差异化

此示例显示如何使用符号数学工具箱™分析和评估衍生物。在该示例中，您将找到F（x）的第1和第2衍生物，并使用这些衍生品找到本地最大值，最小值和拐点。

一阶导数:求局部极小值和极大值

计算一个表达式的一阶导数可以帮助你找到这个表达式的局部极小值和极大值。在创建符号表达式之前，先声明符号变量:

信谊x

默认情况下，结果中包含虚金宝搏官方网站分量的解决方案。这里，只考虑的实际值x通过假设x是真实的:

假设(x,'真实的'）

例如，创建一个有理表达式(即，分子和分母是多项式表达式的分数)。

F = (3*x^3 + 17*x^2 + 6*x + 1)/(2*x^3 - x + 3)

f =
                 
                   $\frac{3. x^{3.} + 17 x^{2} + 6 x + 1}{2 x^{3.} - x + 3.}$

绘制这个表达式可以看出，该表达式有水平和垂直的渐近线，局部最小值在-1和0之间，局部最大值在1和2之间:

fplot (f)网格

图中包含一个坐标轴。坐标轴包含一个functionline类型的对象。

为了求水平渐近线，计算的极限f为x接近积极和负数。水平渐近是y = 3/2：

lim_left = limit（f，x，-inf）

lim_left =.
                 
                   $\frac{3.}{2}$

Lim_right = limit(f, x, inf)

lim_right =
                 
                   $\frac{3.}{2}$

将这条水平渐近线添加到绘图中:

持有在情节(xlim [lim_right lim_right),“线型”，“-”。，'颜色')

图中包含一个坐标轴。轴包含2个函数线，线的2个对象。

求…的垂直渐近线f，找到极点f：

POLE_POS = POLES（F，X）

pole_pos =
                 
                   $- \frac{1}{6 {(\frac{3.}{4} - \frac{\sqrt{241} \sqrt{432.}}{432.})}^{1 / 3.}} - {(\frac{3.}{4} - \frac{\sqrt{241} \sqrt{432.}}{432.})}^{1 / 3.}$

使用该方法近似于数值的精确解决方案双功能:

双(pole_pos)

ans = -1.2896

现在求局部极小值和极大值f．如果点是本地极值（最小或最大值），则该点处表达的第一个导数等于零。计算衍生物f使用diff：

G =微分(f, x)

g =
                 
                   $\frac{9 x^{2} + 34 x + 6}{2 x^{3.} - x + 3.} - \frac{(6 x^{2} - 1) (3. x^{3.} + 17 x^{2} + 6 x + 1)}{{(2 x^{3.} - x + 3.)}^{2}}$

求的局部极值f，解决方程g = = 0：

解(g, x)

g0 =
                 
                   $\begin{array}{l} （ \begin{array}{c} \frac{\sqrt{σ_{2}}}{6 {σ_{3.}}^{1 / 6}} - σ_{1} - \frac{15}{68} \\ \frac{\sqrt{σ_{2}}}{6 {σ_{3.}}^{1 / 6}} + σ_{1} - \frac{15}{68} \end{array} ） \\ 在哪里 \\ σ_{1} ＝ \frac{\sqrt{\frac{337491 \sqrt{6} \sqrt{\frac{3. \sqrt{3.} \sqrt{178939632355}}{9826} + \frac{2198209}{9826}}}{39304} + \frac{2841. {σ_{3.}}^{1 / 3.} \sqrt{σ_{2}}}{578} - 9 {σ_{3.}}^{2 / 3.} \sqrt{σ_{2}} - \frac{361 \sqrt{σ_{2}}}{289}}}{6 {σ_{3.}}^{1 / 6} {σ_{2}}^{1 / 4}} \\ σ_{2} ＝ \frac{2841. {σ_{3.}}^{1 / 3.}}{1156} + 9 {σ_{3.}}^{2 / 3.} + \frac{361}{289} \\ σ_{3.} ＝ \frac{\sqrt{3.} \sqrt{178939632355}}{176868} + \frac{2198209}{530604.} \end{array}$

使用该方法近似于数值的精确解决方案双功能:

双(g0)

ans =2×1-0.1892 1.2860

表达方式f有一个局部最大值在x = 1.286和一个局部最小值x = -0.189．使用潜艇：

F0 =子（F，X，G0）

f0 =
                 
                   $\begin{array}{l} （ \begin{array}{c} \frac{3. σ_{2} - 17 {(σ_{5} - σ_{6} + \frac{15}{68})}^{2} - σ_{4} + σ_{1} + \frac{11}{34}}{σ_{6} + 2 σ_{2} - σ_{5} - \frac{219}{68}} \\ - \frac{σ_{4} + 17 {(σ_{6} + σ_{5} - \frac{15}{68})}^{2} + 3. σ_{3.} + σ_{1} - \frac{11}{34}}{σ_{6} - 2 σ_{3.} + σ_{5} - \frac{219}{68}} \end{array} ） \\ 在哪里 \\ σ_{1} ＝ \frac{σ_{7}}{{σ_{9}}^{1 / 6} {σ_{8}}^{1 / 4}} \\ σ_{2} ＝ {(σ_{5} - σ_{6} + \frac{15}{68})}^{3.} \\ σ_{3.} ＝ {(σ_{6} + σ_{5} - \frac{15}{68})}^{3.} \\ σ_{4} ＝ \frac{\sqrt{σ_{8}}}{{σ_{9}}^{1 / 6}} \\ σ_{5} ＝ \frac{σ_{7}}{6 {σ_{9}}^{1 / 6} {σ_{8}}^{1 / 4}} \\ σ_{6} ＝ \frac{\sqrt{σ_{8}}}{6 {σ_{9}}^{1 / 6}} \\ σ_{7} ＝ \sqrt{\frac{337491 \sqrt{6} \sqrt{\frac{3. \sqrt{3.} \sqrt{178939632355}}{9826} + \frac{2198209}{9826}}}{39304} + \frac{2841. {σ_{9}}^{1 / 3.} \sqrt{σ_{8}}}{578} - 9 {σ_{9}}^{2 / 3.} \sqrt{σ_{8}} - \frac{361 \sqrt{σ_{8}}}{289}} \\ σ_{8} ＝ \frac{2841. {σ_{9}}^{1 / 3.}}{1156} + 9 {σ_{9}}^{2 / 3.} + \frac{361}{289} \\ σ_{9} ＝ \frac{\sqrt{3.} \sqrt{178939632355}}{176868} + \frac{2198209}{530604.} \end{array}$

使用该方法近似于数值的精确解决方案双在变量上的功能f0：

双（F0）

ans =2×10.1427 - 7.2410

在图的极值处添加点标记:

情节(g0 f0,“好吧”）

图中包含一个坐标轴。轴包含3个类型的函数线，线路对象。

第二衍生物：找到拐点

计算二阶导数可以找到表达式的拐点。计算二阶或高阶导数最有效的方法是使用指定导数阶数的参数:

H = diff(f, x, 2)

h =
                 
                   $\begin{array}{l} \frac{18 x + 34}{σ_{1}} - \frac{2 (6 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 34 x + 6)}{{σ_{1}}^{2}} - \frac{12 x σ_{2}}{{σ_{1}}^{2}} + \frac{2 {(6 x^{2} - 1)}^{2} σ_{2}}{{σ_{1}}^{3.}} \\ 在哪里 \\ σ_{1} ＝ 2 x^{3.} - x + 3. \\ σ_{2} ＝ 3. x^{3.} + 17 x^{2} + 6 x + 1 \end{array}$

现在把结果简化一下:

h =简化(h)

h =
                 
                   $\frac{2 (68 x^{6} + 90 x^{5} + 18 x^{4} - 699 x^{3.} - 249 x^{2} + 63 x + 172)}{{(2 x^{3.} - x + 3.)}^{3.}}$

找到拐点f，解决方程h = 0．这里，使用数值求解器vpasolve计算解的浮点近似:金宝搏官方网站

H0 = vpasolve(h, x)

h0 =
                 
                   $（ \begin{array}{c} 0.57871842655441748319601085860196 \\ 1.8651543689917122385037075917613 \\ - 1.4228127856020972275345064554049 - 1.8180342567480118987898749770461 我 \\ - 1.4228127856020972275345064554049 + 1.8180342567480118987898749770461 我 \\ - 0.46088831805332057449182335801198 + 0.47672261854520359440077796751805 我 \\ - 0.46088831805332057449182335801198 - 0.47672261854520359440077796751805 我 \end{array} ）$

表达方式f有两个拐点:x = 1.865和x = 0.579．请注意,vpasolve也返回复杂的解决方案。金宝搏官方网站丢弃那些:

h0(图像放大(h0) ~ = 0) = []

h0 =
                 
                   $（ \begin{array}{c} 0.57871842655441748319601085860196 \\ 1.8651543689917122385037075917613 \end{array} ）$

在图中添加显示拐点的标记:

情节(h0潜艇(f, x, h0),‘* k”)举行离开

图中包含一个坐标轴。轴包含4型函数线，线路的物体。

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