广义帕累托分布

广义帕累托（GP）是一种右偏斜的分布，用形状参数，k和Sigma，Sigma参数化。k也被称为“尾索引”参数，可以是正，零或负的。

x = linspace（0,10,1000）;绘图（x，gppdf（x， - 。4,1），' - '，x，gppdf（x，0,1），' - '，x，gppdf（x，2,1），' - '）;Xlabel（'x / sigma'）;ylabel（'概率密度'）;传奇（{'k <0''k = 0''k> 0'}）;

请注意，对于K <0，GP具有高于 - （1 / k）上限的零概率。对于k> = 0，GP没有上限。而且，GP通常与第三个阈值参数结合使用，该参数将下限远离零移动。我们在这里不需要这种一般性。

GP分布是指数分布（k = 0）和静脉分布（k> 0）的概括。GP包括较大家庭中的这两个分布，使得可以连续的形状范围。

模拟超标数据

GP分布可以在超标方面建设性地定义。从右尾下降到零的概率分布开始，例如正常，我们可以独立地从该分布上采样随机值。如果我们修复阈值，请抛出阈值以下的所有值，并将其减去未抛出的值的阈值，结果称为forecess。超标的分布大约是GP。同样，我们可以在分布的左尾部设置阈值，并忽略上面的所有值。阈值必须足够远，以原始分布的尾部，近似是合理的。

原始分布确定产生的GP分布的形状参数k k。作为多项式脱落的分布，例如学生的T，导致正形参数。分布尾部指数减小，例如正常，对应于零形式参数。具有有限尾部的分布，例如Beta，对应于负形参数。

GP分布的现实世界应用包括对股票市场的极端恢复，并建模极端洪水。对于此示例，我们将使用从学生的T分布生成的模拟数据，其中5度自由。我们将从T分配中获得最大的2000年的2000年观察结果，然后减去95％的量级以获得超标。

RNG（3，'twister'）;X = TRND（5,2000,1）;q = smianile（x，.95）;y = x（x> q） -  q;n = numel（y）

n = 100.

使用最大可能性拟合分配

GP分布定义为0

paramests = gpfit（y）;Khat = Paramests（1）％尾索引参数Sigmahat = Paramests（2）％SCALE参数

Khat = 0.0987 Sigmahat = 0.7156

如可以预期的那样，由于使用T分布生成模拟数据，因此k的估计是正的。

在视觉上检查拟合

在视觉上评估合适的良好，我们将绘制尾部数据的缩放直方图，覆盖我们估计的GP的密度函数。直方图被缩放，使得条形高度将其宽度和1倍。

箱= 0：.25：7;H = BAR（箱，HISTC（Y，箱）/（长度（y）*。25），'histc'）;h.facecolor = [.9 .9 .9];ygrid = linspace（0,1.1 * max（y），100）;线（Ygrid，GPPDF（Ygrid，Khat，Sigmahat））;XLIM（[0,6]）;Xlabel（“超越”）;ylabel（'概率密度'）;

我们使用了一个相当小的垃圾箱宽度，因此直方图中存在很多噪声。即便如此，拟合密度遵循数据的形状，因此GP模型似乎是一个不错的选择。

我们还可以将实证CDF与合身的CDF进行比较。

[f，yi] = ecdf（y）;情节（yi，gpcdf（yi，khat，sigmahat），' - '）;抓住在;楼梯（yi，f，'r'）;抓住离开;传奇（'普遍的Pareto CDF'那'经验CDF'那'地点'那'东南'）;

计算参数估计的标准错误

为了量化估计的精度，我们将使用从最大似然估计器的渐近协方差矩阵计算的标准错误。功能适合计算，作为其第二输出，对该协方差矩阵的数值近似。或者，我们可以叫GPFIT.具有两个输出参数，它将返回参数的置信区间。

[nll，acov] = gplike（paramests，y）;stderr = sqrt（diag（acov））

STDERR = 0.1158 0.1093

这些标准误差表明估计的估计的相对精度比Sigma的相对精度较低 - 其标准错误是估计本身的顺序。形状参数通常难以估计。重要的是要记住，计算这些标准错误的计算假定GP模型是正确的，并且我们有足够的数据用于保持协方差矩阵的渐变近似。

检查渐近常态假设

对标准错误的解释通常涉及假设，如果可以在来自相同源的数据上重复相同的拟合，则参数的最大似然估计大致遵循正态分布。例如，置信区间通常基于这种假设。

然而，正常近似可能或可能不是一个好的。为了评估在此示例中的好处，我们可以使用引导仿真。我们将通过从数据重新采样来生成1000个复制数据集，适合每个GP分发，并保存所有复制估计。

Replests = bootstrp（1000，@ gpfit，y）;

作为对参数估计器的采样分布的粗略检查，我们可以查看Bootstrap复制的直方图。

子图（2,1,1）;steg（重叠（：，1））;标题（'k'的引导估计）;子图（2,1,2）;steg（重叠（：，2））;标题（'Sigma的Bootstrap估计）;

使用参数转换

k的引导估计的直方图似乎只有一点不对称，而Sigma估计肯定会偏向右侧。对于该偏斜的常见补救措施是估计日志比例上的参数及其标准错误，其中正常近似可能更合理。Q-Q图是评估正常性的更好方法，而不是直方图，因为非正常性显示为不近似遵循直线的点。让我们检查Sigma的日志变换是否合适。

子图（1,2,1）;qqplot（重票（：，1））;标题（'k'的引导估计）;子图（1,2,2）;qqplot（log（更换（:,2）））;标题（'log（sigma）'的引导估计）;

k和log（sigma）的引导估计似乎可接受地接近正常性。一个Q-Q图对于ΣIigma的估计，在未完成的比例上，将确认我们在直方图中已经看到的偏差。因此，通过首先在正常性的假设下通过首先计算一个用于日志（Sigma）来构造Sigma的置信区间，然后以指代以将该间隔转换回Sigma的原始比例来构建一个用于日志（Sigma）来构建一个用于对日志（Sigma）来构造一个置信区间。

事实上，这正是这个功能GPFIT.在幕后做。

[paramests，paramci] = gpfit（y）;

Khat KCI = PARAPCI（：，1）

Khat = 0.0987 KCI = -0.1283 0.3258

sigmahat sigmaci = paramci（:,2）

Sigmahat = 0.7156 sigmaci = 0.5305 0.9654

请注意，虽然k的95％置信区间对对称的最大可能性估计，但Sigma的置信区间不是。那是因为它是通过转换对称CI来创建的日志（Sigma）。