单因素模型校准

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这个例子演示了校准一个单因素模型的技术，该模型用于估计投资组合信贷损失连词或迁移copula类。

此示例使用股票回报数据作为信贷波动的代理。使用股票数据，对单个因素的敏感性估计为股票和指数之间的相关性。数据集包含一系列股票的每日回报数据，但单因素模型需要每年进行校准。假设没有若要计算相关性，则股票与市场指数之间的每日互相关等于年度互相关。对于表现出自相关的股票，此示例说明如何计算包含自相关效应的隐含年度相关性。

拟合单因素模型

由于公司违约非常罕见，在校准违约模型时，通常使用信用度代理。单因素copula使用潜在变量对公司的信用度进行建模，A.:

$A. = W X + \sqrt{1. - W^{2.}} ϵ$

哪里X是系统信用因素,，W是定义公司对某一因素敏感性的权重，以及 $ϵ$ 是特质因素。W和 $ϵ$ 平均值为0，方差为1，通常假设为高斯分布或t分布。

计算X和A.:

$C o R R (A., X) = \frac{C o v (A., X)}{σ_{A.} σ_{X}}$

自从X和A.差异1.通过建设和 $ϵ$ 是不相关的X，然后：

$\begin{aligned} C o R R (A., X) & = C o v (A., X) = C o v (W X + \sqrt{1. - W^{2.}} ϵ, X) \\ = W C o v (X, X) + \sqrt{1. - W^{2.}} C o v (X, ϵ) = W \end{aligned}$

如果您使用股票回报作为A.而市场指数回报是X，然后是权重参数，W，是股票和指数之间的相关性。

准备数据

使用道琼斯工业平均指数（DJIA）的回报作为市场整体信贷变动的信号。30家组成公司的回报用于校准每家公司对系统信贷变动的敏感性。股票市场中其他公司的权重也以同样的方式进行估计。

%阅读一年的道琼斯工业平均指数价格数据t=可读性(“dowPortfolio.xlsx”）;表格包含日期和每个公司在市场收盘时的价格%还有DJIA。显示（标题（t（：，1:7）））

日期收AA AIG AXP英航C  _________ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 1/3/2006 10847 28.72 68.41 51.53 68.63 45.26 1/4/2006 10880 28.89 68.51 51.03 69.34 44.42 1/5/2006 10882 29.12 68.6 51.57 68.53 44.65 1/6/2006 10959 29.02 68.89 51.75 67.57 44.65 1/9/2006 11012 29.37 68.57 53.04 28.44 69.18 - 52.88 67.33 - 44.57 67.01 - 44.43 1/10/2006 110121/11/2006 11043 28.05 69.6 52.59 68.3 44.98 1/12/2006 10962 27.68 69.04 52.6 67.9 45.02

%我们将日期和索引从表中分离出来，并使用% tick2ret。日期=t{2:end，1}；指数=t{：，2}；股票=t{：，3:end}；指数=tick2ret（指数=index\u adj\u close）；股票=tick2ret（股票=stocks\u adj\u close）；

计算单因素权重

根据每个公司的指数收益和股票收益之间的相关系数计算单因素权重。

[C，daily_pval]=corr（[index_returns stock_returns]）；w_daily=C（2:end，1）；

使用单因子时，可以直接使用这些值连词或迁移copula.

线性回归通常用于因子模型中。对于单因素模型，利用相关系数与确定系数的平方根相匹配的事实，使用股票收益与市场收益的线性回归(R-平方)的线性回归。

w_每日回归=零（30,1）；对于I = 1:30 lm = fitlm(index_returns,stocks_returns(:， I));w_daily_regress (i) =√lm.Rsquared.Ordinary);终止%回归的R值等于指数互相关fprintf('最大Abs差异：%e\n'，最大值（abs（w_日回归（：）-w_日回归（：））

最大Abs差值：7.771561e-16

这种线性回归适合这种形式的模型 $A. = α + β X + ϵ$ ，它通常不符合单因素模型规范。例如, $A.$ 和 $X$ 平均值不为零，标准偏差不为1。通常，系数之间没有关系 $β$ 以及误差项的标准偏差 $ϵ$ . 上述线性回归仅作为一种工具，用于获得变量之间的相关系数，该系数由变量的平方根给出R平方值。

对于单因素模型校准，一个有用的替代方法是使用标准化股票和市场回报数据拟合线性回归 $\tilde{A.}$ 和 $\tilde{X}$ 这里的“标准化”是指减去平均值，除以标准偏差。模型为 $\tilde{A.} = \tilde{α} + \tilde{β} \tilde{X} + \tilde{ϵ}$ .但是，因为 $\tilde{A.}$ 和 $\tilde{X}$ 平均值为零，即截距 $\tilde{α}$ 总是零，因为两者都是 $\tilde{A.}$ 和 $\tilde{X}$ 如果标准偏差为1，则误差项的标准偏差满足 $性病 (\tilde{ϵ}) = \sqrt{1. - \tilde{β^{2.}}}$ 。这完全符合单因素模型系数的规格。单因素参数 $W$ 为系数 $\tilde{β}$ ，与之前通过关联直接找到的值相同。

w_回归标准=0（30,1）；指数回报标准=zscore（指数回报）；股票回报标准=zscore（股票回报）；对于I = 1:30 lm = fitlm(index_returns_std,stocks_returns_std(:， I));w_regress_std (i) = lm。系数{“x1”,“估计”};终止%回归的R值等于指数互相关fprintf('最大Abs差异：%e\n'，最大值（绝对值（回归标准（：）-w每日（：））

最大Abs差值：5.551115e-16

这种方法使得探索变量的分布假设变得自然连词和迁移copula对象支持正常分布金宝app或T基础变量的分布。例如，使用normplot市场回报率有严重的尾部，因此T-copula更符合数据。

normplot (index_returns_std)

估计较长时期的相关性

权重是根据股票和指数之间的每日相关性计算的。然而，通常的目标是估计未来某个时间（通常是一年后）信用违约的潜在损失。

为此，有必要对权重进行校准，使其与一年期相关性相对应。由于数据点的稀疏性，任何合理的数据集都没有足够的数据在统计上具有显著性，因此直接根据历史年收益数据进行校准是不实际的。

然后，你要面对的问题是，如何从更频繁的抽样数据集(例如，日收益率)计算年收益率相关性。解决这个问题的一种方法是使用重叠窗口。通过这种方式，您可以考虑给定长度的所有重叠周期的集合。

%作为一个例子，考虑一个重叠的1周窗口。索引重叠返回=索引调整关闭（6:end）。/index调整关闭（1:end-5）-1；股票重叠收益率=股票调整收盘（6:end，：）/股票调整收盘（1:end-5，：）-1；C=corr（[指数重叠回报股票重叠回报]）；w_每周重叠=C（2：结束，1）；%将相关性与每日相关性进行比较。%显示每日与每周重叠的相关性barh（[w_daily w_weekly_overlapping]）yticks（1:30）Ytick标签（t.Properties.VariableNames（3:end））标题(“与指数的相关性”)；传奇(“每日”,“重叠周刊”）;

最大互相关P-日收益率的值具有很强的统计意义。

maxdailypvalue=max（daily_pval（2:end，1））；disp（table）（maxdailypvalue，...“变化无常”, {“每日”},...“rownames”, {“最大p值”}))

每日最大p值1.5383e-08

移动到重叠滚动窗口样式的每周相关性会给出稍微不同的相关性。这是一种从每日数据估计较长周期相关性的方便方法。但是，相邻重叠窗口的收益是相关的，因此相应的P-重叠周回报的值无效，因为P-中的价值计算科尔函数不考虑重叠的窗口数据集。例如，相邻的重叠窗口返回由许多相同的数据点组成。这种折衷是必要的，因为移动到非重叠窗口可能会导致不可接受的稀疏样本。

%与不重叠的周回报率相比周五= weekday(dates) == 6;index_weekly_close = index_adj_close(星期五);: stocks_weekly_close = stocks_adj_close(星期五);index_weekly_returns = tick2ret (index_weekly_close);stocks_weekly_returns = tick2ret (stocks_weekly_close);[C,weekly_pval] = corr([index_weekly_returns stocks_weekly_returns]); / /每个星期返回一个星期w_weekly_nonoverlapping = C(2:结束,1);maxweeklypvalue = max (weekly_pval(2:最终,1));%对比日与重叠的相关性。barh（[w_daily w_weekly_overlapping w_weekly_Non overlapping]）yticks（1:30）Ytick标签（t.Properties.VariableNames（3:end））标题(“与指数的相关性”)；传奇(“每日”,“重叠周刊”,“非重叠每周”）;

这个P-非重叠周相关性的值要高得多，表明统计意义的损失。

%计算每个系列的样本数量numDaily=nummel（索引返回）；nummoverlapping=nummel（索引重叠返回）；numWeekly=nummel（索引每周返回）；disp（表（[maxdailypvalue；numDaily]，[NaN；nummoverlapping]，[maxweeklypvalue；numWeekly]，...“变化无常”, {“每日”,“重叠”,“Non_Overlapping”},...“rownames”, {“最大p值”,“样本量”}))

每日重叠非重叠最大p值1.5383e-08 NaN 0.66625样本量250 246 50

根据年度相关

金融数据的一个常见假设是，资产回报率在时间上是不相关的，也就是说，资产回报率在时间上是不相关的T与当时的上一次申报不相关T-1．在这种假设下，年互相关与日互相关完全相等。

让 $X_{T}$ 是当天市场指数的日对数回报率T和 ${A.}_{T}$ 是相关资产的每日回报。使用CAPM，关系建模为：

${A.}_{T} = α + β X_{T} + ϵ_{T}$

单因素模型是这种关系的特例。

假设资产和指数回报率与其各自的过去不相关，则：

Y $\forall s \neq T :$

$C o v (X_{s}, X_{T}) = 0$

$C o v (ϵ_{s}, ϵ_{T}) = 0$

$C o v ({A.}_{s}, {A.}_{T}) = 0$

将每一系列的年度(日志)收益合计为

$X_{}^{‾} = \sum_{T = 1.}^{T} X_{T}$

${A.}_{}^{‾} = \sum_{T = 1.}^{T} {A.}_{T}$

哪里T可能是252取决于基础的每日数据。

让 $σ_{X}^{2.} = v A. R (X_{T})$ 和 $σ_{A.}^{2.} = v A. R ({A.}_{T})$ 为日方差，由日收益数据估计。

日协方差 $X_{T}$ 和 ${A.}_{T}$ 是：

$C o v (X_{T}, {A.}_{T}) = C o v (X_{T}, α + β X_{T} + ϵ_{T}) = β σ_{X}^{2.}$

两者之间的每日相关性 $X_{T}$ 和 ${A.}_{T}$ 是：

$C o R R (X_{T}, {A.}_{T}) = \frac{C o v (X_{T}, {A.}_{T})}{\sqrt{σ_{X}^{2.} σ_{A.}^{2.}}} = β \frac{σ_{X}}{σ_{A.}}$

考虑一年的总收益的方差和协方差。在无自相关假设下:

$v A. R (X_{}^{‾}) = v A. R (\sum_{T = 1.}^{T} X_{T}) = T σ_{X}^{2.}$

$v A. R ({A.}_{}^{‾}) = v A. R (\sum_{T = 1.}^{T} {A.}_{T}) = T σ_{A.}^{2.}$

$C o v (X_{}^{‾}, {A.}_{}^{‾}) = C o v [\sum_{T = 1.}^{T} X_{T}, \sum_{T = 1.}^{T} (α + β X_{T} + ϵ_{T})] = β C o v (X_{}^{‾}, X_{}^{‾}) = β v A. R (X_{}^{‾}) = β T σ_{x}^{2.}$

资产与指数之间的年度相关性为：

$C o R R (X_{}^{‾}, {A.}_{}^{‾}) = \frac{C o v (X_{}^{‾}, {A.}_{}^{‾})}{\sqrt{v A. R (X_{}^{‾}) v A. R ({A.}_{}^{‾})}} = \frac{β T σ_{X}^{2.}}{\sqrt{T σ_{X}^{2.} T σ_{A.}^{2.}}} = β \frac{σ_{X}}{σ_{A.}} = W$

在没有自相关的假设下，请注意，日互相关实际上是相同的通过将单因素权重设置为每日互相关，可以在单因素模型中直接使用此假设。

自相关处理

如果放松了资产没有自相关性的假设，那么资产之间从每日互相关到年度互相关的转换就不那么简单了 $v A. R ({X)}_{}^{‾}$ 现在有了附加条款。

首先考虑计算方差的最简单情况。 $X_{}^{‾}$ 什么时候T等于2..

$v A. R (X_{}^{‾}) = [\begin{array}{cc} σ_{1.} & σ_{2.} \end{array}] [\begin{array}{cc} 1. & ρ_{1. 2.} \\ ρ_{1. 2.} & 1. \end{array}] [\begin{array}{c} σ_{1.} \\ σ_{2.} \end{array}] = σ_{1.}^{2.} + σ_{2.}^{2.} + 2. ρ_{1. 2.} σ_{1.} σ_{2.}$

自从 $σ_{1.} = σ_{2.} = σ_{X}$ ，然后：

$v A. R (X_{}^{‾}) = σ_{X}^{2.} (2. + 2. ρ_{1. 2.})$

考虑T=3..指出每日收益率之间的相关性 $K$ 天分开 $ρ_{Δ K}$ .

$v A. R (X_{}^{‾}) = [\begin{array}{ccc} σ_{1.} & σ_{2.} & σ_{3.} \end{array}] [\begin{array}{ccc} 1. & ρ_{Δ 1.} & ρ_{Δ 2.} \\ ρ_{Δ 1.} & 1. & ρ_{Δ 1.} \\ ρ_{Δ 2.} & ρ_{Δ 1.} & 1. \end{array}] [\begin{array}{c} σ_{1.} \\ σ_{2.} \\ σ_{3.} \end{array}] = σ_{1.}^{2.} + σ_{2.}^{2.} + σ_{3.}^{2.} + 2. ρ_{Δ 1.} σ_{1.} σ_{2.} + 2. ρ_{Δ 1.} σ_{2.} σ_{3.} + 2. ρ_{Δ 2.} σ_{1.} σ_{3.} = σ_{X}^{2.} (3. + 4. ρ_{Δ 1.} + 2. ρ_{Δ 2.})$

在一般情况下，对于聚合的方差T-日收益率与尾部自相关K天,有:

$v A. R (X_{}^{‾}) = 2. σ_{X}^{2.} (T / 2. + (T - 1.) ρ_{Δ 1.}^{X} + (T - 2.) ρ_{Δ 2.}^{X} + . . . + (T - K) ρ_{Δ K}^{X})$

这也是资产差异的相同公式：

$v A. R ({A.}_{}^{‾}) = 2. σ_{A.}^{2.} (T / 2. + (T - 1.) ρ_{Δ 1.}^{A.} + (T - 2.) ρ_{Δ 2.}^{A.} + . . . + (T - K) ρ_{Δ K}^{A.})$

两者之间的协方差 $X_{}^{‾}$ 和 ${A.}_{}^{‾}$ 如前所示，等于 $β v A. R (X_{}^{‾})$ .

因此，指数和资产之间的互相关与自相关来自尾随1.通过K天是:

$C o R R (X_{}^{‾}, {A.}_{}^{‾}) = \frac{C o v (X_{}^{‾}, {A.}_{}^{‾})}{\sqrt{v A. R (X_{}^{‾}) v A. R ({A.}_{}^{‾})}} = \frac{β v A. R (X_{}^{‾})}{\sqrt{v A. R (X_{}^{‾}) v A. R ({A.}_{}^{‾})}} = β \sqrt{\frac{v A. R (X_{}^{‾})}{v A. R ({A.}_{}^{‾})}} = . . .$

$C o R R (X_{}^{‾}, {A.}_{}^{‾}) = β \sqrt{\frac{2. σ_{X}^{2.} (T / 2. + (T - 1.) ρ_{Δ 1.}^{X} + (T - 2.) ρ_{Δ 2.}^{X} + . . . + (T - K) ρ_{Δ K}^{X})}{2. σ_{A.}^{2.} (T / 2. + (T - 1.) ρ_{Δ 1.}^{A.} + (T - 2.) ρ_{Δ 2.}^{A.} + . . . + (T - K) ρ_{Δ K}^{A.})}}$

$C o R R (X_{}^{‾}, {A.}_{}^{‾}) = β \frac{σ_{X}}{σ_{A.}} \sqrt{\frac{T / 2. + (T - 1.) ρ_{Δ 1.}^{X} + (T - 2.) ρ_{Δ 2.}^{X} + . . . + (T - K) ρ_{Δ K}^{X}}{T / 2. + (T - 1.) ρ_{Δ 1.}^{A.} + (T - 2.) ρ_{Δ 2.}^{A.} + . . . + (T - K) ρ_{Δ K}^{A.}}}$

注意 $β \frac{σ_{X}}{σ_{A.}}$ 为无自相关假设下的权重。平方根项提供了用于解释序列中的自相关的调整。调整更多地取决于指数自相关和股票自相关之间的差异，而不是这些自相关的大小。因此，自相关调整后的年度单因素权重为:

$W_{A. D J U s T E D} = W \sqrt{\frac{T / 2. + (T - 1.) ρ_{Δ 1.}^{X} + (T - 2.) ρ_{Δ 2.}^{X} + . . . + (T - K) ρ_{Δ K}^{X}}{T / 2. + (T - 1.) ρ_{Δ 1.}^{A.} + (T - 2.) ρ_{Δ 2.}^{A.} + . . . + (T - K) ρ_{Δ K}^{A.}}}$

用自相关计算权值

寻找每只股票与前一天收益率的自相关性，并调整权重以纳入一天自相关性的影响。

corr1 = 0(30日1);pv = 0(30日1);对于stockidx=1:30[corr1（stockidx），pv1（stockidx）]=corr（股票收益（2:end，stockidx），股票收益（1:end-1，stockidx））；终止自动校准=查找（pv1<0.05）

自动校正=4×110 18 26 27

有四支股票处于低位P-可能指示存在自相关的值。在此模型下，考虑到一天的自相关，估计与指数的年度互相关。

%基于年度互相关的权重等于每日互相关%相关系数乘以另外一个因子。T = 252;w_yearly = w_daily;[rho_index, pval_index] = corr(index_returns(1:end-1)，index_returns(2:end)); / /返回结果%检查我们的索引是否有任何显著的自相关fprintf('索引p值中的一天自相关：%f\n'pval_指数）；

指数p值的一天自相关：0.670196

如果pval_index < 0.05%如果p值表明索引中没有显著的自相关，%将其rho设置为0。rho_指数=0；终止w_yearx (auto斗牛线)= w_yearx (auto斗牛线).*...sqrt（（T/2+（T-1）。*rho_指数）。/（T/2+（T-1）。*corr1（autocorrIdx））；%将调整后的年度互相关值与每日值进行比较barh（[w_daily（autocorrIdx）w_year（autocorrIdx）]）yticks（1:4）；allNames=t.Properties.VariableNames（3:end）；yticklabels（所有名称（自动更正））标题(“年度单因素权重”)；传奇(“无自相关”,“具有自相关特性”,“位置”,‘东南’）;