引导使用链梯法

这个例子展示了如何应用链梯引导方法生成数developmentTriangle估计最终的索赔对象。

确定性索赔评估方法产生点的估计储备值没有这些估计的不确定性信息。随机说法估计方法的目标是评估估计储备值的变化。链梯自举的方法是一种基于仿真的方法随机修改developmentTriangle数据和产生一个分布的估计储量代表估计储备的变化值。这个例子是基于伍斯里奇和梅尔兹(1]。

加载数据

负载(“InsuranceClaimsData.mat”);disp(头(数据));

__________ OriginYear DevelopmentYear ReportedClaims PaidClaims __________售予* * * 36 2010 12 3995.7 1893.9 2010 24 4635 3371.2 2010 4866.8 4079.1 2010年48 4805.6 5038.8 4964.1 5013.7 - 4711.4 4487 2010 2010 72 2010 84 5059 2010 96 5074.1 4877.9 4853.7

创建`developmentTriangle`

创建一个developmentTriangle对象和使用claimsPlot形象化developmentTriangle。无偿索赔估计的更多信息,请参阅非寿险保险索赔评估方法的概述。

dTriangle = developmentTriangle(数据);dTriangleTable =视图(dTriangle);%可视化开发三角形claimsPlot (dTriangle)

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象标题累积索赔发展包含10线类型的对象。这些对象代表2010,2011,2012,2013,2014,2015,2016,2017,2018,2019。

分析`developmentTriangle`

的developmentTriangle链接比率估计使用公式:

$\hat{f_{j}} = \frac{\sum_{我 = 0}^{我 - - - - - - j - - - - - - 1} C_{我, j + 1}}{\sum_{我 = 0}^{我 - - - - - - j - - - - - - 1} C_{我, j}}$

使用linkRatios计算age-to-age因素。

factorsTable = linkRatios (dTriangle);

使用linkRatioAverages计算的平均age-to-age因素。

averageFactorsTable = linkRatioAverages (dTriangle);disp (averageFactorsTable);

12 - 24 24-36 36-48 48-60 60 - 72 72 - 84 84 - 96 96 - 108 108 - 120交交交专攻_________简单平均1.1767 1.0563 1.0249 1.0107 1.0054 1.0038 1.003 1.002 1.001简单平均-最新5 1.172 1.056 1.0268 1.0108 1.0054 1.0038 1.003 1.002 1.001简单平均-最新3 1.17 1.0533 1.027 1.0117 1.0057 1.0037 1.003 1.002 1.001内侧平均-最新5 x1 1.1733 1.0567 1.0267 1.0103 1.005 1.004 1.003 1.002 1.001成交量加权平均1.1766 1.0563 1.025 1.0107 1.0054 1.0038 1.003 1.002 1.001成交量加权平均-最新5 1.172 1.056 1.0268 1.0108 1.0054 1.0038 1.003 1.002 1.001成交量加权平均-最新3 1.1701 1.0534 1.027 1.0117 1.0057 1.0037 1.003 1.002 1.001几何平均-最新4 1.17 1.055 1.0267 1.011 1.0055 1.0037 1.003 1.002 1.001

显示所选age-to-age因素表,计算累积发展因素(CDF)使用cdfSummary。

dTriangle。SelectedLinkRatio = averageFactorsTable {成交量加权平均的,:};currentSelectedFactors = dTriangle.SelectedLinkRatio;dTriangle。TailFactor = 1;selectedFactorsTable = cdfSummary (dTriangle);disp (selectedFactorsTable);

12 - 24 24-36 36-48 48-60 60 - 72 72 - 84 84 - 96 96 - 108 108 - 120最终由____ ____累积累积累积______月______选择1.1766 1.0563 1.025 1.0107 1.0054 1.0038 1.003 1.002 1.001 1提供终极1.3072 1.111 1.0518 1.0261 1.0153 1.0098 1.006 1.003 1.001 1%的总索赔0.76501 0.90008 0.95075 0.97453 0.98496 0.9903 0.99402 0.99701 0.999 1

显示最新的对角线。

latestDiagonal = dTriangle.LatestDiagonal;

计算预计最终使用ultimateClaims。

projectedUltimateClaims = ultimateClaims (dTriangle);

显示完整的开发使用三角形fullTriangle。

fullTriangleTable = fullTriangle (dTriangle);disp (fullTriangleTable);

12 24 36 48 60 72 84 96 108 120最终交交交交交________ 2010 3995.7 4635 4866.8 4964.1 5013.7 5038.8 5059 5074.1 5084.3 5089.4 5089.4 2011 3968 4682.3 4963.2 5062.5 5113.1 5138.7 5154.1 5169.6 5179.9 5185.1 5185.1 2012 4217 5060.4 5364 5508.9 5558.4 5586.2 5608.6 5625.4 5636.7 5642.3 5642.3 2013 4374.2 5205.3 5517.7 5661.1 5740.4 5780.6 5803.7 5821.1 5832.7 5838.6 5838.6 2014 4499.7 5309.6 5628.2 5785.8 5849.4 5878.7 5900.8 5918.5 5930.3 5936.3 5936.3 2015 4530.2 5300.4 5565.4 5715.7 5772.8 5804.1 5825.9 5843.4 5855.1 5861 5861 2016 4572.6 5304.2 5569.5 5714.3 5775.4 5806.7 5828.6 5846.1 5857.7 5863.6 5863.6 2017 4680.6 5523.1 5854.4 6000.9 6065.1 6098 2018 6120.9 6139.3 6151.6 6157.7 6157.7 4696.7 5495.1 5804.4 6105.1 5949.6 6013.3 6045.9 6068.6 6086.8 6099 6105.1 2019 4945.9 5819.2 6146.7 6300.5 6367.9 6402.4 6426.5 6445.8 6458.7 6465.2 6465.2

计算出总储备使用ultimateClaims。

IBNR = ultimateClaims (dTriangle)——dTriangle.LatestDiagonal;IBNR = array2table (IBNR,“RowNames”dTriangleTable.Properties.RowNames,“VariableNames”,{“IBNR”});IBNR {“总”1}=总和(IBNR {:,:});disp (IBNR);

IBNR ______ 2010 0 2011 5.1857 2012 16.89 2013 34.886 2014 57.583 2015 88.148 2016 149.34 2017 303.29 2018 609.99 2019 1519.3总2784.6

引导链梯

推导出重采样方法,时间序列模型的传播变为免费链梯(CL)模型被定义为:

$C_{我, j + 1} = f_{j} C_{我, j} + σ_{j} \sqrt{C_{我, j}} ϵ_{我, j + 1}$

上面的链接比选,伍斯里奇(1和麦克2)表明,标准偏差估计为:

${\hat{σ_{j}}}^{2} = \frac{1}{我 - - - - - - j - - - - - - 1} \sum_{我 = 0}^{我 - - - - - - j - - - - - - 1} C_{我, j} {(\frac{C_{我, j + 1}}{C_{我, j}} - - - - - - \hat{f_{j}})}^{2}$

${\hat{σ_{J - - - - - - 1}}}^{2} = 最小值 {\frac{{\hat{σ_{J - - - - - - 2}}}^{4}}{{\hat{σ_{J - - - - - - 3}}}^{3}}; {\hat{σ_{J - - - - - - 3}}}^{2}; {\hat{σ_{J - - - - - - 2}}}^{2}}$

estimatedStandardDeviations = currentSelectedFactors;为i = 1:宽度(estimatedStandardDeviations) 1 estimatedStandardDeviations 1,我=√(和(((factorsTable{1:我,我}- currentSelectedFactors(:,我))^ 2)。* dTriangleTable{1:我,我})/(高度(dTriangleTable)我));结束estimatedStandardDeviations (1) =√min ([estimatedStandardDeviations (1, end-1) ^ 4 / estimatedStandardDeviations (end-2) ^ 2, estimatedStandardDeviations (end-2) ^ 2, estimatedStandardDeviations (1, end-1) ^ 2)));disp (estimatedStandardDeviations);

列1到7 0.8667 0.3699 0.2420 0.1310 0.0673 - 0.0361 0.0001 - 0.0001 0.0001列8到9

应用引导方法,你需要找到合适的残差,允许建设的经验分布 $\hat{F_{n}}$ 构建引导观察。

考虑下面的残差 $我 + j \leq 我, j \geq 1$ 。

$\tilde{ϵ_{我, j}} = \frac{F_{我, j} - - - - - - \hat{f_{j - - - - - - 1}}}{σ_{j - - - - - - 1} C_{我, j - - - - - - 1}^{- - - - - - 1 / 2}}$ 在哪里 $F_{我, j} = \frac{C_{我, j}}{C_{我, j - - - - - - 1}}$

伍斯里奇(后1),你可以向上扩展残差来调整他们的方差。们残差会导致模拟轻尾分布。

调整剩余工资,这样引导分布有一个调整方差函数。

$Z_{我, j} = {(1 - - - - - - \frac{C_{我, j - - - - - - 1}}{\sum_{我 = 0}^{我 - - - - - - j} C_{我, j - - - - - - 1}})}^{- - - - - - \frac{1}{2}} \frac{F_{我, j} - - - - - - \hat{f_{j - - - - - - 1}}}{\hat{σ_{j - - - - - - 1}} C_{我, j - - - - - - 1}^{- - - - - - \frac{1}{2}}}$

您可以应用引导算法使用三个不同的版本:

埃夫隆对残差的非参数引导 $\tilde{ϵ_{我, j}}$
埃夫隆的非参数引导残差 $Z_{我, j}$
参数引导下的残差有一个标准的高斯分布假设, $Z_{我, j}^{*}$ 是重新取样 $N (0, 1)$

这个示例使用第二个版本(埃夫隆的非参数引导了残差)来计算 $Z_{我, j}$ 。

%创建一个复制的因素表和修改它来创建的%剩余工资表残差= factorsTable.Variables;colSums =总和(dTriangle.Claims,“omitnan”);为i = 1:高度(残差)为j = 1:宽度(残差)残差(i, j) = (1 - (dTriangleTable {i, j} / colSums (j))) ^ -0.5 * (factorsTable {i, j} - currentSelectedFactors (j)) / (estimatedStandardDeviations (j) * (dTriangleTable {i, j} ^ -0.5));结束结束

的残差 ${Z_{我, j}, 我 + j \leq 我}$ 定义一个引导分布。

residualsVector =残差(:);residualsVector (isnan (residualsVector)) = [];直方图(residualsVector 10)标题(按比例缩小的残差的)包含(“剩余价值”)ylabel (“频率”)

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象与标题扩展残差包含一个直方图类型的对象。

模拟一个新的储备场景引导方法,遵循这些步骤。

步骤1:重新取样一个三角形引导的残差分布。

重新取样的独立同分布(先验知识)剩余工资 ${{Z^{*}}_{我, j}, 我 + j \leq 我}$ 从引导分布。

resampledResiduals =残差;rng (“默认”);rng (1);为i = 1:高度(残差)1为j = 1:宽度(残差)- i + 1 resampledResiduals (i, j) = datasample(残差(~ isnan(残差),1);结束结束disp (resampledResiduals);

列1到7 -1.5522 -0.5120 -1.2668 0.7776 -1.3649 0.2799 -0.5495 -0.4041 -1.5522 -0.4784 -1.2189 -0.7591 0.2610 -0.4784 -0.4091 -1.3649 -0.5495 -1.6767 -0.8571 -1.3143 -0.4879 -0.7591 1.3226 1.0791 0.2799 -1.5522 -0.8571 0.3243 -0.4879 0.2610 0.2861 -0.7591南南南1.9550 0 1.9550 -1.3143 -0.4784 0.5556 -1.2668南南南南南南南0.7693 0.5169 0.2799南南南南南南南南南南南南南南南南南南列8到9 -1.3146 -1.5364 -1.5522南南南南南南南南南南南南南南南南南

步骤2:计算引导要求。

定义 $C_{我, 0}^{*} = C_{我, 0}$ 和, $j \geq 1$ 假设:

$C_{我, j}^{*} = \hat{f_{j - - - - - - 1}} C_{我, j - - - - - - 1}^{*} + \hat{σ_{j - - - - - - 1}} \sqrt{C_{我, j - - - - - - 1}^{*}} Z_{我, j}^{*}$

这个表达式代表了新的模拟要求值。使用模拟要求的值,您可以创建一个新的developmentTriangle估计新的储备值。

bootstrappedClaims = dTriangleTable.Variables;为j = 2:宽度(bootstrappedClaims) bootstrappedClaims (:, j) = currentSelectedFactors (j - 1)。* bootstrappedClaims (:, j - 1) + estimatedStandardDeviations (j - 1)。* sqrt (bootstrappedClaims (:, j - 1))。* resampledResiduals (:, j - 1);结束stackedClaims =重塑(bootstrappedClaims ', 100, (1);stackedClaims = stackedClaims (~ isnan (stackedClaims));newData =数据;newData。值= stackedClaims;bootstrappedDevelopmentTriangle = developmentTriangle (newData,“索赔”,“值”);

步骤3:选择一个链接比例与模型一致。

成交量加权平均是一致的联系比模型用于这个引导的方法。

bootstrappedAverageFactorsTable = linkRatioAverages (bootstrappedDevelopmentTriangle);bootstrappedDevelopmentTriangle。SelectedLinkRatio = bootstrappedAverageFactorsTable {成交量加权平均的,:};bootstrappedDevelopmentTriangle。TailFactor = 1;bootstrappedSelectedFactorsTable = cdfSummary (bootstrappedDevelopmentTriangle);disp (bootstrappedSelectedFactorsTable);

12 - 24 24-36 36-48 48-60 60 - 72 72 - 84 84 - 96 96 - 108 108 - 120最终累积累积______月______累积_________ ________选择1.1751 1.054 1.0253 1.0099 1.0048 1.0036 1.003 1.002 1.001 1提供终极1.301 1.1072 1.0504 1.0245 1.0145 1.0096 1.006 1.003 1.001 1%的总索赔0.76861 0.90321 0.952 0.97609 0.98572 0.9905 0.99403 0.99701 0.999 1

使用fullTriangle显示充分发展三角形对应于选中的链接比例。

bootstrappedFullTriangle = fullTriangle (bootstrappedDevelopmentTriangle);disp (bootstrappedFullTriangle);

12 24 36 48 60 72 84 96 108 120最终交交交交交________ 2010 3995.7 4616.2 4863.2 4963.4 5023.7 5044.5 5064.1 5079.3 5089.5 5094.6 5094.6 4646.6 2011 3968 4869 4982.8 5024.8 5048.4 5068.1 5083.3 5093.4 5098.5 5098.5 2012 4217 4938.6 5181.1 5301.1 5341.9 5366.6 5383.3 5399.5 5410.2 5415.6 5415.6 2013 4374.2 5103.1 5425.3 5580.2 5642.5 5674.5 5693.8 5710.9 5722.3 5728 5728 2014 4499.7 5310.5 5567.5 5691.3 5755.4 5784.2 5804.8 4530.2 5253.5 5536.3 5684.8 5733.2 5822.2 5833.8 5839.6 5839.6 2015 5761 2016 5781.5 5798.8 5810.4 5816.2 5816.2 4572.6 5494.6 5803.9 5985.1 6044.2 6073.5 6095.1 6113.4 6125.6 6131.7 6131.7 2017 4680.6 5552.6 5879.4 6028.2 6087.7 6117.2 6139 6157.4 2018 6169.7 6175.9 6175.9 4696.7 - 5542.6 5842 5989.8 6048.9 6078.2 6099.9 4945.9 6118.2 6130.4 6136.5 6136.5 2019 5812 6126 6281 6343 6373.7 6396.4 6415.6 6428.4 6434.8 - 6434.8

第四步:计算出总储量。

从模拟计算总储量developmentTriangle。

bootstrappedDevelopmentTriangleTable =视图(bootstrappedDevelopmentTriangle);bootstrappedIBNR = ultimateClaims (bootstrappedDevelopmentTriangle)——bootstrappedDevelopmentTriangle.LatestDiagonal;bootstrappedIBNR = array2table (bootstrappedIBNR,“RowNames”bootstrappedDevelopmentTriangleTable.Properties.RowNames,“VariableNames”,{“IBNR”});bootstrappedIBNR {“总”1}=总和(bootstrappedIBNR {:,:});disp (bootstrappedIBNR);

IBNR ______ 2010 0 2011 5.0881 2012 16.188 2013 34.197 2014 55.485 2015 83.048 2016 146.61 2017 296.45 2018 593.94 2019 1489 2720

你可以多次重复前面的步骤genreate,模拟,储备的分布。模拟生产储备每年和总储备。

模拟多个引导场景

创建1000年引导发展三角形和计算incurred-but-not-reported (IBNR)developmentTriangle。

n = 1000;simulatedIBNR = 0 (10 n);为i = 1: n simulatedResiduals =残差;为j = 1:高度(残差)1为k = 1:宽度(残差)- j + 1 simulatedResiduals (j, k) = datasample(残差(~ isnan(残差),1);结束结束simulatedClaims = dTriangleTable.Variables;为j = 2:宽度(simulatedClaims) simulatedClaims (:, j) = currentSelectedFactors (j - 1)。* simulatedClaims (:, j - 1) + estimatedStandardDeviations (j - 1)。* sqrt (simulatedClaims (:, j - 1))。* simulatedResiduals (:, j - 1);结束simulatedClaims =重塑(simulatedClaims ', 100, (1);simulatedClaims = simulatedClaims (~ isnan (simulatedClaims));simulatedData =数据;simulatedData。ReportedClaims = simulatedClaims;simulatedDevelopmentTriangle = developmentTriangle (simulatedData);simulatedAverageFactorsTable = linkRatioAverages (simulatedDevelopmentTriangle);simulatedDevelopmentTriangle。SelectedLinkRatio = simulatedAverageFactorsTable {成交量加权平均的,:};simulatedDevelopmentTriangle。TailFactor = 1;simulatedLatestDiagonal = simulatedDevelopmentTriangle.LatestDiagonal;simulatedProjectedUltimateClaims = ultimateClaims (simulatedDevelopmentTriangle);simulatedIBNR (:, i) = simulatedProjectedUltimateClaims - simulatedLatestDiagonal;结束simulatedIBNR(+ 1,:) =总和(simulatedIBNR);

选择一年的阴谋IBNR的分布,计算均值,意味着计算确定的值进行比较。

originYear =5;直方图(simulatedIBNR (originYear + 1,:));持有在;情节(意思是(simulatedIBNR (originYear + 1,:)), 0,“O”,“线宽”2)图(IBNR {originYear + 1, 1}, 0,“X”,“线宽”2);传奇(“模拟IBNR”,(”模拟的意思是:“num2str(圆(意思是(simulatedIBNR (originYear + 1,:)), 2))), (“确定性IBNR:”num2str(圆(IBNR {originYear + 1, 1}, 2))));持有从;

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象包含3直方图类型的对象。这些对象代表IBNR模拟,模拟的意思是:88.91,确定性IBNR: 88.15。

情节IBNRs直方图的总数,模拟手段,和确定的值。

:直方图(simulatedIBNR(11日));持有在;:情节(平均(simulatedIBNR(11日)),0,“O”,“线宽”2)图(IBNR{11日1},0,“X”,“线宽”2);传奇(“模拟总IBNR”,(”模拟的意思是:“num2str(圆(意思是(simulatedIBNR(11日:)),2))),(“确定性总IBNR:”num2str(圆(IBNR{11日1},2))));持有从;