主要内容

傅科摆的建模

开放模式

这个例子展示了如何对福柯钟摆进行建模。福柯钟摆是法国物理学家利昂·福柯（Leon Foucault）的创意。它旨在证明地球绕其轴线旋转。福柯钟摆的振荡平面由于地球的轴向旋转而全天旋转。振荡平面完成了时间间隔T中的ole圆，这取决于地理纬度。

福柯最著名的钟摆就安装在巴黎先贤祠里。这是一个28公斤重的金属球，连接在一根67米长的电线上。这个例子模拟了一个位于巴黎地理纬度的67米长的钟摆。

金宝appSimulink®模型

Simulink®中解决福柯摆问题的最简单方法是建立一个模型，用于求解系统的耦合微分方程。该模型如图1所示。下面给出了金宝app描述福柯摆的方程式。有关模型物理和这些方程推导的详细信息，请参阅分析和物理．

$$ \ddot{x}=2\Omega\sin{\lambda}\dot{y}-\frac{g}{L}x $$

$$ \ddot{y}=-2\Omega\sin{\lambda}\dot{x}-\frac{g}{L}y $$

$$ x, y = \mbox{地球上观察者看到的摆bob坐标}$$

$$\Omega=\mbox{地球绕其轴线旋转的角速度}（拉德/秒）$$

$$g=\mbox{重力加速度}（米/秒^2）$$

$$L=\mbox{摆锤串的长度}（m）$$

$$\lambda=\mbox{地理纬度}（rad）$$

打开模型

类型sldemo_foucault在MATLAB®命令窗口中打开这个模型．该模型将模拟数据记录到变量中sldemo_福柯输出.记录的信号有一个蓝色指示灯。有关更多信息，请参阅配置日志信号．

图1：福柯摆模型

初始条件

该模型从sldemo_foucault_data.m文件。这个文件的内容如下面的表1所示。可以直接在MATLAB工作空间中修改仿真参数。摆的初始振幅必须比摆长小，因为微分方程只对小的摆动有效。

表1:初始条件

g = 9.83;%重力加速度(m/sec^2) L = 67;%摆长(m) initial_x = L/100;%初始x坐标(m)%初始y坐标(m)%初始x速度(m/sec)%初始y速度(m/sec)%地球绕轴角速度(rad/sec) =49/180*pi;纬度百分比(rad)

运行仿真

按下模型窗口工具栏上的“Play”按钮，运行模拟。该模拟将使用可变步长僵硬解算器ode23t。它将模拟傅科摆3600秒(你可以改变模拟时间)。模型使用默认的相对容差RelTol=1e-6．

图2：傅科摆仿真结果(仿真时间3600秒)

结果

模拟结果如上图2所示。模拟计算摆锤的x和y坐标，以及摆锤的x和y速度分量。

摆锤振荡平面在24小时内完成360度扫描。扫掠周期是地理纬度的函数兰姆达（见中的推导）分析和物理)．

图3:动画块显示钟摆振荡平面在一小时内旋转多少

运行模拟之后，双击动画块以使结果动画化。

  • 注意：示例的“动画结果”部分需要信号处理工具箱™. 如果未安装动画块，双击动画块将导致错误。没有信号处理工具箱，示例的所有其他部分都将正常工作。

这个sldemo_foucault_animate.m该文件绘制了摆锤在不同时间点的位置。您可以清楚地看到摆锤振荡平面是如何旋转的。

  • 注意:如果在较大的相对容差下运行模拟，那么结果在很长一段时间内数值上是不稳定的。确保您使用的是僵硬的变量步长求解器。阅读更多关于刚性问题的数值不稳定性和求解器性能的内容，请参阅“使用刚性模型探索可变步长求解器”。实例．

关闭模型

关闭模型。清除生成的数据。

分析和物理

本节分析福柯钟摆并描述其背后的物理原理。摆锤可以建模为悬挂在一定长度的钢丝上的点质量L.摆锤位于地理纬度兰姆达. 使用图4所示的参考坐标系很方便：惯性坐标系I（相对于地球中心）和非惯性坐标系N（相对于地球表面的观察者）。非惯性系由于旋转而加速。

图4:问题的惯性系和非惯性系

点O是非惯性系N的原点。它是摆锤悬挂点下方地球表面上的点。选择非惯性系时，z轴指向远离地球中心且垂直于地球表面。x轴指向南方，y轴指向西方。

正如引言中提到的，福柯摆的振荡面是旋转的。振荡平面及时完成一个完整的旋转快步由下式给出，其中时间是一天的持续时间（即地球绕其轴线旋转一圈所需的时间）。

$$T{rot}=T{day}\cdot\sin\lambda$$

正弦系数需要进一步讨论。人们常常错误地认为，摆锤的振动面固定在相对于地球中心的惯性系中。这只适用于北极和南极。为了消除这种混淆，请考虑摆锤悬挂的点S（见图4）。在惯性系I中，点S在圆上移动。摆锤悬挂在一根等长的钢丝上。为简单起见，忽略空气摩擦力。在惯性系I中，只有两种力作用在摆锤上——钢丝张力T还有重力前景．

向量R给出了摆锤的位置，B(见图4)。牛顿第二定律表明，作用在物体上的所有力的总和等于质量乘以物体的加速度。

$ m \ddot{{r}} = {T} + {F_g} $

在整个证明过程中，点表示时间导数，箭头表示向量，大写表示酉向量（沿x、y和z轴的i、j和k）.矢量箭头上方的点表示矢量的时间导数。点上方的箭头表示时间导数的矢量。请参见下面的总加速度和径向加速度之间的差异。

总加速度:

$ $ & # xA; \ ddot {\ overrightarrow {r}} = \压裂{d ^ 2 \ overrightarrow {r}} {d t ^ 2} = & # xA; \压裂{d ^ 2} {d t ^ 2} \离开(x \ mathbf{\帽子{我}}+ y \ mathbf{\帽子{j}} + z \ mathbf{\帽子{k}} \右)& # xA; $ $

径向加速度:

$$ \过右箭头{\ddot{r}}=\overwightarrow{\left（\frac{d^2 r}{dt^2}\right）}=&xA\ddot{x}\mathbf{\hat{i}}+&xA\ddot{y}\mathbf{\hat{j}}+&xA\ddot{z}\mathbf{\hat{k}} $$

重力加速度指向地球中心(负z方向)。

$ $ g = 9.83米/秒^ 2 $ $

$ $ \ overrightarrow {g} = - g \ mathbf{\帽子{k}} $ $

$$ ；m\ddot{\overrightarrow{r}}=&xA\过右箭头{T}-mg\mathbf{\hat{k}} $$

分解加速度项:

$ $ & # xA; \ overrightarrow {r} = & # xA; r_x \ mathbf{\帽子{我}}+ & # xA; r_y \ mathbf{\帽子{j}} + & # xA; r_z \ mathbf{\帽子{k}} & # xA; $ $

本周五的赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛{}}+&xA；r_y\dot{\mathbf{\hat{j}}+&xA；r_z\dot{\mathbf{\hat{k}}}&$$

单位矢量的时间导数出现是因为非惯性参考系N在空间中旋转。这意味着酉向量i、j和k在空间中旋转。它们的时间导数如下所示。ω是地球绕其轴线旋转的角速度。标量ω是角速度的值。矢量ω是矢量角速度。它的方向由右手法则决定。

$ $ & # xA; \点{\ mathbf{\帽子{我}}}= \ overrightarrow{ω\}\ * \ mathbf{\帽子{我}}& # xA; $ $

$$ \dot{\mathbf{\hat{j}}=\overrightarrow{\Omega}\times\mathbf{\hat{j}} $$

$ $ & # xA; \点{\ mathbf{\帽子{k}}} = \ overrightarrow{ω\}\ * \ mathbf{\帽子{k}} & # xA; $ $

重写向量r对的时间导数。

本周五的一名名赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛赛门门门门门门门门门门左；；...................................左（左（左（和和赛赛赛赛赛赛赛赛r}= ；\overrightarrow{\dot{r}}+ ；\overrightarrow{\Omega}\times\overrightarrow{r} $$

类似地，表示向量r的二次导数。

$$ \ddot{\overrightarrow{r}}= \过右箭头{\ddot{r}}+ ；2\overrightarrow{\Omega}\times\overrightarrow{\dot{r}}}+ \过右箭头{\Omega}\times \左（\overrightarrow{\Omega}\times\overrightarrow{r}\right）和#xA$$

$ mbox{非惯性系N (x, y, z分量)的加速度}$

$$2\overrightarrow{\Omega}\times\overrightarrow{\dot{r}}=\mbox{Coriolis acceleration}$$

$ xA;= $ mbox{由于非惯性系旋转而产生的附加项N}

为了简化这个方程，假设地球的ω非常小。这允许我们忽略上面方程中的第三项。事实上，第二项（已经比第一项小得多）比第三项大四个数量级。这将方程简化为以下形式：

$ x $， $ x $， $ x $， $ x $， $ x $， $ x $， $ x $， $ x $， $ x $， $ x $， $ x $， $ x $， $ x $， $ x $， $ x $， $ x $， $ x $， $ x $， $ x $， $ x $， $ x $， $ x $， $ x $， $ x $， $ x $， $ x $， $ x $

牛顿第二定律可以写成并分解为x、y和z分量，如下所示：

$$ ；m\overrightarrow{\ddot{r}}}= ；\overrightarrow{T}-mg\mathbf{\hat{k}- ；2m\overrightarrow{\Omega}\times\overrightarrow{\dot{r}&$$

$$ ；m\ddot{x}=T_x+2m\Omega\dot{y}\sin{\lambda} $$

$$ ；m\ddot{y}=T_y-2m\Omega\left（\dot{x}\sin{\lambda}+\dot{z}\cos{\lambda}\right） $$

$ $ & # xA; m \ ddot {z} = T_z毫克+ 2 mω\ \点{y} \因为{\λ}& # xA; $ $

振荡的角振幅很小。因此，我们可以忽略垂直速度和垂直加速度(z点和z双点)。弦张力分量可以用小角度近似表示，这也大大简化了问题，使之成为二维的(见下文)。

$T_z = mg - 2m\Omega \dot{y} \cos{\lambda} \simeq mg$$

$$T_x=-T\frac{x}{L}$$

$ $ T_y = - t \压裂{y} {L} $ $

$$T_z=T\frac{L-z}{L}\simeq T$$

特征微分方程

最后，这个问题的物理学可以用下面给出的耦合方程组来描述。x和y坐标指定了地球上观察者看到的摆锤的位置。

$ $ & # xA;ω\ ddot {x} - 2 \ \罪{\λ}\点{y} + \压裂{g} {1} x = 0 & # xA; $ $

$ $ & # xA;ω\ ddot {y} + 2 \ \罪{\λ}\点{x} + \压裂{g} {1} y = 0 & # xA; $ $

分析解决方案(近似)

下面是福柯摆问题的解析解。不幸的是，这并不准确。如果你试图将解析解代入微分方程，ω平方阶的未取消项将保留。然而，由于ω非常小，我们可以忽略实际用途中未取消的术语。

如果x+ i + cdot y = mbox{(复数)}，则表示x+ i + cdot y = mbox{(复数)}

$ $ \ ddot{\埃塔}+(2我罪\ω\{\λ})\点{\埃塔}+ \压裂{g}{1} \η= 0 $ $

$$\eta=\left（C_1e^{i\sqrt{g/L}t}+C_2e^{-i\sqrt{g/L}t}\ right）和#xA；e^{-i\Omega t\sin{\lambda}$$

$$ C_1, C_2 \mbox{are complex integration constants}

实际微分方程组是不对称的

在推导过程中，忽略了涉及ω平方的项。这导致微分方程具有xy对称性。如果考虑ω平方项，微分方程系统将变得不对称（见下文）。

$$ ；\ddot{x}-2\Omega\sin{\lambda}\dot{y}+（\frac{g}{L}-\Omega^2\sin^2{\lambda}）x=0 $$

$$ \ddot{y}+2\Omega\sin{\lambda}\dot{x}+（\frac{g}{L}-\Omega^2）y=0 $$

你可以很容易地修改当前的福柯摆模型来解释不对称微分方程总重并添加必要的表达式。此更改将对数值结果进行非常小的整体修正。

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基于模型的嵌入式控制系统设计

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