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这个例子展示了如何使用symbol Math Toolbox™分析地查找和计算导数。在这个例子中，你会找到f(x)的一阶和二阶导数，并用这些导数来找到局部的极大值，极小值和拐点。

一阶导数:求局部极小值和极大值

计算一个表达式的一阶导数可以帮助你找到这个表达式的局部极小值和极大值。在创建符号表达式之前，先声明符号变量:

信谊x

默认情况下，结果中包含虚金宝搏官方网站分量的解决方案。这里，只考虑的实际值x通过假设x是真实的:

假设（x，“真实”的）

例如，创建一个有理表达式（即分子和分母为多项式表达式的分数）。

F = (3*x^3 + 17*x^2 + 6*x + 1)/(2*x^3 - x + 3)

f =
                 
                   $\frac{3. x^{3.} + 17 x^{2} + 6 x + 1}{2 x^{3.} - x + 3.}$

绘制此表达式显示表达式具有水平和垂直渐近线，局部最小值介于-1和0之间，局部最大值介于1和2之间：

fplot (f)网格

为了求水平渐近线，计算的极限f为x接近正无穷大和负无穷大。水平渐近线是y = 3/2：

Lim_left = limit(f, x， -inf)

lim_left =
                 
                   $\frac{3.}{2}$

Lim_right = limit(f, x, inf)

lim_right =
                 
                   $\frac{3.}{2}$

将此水平渐近线添加到绘图：

持有在…上情节(xlim [lim_right lim_right),“线条样式”，“-”。，“颜色”)

求…的垂直渐近线f，找到的极点f：

Pole_pos = pole (f, x)

pole_pos =
                 
                   $- \frac{1}{6 {(\frac{3.}{4} - \frac{\sqrt{241} \sqrt{432}}{432})}^{1 / 3.}} - {(\frac{3.}{4} - \frac{\sqrt{241} \sqrt{432}}{432})}^{1 / 3.}$

用数值逼近精确解双功能:

双(pole_pos)

ans = -1.2896

现在求局部极小值和极大值f．如果一个点是局部极值(无论是极小值还是极大值)，表达式在该点的一阶导数等于零。求导数f使用diff：

G =微分(f, x)

g =
                 
                   $\frac{9 x^{2} + 34 x + 6}{2 x^{3.} - x + 3.} - \frac{(6 x^{2} - 1) (3. x^{3.} + 17 x^{2} + 6 x + 1)}{{(2 x^{3.} - x + 3.)}^{2}}$

求的局部极值f，解方程g = = 0：

解(g, x)

g0 =
                 
                   $\begin{array}{l} （ \begin{array}{c} \frac{\sqrt{σ_{2}}}{6 {σ_{3.}}^{1 / 6}} - σ_{1} - \frac{15}{68} \\ \frac{\sqrt{σ_{2}}}{6 {σ_{3.}}^{1 / 6}} + σ_{1} - \frac{15}{68} \end{array} ） \\ 在哪里 \\ σ_{1} ＝ \frac{\sqrt{\frac{337491 \sqrt{6} \sqrt{\frac{3. \sqrt{3.} \sqrt{178939632355}}{9826} + \frac{2198209}{9826}}}{39304} + \frac{2841 {σ_{3.}}^{1 / 3.} \sqrt{σ_{2}}}{578} - 9 {σ_{3.}}^{2 / 3.} \sqrt{σ_{2}} - \frac{361 \sqrt{σ_{2}}}{289}}}{6 {σ_{3.}}^{1 / 6} {σ_{2}}^{1 / 4}} \\ σ_{2} ＝ \frac{2841 {σ_{3.}}^{1 / 3.}}{1156} + 9 {σ_{3.}}^{2 / 3.} + \frac{361}{289} \\ σ_{3.} ＝ \frac{\sqrt{3.} \sqrt{178939632355}}{176868} + \frac{2198209}{530604} \end{array}$

用数值逼近精确解双功能:

双(g0)

ans =2×1-0.1892 - 1.2860

表达式f有一个局部最大值在x = 1.286和一个局部最小值x=-0.189．使用潜艇：

f0 =潜艇(f, x, g0)

f0 =
                 
                   $\begin{array}{l} （ \begin{array}{c} \frac{3. σ_{2} - 17 {(σ_{5} - σ_{6} + \frac{15}{68})}^{2} - σ_{4} + σ_{1} + \frac{11}{34}}{σ_{6} + 2 σ_{2} - σ_{5} - \frac{219}{68}} \\ - \frac{σ_{4} + 17 {(σ_{6} + σ_{5} - \frac{15}{68})}^{2} + 3. σ_{3.} + σ_{1} - \frac{11}{34}}{σ_{6} - 2 σ_{3.} + σ_{5} - \frac{219}{68}} \end{array} ） \\ 在哪里 \\ σ_{1} ＝ \frac{σ_{7}}{{σ_{9}}^{1 / 6} {σ_{8}}^{1 / 4}} \\ σ_{2} ＝ {(σ_{5} - σ_{6} + \frac{15}{68})}^{3.} \\ σ_{3.} ＝ {(σ_{6} + σ_{5} - \frac{15}{68})}^{3.} \\ σ_{4} ＝ \frac{\sqrt{σ_{8}}}{{σ_{9}}^{1 / 6}} \\ σ_{5} ＝ \frac{σ_{7}}{6 {σ_{9}}^{1 / 6} {σ_{8}}^{1 / 4}} \\ σ_{6} ＝ \frac{\sqrt{σ_{8}}}{6 {σ_{9}}^{1 / 6}} \\ σ_{7} ＝ \sqrt{\frac{337491 \sqrt{6} \sqrt{\frac{3. \sqrt{3.} \sqrt{178939632355}}{9826} + \frac{2198209}{9826}}}{39304} + \frac{2841 {σ_{9}}^{1 / 3.} \sqrt{σ_{8}}}{578} - 9 {σ_{9}}^{2 / 3.} \sqrt{σ_{8}} - \frac{361 \sqrt{σ_{8}}}{289}} \\ σ_{8} ＝ \frac{2841 {σ_{9}}^{1 / 3.}}{1156} + 9 {σ_{9}}^{2 / 3.} + \frac{361}{289} \\ σ_{9} ＝ \frac{\sqrt{3.} \sqrt{178939632355}}{176868} + \frac{2198209}{530604} \end{array}$

用数值逼近精确解双变量上的函数f0：

双(f0)

ans =2×10.1427 - 7.2410

在图的极值处添加点标记:

绘图（g0，f0，“好吧”）

二阶导数:寻找拐点

计算二阶导数可以找到表达式的拐点。计算二阶或高阶导数最有效的方法是使用指定导数阶数的参数:

H = diff(f, x, 2)

h =
                 
                   $\begin{array}{l} \frac{18 x + 34}{σ_{1}} - \frac{2 (6 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 34 x + 6)}{{σ_{1}}^{2}} - \frac{12 x σ_{2}}{{σ_{1}}^{2}} + \frac{2 {(6 x^{2} - 1)}^{2} σ_{2}}{{σ_{1}}^{3.}} \\ 在哪里 \\ σ_{1} ＝ 2 x^{3.} - x + 3. \\ σ_{2} ＝ 3. x^{3.} + 17 x^{2} + 6 x + 1 \end{array}$

现在把结果简化一下:

h =简化(h)

h =
                 
                   $\frac{2 (68 x^{6} + 90 x^{5} + 18 x^{4} - 699 x^{3.} - 249 x^{2} + 63 x + 172)}{{(2 x^{3.} - x + 3.)}^{3.}}$

寻找经济的拐点f，解方程h = 0．这里，使用数值求解器vpasolve计算解的浮点近似:金宝搏官方网站

H0 = vpasolve(h, x)

h0 =
                 
                   $（ \begin{array}{c} 0.57871842655441748319601085860196 \\ 1.8651543689917122385037075917613 \\ - 1.4228127856020972275345064554049 - 1.8180342567480118987898749770461 我 \\ - 1.4228127856020972275345064554049 + 1.8180342567480118987898749770461 我 \\ - 0.46088831805332057449182335801198 + 0.47672261854520359440077796751805 我 \\ - 0.46088831805332057449182335801198 - 0.47672261854520359440077796751805 我 \end{array} ）$

表达式f有两个拐点:x = 1.865和x = 0.579.注意vpasolve也返回复杂的解决方案。金宝搏官方网站丢弃那些:

h0(图像放大(h0) ~ = 0) = []

h0 =
                 
                   $（ \begin{array}{c} 0.57871842655441748319601085860196 \\ 1.8651543689917122385037075917613 \end{array} ）$

在图中添加显示拐点的标记:

情节(h0潜艇(f, x, h0),‘* k”)持有从

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