用广义线性模型拟合数据
这个例子展示了如何使用glmfit和格林瓦尔．普通线性回归可以用来拟合直线，或任何函数的参数是线性的，以数据正态分布的误差。这是最常用的回归模型;然而，这并不总是现实的。广义线性模型从两方面扩展了线性模型。首先，通过引入连杆函数，放宽了参数线性的假设。第二，可以对除正态分布以外的误差分布进行建模
广义线性模型
回归模型用一个或多个预测变量(通常表示为x1, x2等)定义响应变量(通常表示为y)的分布。最常用的回归模型，普通线性回归，模型y作为一个正态随机变量，其均值是预测器的线性函数，b0 + b1*x1 +…，其方差是常数。在单个预测器x的最简单情况下，模型可以表示为每一点的高斯分布直线。
Mu = @(x) -1.9+.23*x;x = 5: .1:15;yhat =μ(x);dy = -3.5: .1:3.5;深圳=大小(dy);k =(长度(dy) + 1) / 2;x1 = 7 * 1(深圳);日元=μ(x1) + dy;z1 = normpdf(μ(x1)、日元1);x2 = 10 * 1(深圳); y2 = mu(x2)+dy; z2 = normpdf(y2,mu(x2),1); x3 = 13*ones(sz); y3 = mu(x3)+dy; z3 = normpdf(y3,mu(x3),1); plot3(x,yhat,zeros(size(x)),“b -”,...x1，y1，z1，“r-”，x1（[k]），y1（[k]），[0 z1（k）]，“:”,...x2，y2，z2，“r-”，x2（[kk]），y2（[kk]），[0z2（k）]，“:”,...x3，y3，z3，“r-”，x3（[kk]），y3（[kk]），[0z3（k）]，“:”); zlim（[01]）；xlabel(“X”)；伊莱贝尔(“Y”)；兹拉贝尔(的概率密度)；网格在；视图(45 [-45]);
在广义线性模型中，响应的均值被建模为预测器g(b0 + b1*x1 +…)的线性函数的单调非线性变换。变换g的逆称为“连杆”函数。示例包括logit (sigmoid)链接和log链接。y也可以是非正态分布，如二项分布或泊松分布。例如，具有对数链接和单个预测器x的泊松回归可以表示为每一点具有泊松分布的指数曲线。
Mu = @(x) exp(-1.9+.23*x);x = 5: .1:15;yhat =μ(x);x1 = 7 * 1(1、5);日元= 0:4;z1 = poisspdf(μ(x1)日元);x2 = 10 * 1 (7);y2 = 0:6;z2 = poisspdf (y2,μ(x2));x3 = 13 * 1 (9); y3 = 0:8; z3 = poisspdf(y3,mu(x3)); plot3(x,yhat,zeros(size(x)),“b -”,...[x1；x1]，[y1；y1]，[z1；零（大小（y1）），“r-”(x1, y1, z1,“r.”,...[x2；x2]，[y2；y2]，[z2；零（大小（y2））]，“r-”，x2，y2，z2，“r.”,...[x3；x3]，[y3；y3]，[z3；零（大小（y3）），“r-”，x3，y3，z3，“r.”); zlim（[01]）；xlabel(“X”)；伊莱贝尔(“Y”)；兹拉贝尔(“概率”)；网格在；视图(45 [-45]);
拟合Logistic回归
这个例子包括一个实验，以帮助模拟不同重量的汽车在里程测试中失败的比例。数据包括对重量、测试汽车数量和失败汽车数量的观察。
一套汽车重量重量= [2100 2300 2500 2700 2900 3100 3300 3500 3700 3900 4100 4300]';%在每种重量下测试的汽车数量测试=[48 42 31 34 31 21 23 21 16 17 21]；每一重量未通过测试的汽车数量Failed = [1 2 0 3 8 8 14 17 19 15 17 21]';%每种重量的汽车故障比例比例=失败/测试；绘图（重量、比例、，'s')包含(“重量”)；伊莱贝尔(“比例”）;
这张图是失败汽车的比例，作为重量的函数。可以合理地假设失效计数来自二项分布，概率参数P随着权重的增加而增加。但是P是如何依赖于重量的呢?
我们可以试着用一条直线拟合这些数据。
linearCoef = polyfit(重量比例1);linearFit = polyval (linearCoef、重量);情节(重量、比例、's'，重量，直线度，“r-”，[2000 4500]，[0 0]，凯西:”，[2000 4500]，[1 1]，凯西:”)包含(“重量”)；伊莱贝尔(“比例”）;
此线性拟合存在两个问题：
1)该线预测小于0和大于1的比例。
2） 比例不是正态分布，因为它们必然是有界的。这违反了拟合简单线性回归模型所需的一个假设。
使用高阶多项式可能会有帮助。
[CubicRef，stats，ctr]=polyfit（权重，比例，3）；cubicFit=polyval（CubicRef，权重，[]，ctr）；绘图（权重，比例，'s'，重量，立方英尺，“r-”，[2000 4500]，[0 0]，凯西:”，[2000 4500]，[1 1]，凯西:”)包含(“重量”)；伊莱贝尔(“比例”）;
然而，这种配合仍然存在类似的问题。图表显示，当重量超过4000时，拟合比例开始下降；事实上，对于较大的权重值，它将变为负值。当然，正态分布的假设仍然被违背。
相反，更好的方法是使用glmfit拟合逻辑回归模型。逻辑回归是广义线性模型的一种特殊情况，对于这些数据，逻辑回归比线性回归更合适，原因有二。首先，它使用了适合二项分布的拟合方法。其次，物流环节将预测比例限制在[0,1]范围内。
对于logistic回归，我们指定了预测矩阵，以及一个矩阵，其中一列包含故障计数，一列包含测试数。我们还指定了二项分布和logit链接。
[logitCoef,dev] = glmfit(weight，[failed tested]，“二”,“罗吉特”); logitFit=glmval（logitcef，重量，“罗吉特”); 绘图（重量、比例、，“bs”，重量，登录信息，“r-”)；xlabel(“重量”)；伊莱贝尔(“比例”）;
如图所示，随着重量变小或变大，拟合比例渐近于零和一。
模型诊断
这个glmfit函数提供了一些输出，用于检查模型的适用性和测试模型。例如，我们可以比较两个模型的偏差值，以确定平方项是否会显著改善拟合。
[logitCoef2，dev2]=glmfit（[weight.^2]，[tested failed]，“二”,“罗吉特”)；pval=1-chi2cdf（dev-dev2,1）
pval = 0.4019
较大的p值表明，对于这些数据，二次项不会显著改善拟合。两次拟合的曲线图显示拟合之间几乎没有差异。
logitFit2=glmval（logitCoef2，[weight.^2]，“罗吉特”); 绘图（重量、比例、，“bs”，重量，登录信息，“r-”、重量、logitFit2“g-”）;传奇(“数据”,“线性项”,“线性和二次项”,“位置”,“西北”）;
为了检查拟合优度，我们还可以查看Pearson残差的概率图。这些残差被标准化，以便当模型与数据合理拟合时，它们具有大致的标准正态分布。（如果没有这种标准化，残差将具有不同的方差。）
[logitCoef,dev,stats] = glmfit(weight，[failed tested]，“二”,“罗吉特”)标准图（统计残差）；
残差图与正态分布很好地吻合。
评估模型预测
一旦我们对模型感到满意，我们就可以用它来进行预测，包括计算置信区间。在这里，我们预测了100辆测试的汽车中，在四个权重中的每一个都会通过里程测试的预期数量。
weightPred=2500:500:4000；[failedPred，dlo，dhi]=glmval（LogitRef，weightPred，“罗吉特”，统计数据，.95100）；错误条（权重预测、失败预测、dlo、dhi、，'：'）;
二项模型的链接函数
对于这五个分布中的每一个glmfit金宝app支持，有一个规范的(默认的)链接函数。对于二项分布，规范的连接是logit。然而，对于二项模型来说，还有其他三个联系是合理的。所有四个都保持在区间[0,1]内的平均响应。
η= 5:.1:5;Plot (eta,1 ./ (1 + exp(-eta))'-'埃塔,normcdf (eta),'-',...预计到达时间，1-exp（-exp（eta）），'-'埃塔,exp (exp (eta)),'-')；xlabel(“预测的线性函数”)；伊莱贝尔(“预测平均响应”）;传奇(“罗吉特”,“可能吧”,互补的双对数的,“日志”,“位置”,“东方”）;
例如，我们可以将带有probit链接的fit与带有logit链接的fit进行比较。
概率系数=glmfit（重量，[测试失败]，“二”,“可能吧”）;probitFit = glmval (probitCoef、重量、“可能吧”); 绘图（重量、比例、，“bs”，重量，登录信息，“r-”，重量，概率，“g-”）;传奇(“数据”,“Logit模型”,“Probit模型”,“位置”,“西北”）;
数据通常很难区分这四种链接功能，通常是在理论基础上做出选择。
你也可以从以下列表中选择一个网站:
