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此示例显示如何使用符号数学工具箱™计算确定的积分。

确定积分

表明明确的积分 $\int_{一种}^{B.} F （ X ） D. X$ 为了 $F （ X ） = S. 一世 N （ X ）$ 在 $[\frac{π}{2} 那 \frac{3. π}{2}]$ 是0。

Syms.Xint（sin（x），pi / 2,3 * pi / 2）

ans =.
                  $0.$

Maxima和Minima的明确积分

最大化 $F （一种） = \int_{- 一种}^{一种} 罪（一种 X ）罪（ X / 一种） D. X$ 为了 $一种 \geq 0.$ 首先，定义符号变量并假设 $一种 \geq 0.$ ：

Syms.一种X假设（a> = 0）;

然后，定义最大化的函数：

f = int（sin（a * x）* sin（x / a），x，-a，a）

f =
                 
                   ${\begin{array}{cl} 1 - \frac{罪 （ 2 ）}{2} & 如果 一种 = 1 \\ \frac{2 一种 (罪 （ {一种}^{2} ） COS. （ 1 ） - {一种}^{2} COS. （ {一种}^{2} ） 罪 （ 1 ）)}{{一种}^{4.} - 1} & 如果 一种 \neq 1 \end{array}$

注意这里的特例 $一种 = 1$ 。使计算更容易，使用假定忽略这种可能性（并稍后检查） $一种 = 1$ 不是最大值）：

假定（a = 1）;f = int（sin（a * x）* sin（x / a），x，-a，a）

f =
                 
                   $\frac{2 一种 (罪 （ {一种}^{2} ） COS. （ 1 ） - {一种}^{2} COS. （ {一种}^{2} ） 罪 （ 1 ）)}{{一种}^{4.} - 1}$

创建一个 $F$ 检查其形状：

fplot（f，[0 10]）

用差找到衍生物 $F$ 关于 $一种$ ：

Fa = Diff（F，A）

FA =
                 
                   $\begin{array}{l} \frac{2 {σ.}_{1}}{{一种}^{4.} - 1} + \frac{2 一种 (2 一种 COS. （ {一种}^{2} ） COS. （ 1 ） - 2 一种 COS. （ {一种}^{2} ） 罪 （ 1 ） + 2 {一种}^{3.} 罪 （ {一种}^{2} ） 罪 （ 1 ）)}{{一种}^{4.} - 1} - \frac{8. {一种}^{4.} {σ.}_{1}}{{({一种}^{4.} - 1)}^{2}} \\ 在哪里 \\ {σ.}_{1} = 罪 （ {一种}^{2} ） COS. （ 1 ） - {一种}^{2} COS. （ {一种}^{2} ） 罪 （ 1 ） \end{array}$

零的零 $F 一种$ 是当地的极值 $F$ ：

抓住在Fplot（FA，[0 10]）网格在

最大值在1到2.使用之间vpasolve.求的零点的近似值 $F 一种$ 在这个间隔：

a_max = vpasolve（fa，a，[1,2]）

a_max =
                  $1.57828815852331980755588451855888451805833.$

用subs要获得积分的最大值：

f_max = subs（f，a，a_max）

f_max =
                  $0.36730152527504169588661811770092 COS. （ 1 ） + 1.2020566879911789986062956284113 罪 （ 1 ）$

结果仍然包含精确的数字 $罪（ 1 ）$ 和 $COS. （ 1 ）$ 。用VPA.要通过数值近似替换这些：

VPA（f_max）

ans =.
                  $1.2099496860938456039155811226054$

检查排除案例 $一种 = 1$ 不会导致更大的值：

VPA（int（sin（x）* sin（x），x，-1,1）））

ans =.
                  $0.54535128658715915230199006704413.$

多集成

高尺寸区域的数值集成具有特殊功能：

积分2（@（x，y）x。^ 2-y。^ 2,0,1,0,1）

ans = 4.0127e-19

没有这样的特殊功能，可以进行高维符号集成。使用嵌套的一维积分（而不是：

Syms.Xyint（int（x ^ 2-y ^ 2，y，0,1），x，0,1）

ans =.
                  $0.$

线路积分

定义矢量字段F在3D空间中：

Syms.XyZ.f（x，y，z）= [x ^ 2 * y * z，x * y，2 * y * z];

接下来，定义曲线：

Syms.T.UX（t）= sin（t）;UY（t）= t ^ 2-t;UZ（t）= t;

线路积分F沿着曲线你被定义为 $\int F \cdot D. 你 = \int F （你 X （ T. ）那你 y （ T. ）那你 Z. （ T. ）） \cdot \frac{D. 你}{D. T.} D. T.$ ，在那里 $\cdot$ 在右侧表示标量产品。

使用此定义计算积分的线路 $T.$ 从 $[0. 那 1]$

f_int = int（f（ux，uy，uz）* diff（[ux; uy; uy; uz]，t），t，0,1）

f_int =.
                 
                   $\frac{19. COS. （ 1 ）}{4.} - \frac{COS. （ 3. ）}{108} - 12. 罪 （ 1 ） + \frac{罪 （ 3. ）}{27.} + \frac{395.}{54.}$

得到这个精确结果的数值近似:

VPA（F_INT）

ans =.
                  $- 0.20200778585035447453044423341349$

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