建立移动台球的动力学模型

这个例子使用了:

开放模式

这个例子展示了如何通过使用连续时间矩阵变量来建模台球游戏中的开场射门。在模型中，Stateflow®图表模拟了具有大量不连续的混合系统的动态。有关更多信息，请参见状态流中的连续时间建模．

当模拟开始时，MATLAB®用户界面(UI)显示一个台球桌，15个台球排列在一个三角形的架子上。然后UI会提示你选择主球的初始位置和速度。当主球被释放时，UI将使台球的运动动画化，因为它们经历了一系列快速碰撞。

该模型包括:

状态流图Init，它调用该函数sf_pool_plotter.m根据UI的输入初始化主球的位置和速度。
状态流图池，计算每个台球的二维动态。
MATLAB函数块图，其中调用函数sf_pool_plotter.m在模拟过程中使台球的运动动画化。
Scope块Vel，用于显示每个台球在开始射击时的速度。

计算连续时间动态

为了表示台球的动态，台球图做了几个假设。

连续时间变量

这个图表忽略了球的旋转，所以系统的状态完全由球的位置和速度来描述。假设每个球都有单位质量，所以它的位置和速度用微分方程组来描述

$$ & # xA;左\ \{\开始{数组}{你}& # xA; \点{\ mathbf {p}} = \ mathbf {v} \ \ & # xA; \点{\ mathbf {v}} = \ mathbf {F} _ \ mathrm{摩擦}+ & # xA; \ mathbf {F} _ \ mathrm}{交互,& # xA; \结束数组{}\对强生的# xA; $$

在哪里 $\ mathbf {F} _ \ mathrm{摩擦}$ 而且 $\ mathbf {F} _ \ mathrm{交互}$ 是与台球桌的摩擦和与其他球的碰撞所产生的力。

为了跟踪球的位置和速度，图表在连续时间变量中存储了一对16 × 2矩阵p而且v．在每个矩阵中， $i ^ \ mathrm {th}$ 的二维位置或速度 $i ^ \ mathrm {th}$ 球。

摩擦模型

为了计算作用在每个球上的摩擦力，图表调用MATLAB函数frictionForce．这个函数实现了一个简化的摩擦模型。摩擦力以与运动方向相反的恒定力作用于每个运动的球。因为摩擦力不作用于静止的球，所以每个球上的摩擦力具有固有的模态:

$$ & # xA; \ mathbf {F} _ \ mathrm{摩擦}= & # xA;左\ \{\开始{数组}{你}& # xA; - \μg \ displaystyle \压裂{\ mathbf {v}} {\ | \ mathbf {v} \ |} & # xA; & # 38;\|\mathbf{v}\|>0 \\ 0 &\ mathrm{否则}& # xA; \结束数组{}\对强生的# xA; $$

在哪里 $\μ美元$ 摩擦系数和 g美元是重力引起的加速度。

碰撞动力学

为了确定由球之间的碰撞引起的相互作用，图表调用MATLAB函数interactionForce．当两个球相互接触时，这个函数实现了一个简单的恢复力模型。相互作用力 $i ^ \ mathrm {th}$ 而且 $j ^ \ mathrm {th}$ Balls是modal:

$$ & # xA; \ mathbf {F} _ {\ mathrm{交互}}(i, j) = & # xA;左\ \{\开始{数组}{你}& # xA; k_p (2 r -δ\ \ | \ mathbf p {} \ |) & # xA; \ displaystyle \压裂{\三角洲\ mathbf {p}}{\ | \三角洲\ mathbf p {} \ |} & # xA;——k_v \三角洲\ mathbf {v} & # 38;\|\Delta \mathbf{p}\| < 2R \\ 0 &\ mathrm{否则}& # xA; \结束数组{}\对强生的# xA; $$

地点:

是每个球的半径。
而且是弹性常数。
$\Delta \mathbf{p} = \mathbf{p}_i - \mathbf{p}_j$ 是两个球中心的相对距离。
$\Delta \mathbf{v} = \mathbf{v}_i - \mathbf{v}_j$ 是两个球之间速度的相对差。

因为球在二维空间中可以自由移动，所以图表使用了16 × 16布尔矩阵ball_interaction来解释所有潜在的碰撞。例如，当 $i ^ \ mathrm {th}$ 而且 $j ^ \ mathrm {th}$ 球是摸的，值的ball_interaction (i, j)是真正的．否则，该值为假．因为碰撞本质上是对称的，所以图表只使用了矩阵的上三角形部分。