以改写为DAEs系统
。这将问题重新表述为DAE系统
这个系统的微分指数是1，因为只有一个导数需要使它成为一个ode系统。因此，在求解系统之前不需要进一步的转换。
这个函数robertsdae对DAE系统进行编码。保存robertsdae.m在当前文件夹中运行示例。
函数= robertsdae (t、y) = [-0.04 * y (1) + 1 e4 * y(2)。* y y (1) - (3) 0.04 * 1 e4 * y(2)。* y (3) - 3 e7 * y(2)。^2 y(1) + y(2) + y(3) - 1];
完整的示例代码为这个公式的罗伯逊问题是可用的hb1dae.m。
解决DAE系统的使用ode15s。的一致初始条件y0根据守恒定律是很明显的。使用odeset设置选项:
用一个常数质量矩阵来表示方程组的左边。
设置相对容错为
1的军医。使用的绝对容忍度
1平台以及对于第二个解决方案组件，由于规模与其他组件差异很大。离开
“MassSingular”选项的默认值“也许”来测试DAE的自动检测。
Y0 = [1;0;0);Tspan = [0 4*logspace(-6,6)];M = [1 0 0];0 0 0;0 0 0];选项= odeset()“质量”米,“RelTol”1的军医,“AbsTol”，[1e-6 1e-10 1e-6]);[t,y] = ode15 (@robertsdae,tspan,y0,options);
画出解。
Y (:，2) = 1e4* Y (:，2);semilogx (t、y);ylabel ('1 * y(:，2)'）;标题(“带有守恒定律的罗伯逊DAE问题，由ODE15S解决”）;
输入参数
输出参数
算法
ode15s是基于1 ~ 5阶数值微分公式(ndf)的变步长变阶(VSVO)求解器。它还可以选择使用通常效率较低的后向微分公式(bdf，也称为Gear方法)。就像ode113，ode15s是一个多步求解器。使用ode15s如果数值失败或效率很低，你怀疑问题很僵硬，或者在解微分代数方程(DAE)时[1]，[2]。
参考文献
[qh]香蒲，L. F.和M. W.赖切尔特，MATLAB ODE套件”,SIAM科学计算杂志， 1997年第18卷，第1-22页。
[b]香波，L. F.， M. W. Reichelt，和J.A. Kierzenka，用MATLAB和Simulink求解Index-1 DAEs金宝app”,暹罗审查， 1999年第41卷，第538-552页。
