模拟钟摆周期性摆动的运动GydF4y2Ba

这个例子说明了如何使用模拟符号数学工具箱™单摆运动。导出摆的运动方程，然后分析对于小角度和数值求解方程的任何角度。GydF4y2Ba

第一步:推导运动方程GydF4y2Ba

摆是一个遵循微分方程的简单机械系统。钟摆最初是在垂直位置上静止的。当摆被一个角度移动时GydF4y2Ba $θGydF4y2Ba$ 释放后，重力把它拉回到它的静止位置。它的动量使它超越并形成一个角度GydF4y2Ba $-GydF4y2Ba θGydF4y2Ba$ (如果没有摩擦力)等等。沿钟摆运动方向由于重力的恢复力为GydF4y2Ba $-GydF4y2Ba 米GydF4y2Ba GGydF4y2Ba 罪GydF4y2Ba θGydF4y2Ba$ 。因此，根据牛顿第二定律，质量乘以加速度一定是相等的GydF4y2Ba $-GydF4y2Ba 米GydF4y2Ba GGydF4y2Ba 罪GydF4y2Ba θGydF4y2Ba$ 。GydF4y2Ba

SYMSGydF4y2Ba米GydF4y2Ba一个GydF4y2BaGGydF4y2BaTHETA（t）的GydF4y2Ba等式= M * A == -m * G * SIN（THETA）GydF4y2Ba

等式（T）=GydF4y2Ba
                  $一个GydF4y2Ba 米GydF4y2Ba =GydF4y2Ba -GydF4y2Ba GGydF4y2Ba 米GydF4y2Ba 罪GydF4y2Ba （GydF4y2Ba θGydF4y2Ba （GydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba$

对于有长度的钟摆GydF4y2Ba $[RGydF4y2Ba$ 时，摆锤的加速度等于角加速度倍GydF4y2Ba $[RGydF4y2Ba$ 。GydF4y2Ba

$一个GydF4y2Ba =GydF4y2Ba [RGydF4y2Ba \frac{{dGydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba} θGydF4y2Ba}{dGydF4y2Ba {ŤGydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba}}$ 。GydF4y2Ba

代替GydF4y2Ba $一个GydF4y2Ba$ 通过使用GydF4y2Ba潜艇GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

SYMSGydF4y2Ba[RGydF4y2Ba等式=潜艇（等式，A，R * DIFF（THETA，2））GydF4y2Ba

等式（T）=GydF4y2Ba
                 
                   $米GydF4y2Ba [RGydF4y2Ba \frac{{\partialGydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba}}{\partialGydF4y2Ba {ŤGydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba}} θGydF4y2Ba （GydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba =GydF4y2Ba -GydF4y2Ba GGydF4y2Ba 米GydF4y2Ba 罪GydF4y2Ba （GydF4y2Ba θGydF4y2Ba （GydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba$

隔离在角加速度GydF4y2BaeqnGydF4y2Ba通过使用GydF4y2Ba隔离GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

等式=分离物（等式，DIFF（THETA，2））GydF4y2Ba

eqn =GydF4y2Ba
                 
                   $\frac{{\partialGydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba}}{\partialGydF4y2Ba {ŤGydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba}} θGydF4y2Ba （GydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba =GydF4y2Ba -GydF4y2Ba \frac{GGydF4y2Ba 罪GydF4y2Ba （GydF4y2Ba θGydF4y2Ba （GydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba}{[RGydF4y2Ba}$

收集常数GydF4y2Ba $GGydF4y2Ba$ 和GydF4y2Ba $[RGydF4y2Ba$ 成一个单一的参数，其也被称为GydF4y2Ba固有频率GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

${ωGydF4y2Ba}_{0GydF4y2Ba} =GydF4y2Ba \sqrt{\frac{GGydF4y2Ba}{[RGydF4y2Ba}}$ 。GydF4y2Ba

SYMSGydF4y2Baomega_0GydF4y2Baeqn =潜艇(eqn, g / r, omega_0 ^ 2)GydF4y2Ba

eqn =GydF4y2Ba
                 
                   $\frac{{\partialGydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba}}{\partialGydF4y2Ba {ŤGydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba}} θGydF4y2Ba （GydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba =GydF4y2Ba -GydF4y2Ba {ωGydF4y2Ba}_{0GydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba} 罪GydF4y2Ba （GydF4y2Ba θGydF4y2Ba （GydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba$

第二步:将运动方程线性化GydF4y2Ba

运动方程是非线性的，所以它是很难求解。假定的角度是小的，并通过使用的泰勒展开线性化方程GydF4y2Ba $罪GydF4y2Ba θGydF4y2Ba$ 。GydF4y2Ba

SYMSGydF4y2BaXGydF4y2Ba约=泰勒(sin (x), x,GydF4y2Ba“秩序”GydF4y2Ba2);约=潜艇(大约x,θ(t))GydF4y2Ba

约=GydF4y2Ba
                  $θGydF4y2Ba （GydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba$

运动方程变为线性方程。GydF4y2Ba

eqnLinear =潜艇（等式，SIN（THETA（t））的，大约）GydF4y2Ba

eqnLinear =GydF4y2Ba
                 
                   $\frac{{\partialGydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba}}{\partialGydF4y2Ba {ŤGydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba}} θGydF4y2Ba （GydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba =GydF4y2Ba -GydF4y2Ba {ωGydF4y2Ba}_{0GydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba} θGydF4y2Ba （GydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba$

第三步:解析求解运动方程GydF4y2Ba

解方程GydF4y2BaeqnLinearGydF4y2Ba通过使用GydF4y2BadsolveGydF4y2Ba。指定的初始条件作为第二个参数。简化通过假定溶液GydF4y2Ba ${ωGydF4y2Ba}_{0GydF4y2Ba}$ 是真实的使用GydF4y2Ba假设GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

SYMSGydF4y2Batheta_0GydF4y2Batheta_t0GydF4y2Batheta_t = diff(θ);cond = [theta(0) == theta_0, theta_t(0) == theta_t0];假设(omega_0GydF4y2Ba“真实”的GydF4y2Ba）thetaSol（T）= dsolve（eqnLinear，COND）GydF4y2Ba

thetaSol (t) =GydF4y2Ba
                 
                   ${θGydF4y2Ba}_{0GydF4y2Ba} 因为GydF4y2Ba （GydF4y2Ba {ωGydF4y2Ba}_{0GydF4y2Ba} ŤGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba +GydF4y2Ba \frac{{θGydF4y2Ba}_{T0GydF4y2Ba} 罪GydF4y2Ba （GydF4y2Ba {ωGydF4y2Ba}_{0GydF4y2Ba} ŤGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba}{{ωGydF4y2Ba}_{0GydF4y2Ba}}$

步骤4：物理意义GydF4y2Ba ${ωGydF4y2Ba}_{0GydF4y2Ba}$

这个词GydF4y2Ba ${ωGydF4y2Ba}_{0GydF4y2Ba} ŤGydF4y2Ba$ 被称为GydF4y2Ba阶段GydF4y2Ba。cos和sin函数重复每一次GydF4y2Ba $2GydF4y2Ba πGydF4y2Ba$ 。需要改变的时间GydF4y2Ba ${ωGydF4y2Ba}_{0GydF4y2Ba} ŤGydF4y2Ba$ 通过GydF4y2Ba $2GydF4y2Ba πGydF4y2Ba$ 叫做时间段。GydF4y2Ba

$ŤGydF4y2Ba =GydF4y2Ba \frac{2GydF4y2Ba πGydF4y2Ba}{{ωGydF4y2Ba}_{0GydF4y2Ba}} =GydF4y2Ba 2GydF4y2Ba πGydF4y2Ba \sqrt{\frac{[RGydF4y2Ba}{GGydF4y2Ba}}$ 。GydF4y2Ba

的时间段GydF4y2Ba $ŤGydF4y2Ba$ 正比于钟摆长度的平方根它不依赖于质量。对于线性运动方程，时间周期不依赖于初始条件。GydF4y2Ba

第5步：剧情钟摆运动GydF4y2Ba

为小角度近似值绘制钟摆的运动曲线。GydF4y2Ba

定义物理参数:GydF4y2Ba

重力加速度GydF4y2Ba $GGydF4y2Ba =GydF4y2Ba 9GydF4y2Ba 。GydF4y2Ba 8GydF4y2Ba 1GydF4y2Ba {米/秒GydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba}$
摆的长度GydF4y2Ba $[RGydF4y2Ba =GydF4y2Ba 1GydF4y2Ba 米GydF4y2Ba$

gValue = 9.81;右值= 1;omega_0Value =√gValue /右值);T = 2 *π/ omega_0Value;GydF4y2Ba

设置初始条件。GydF4y2Ba

theta_0Value = 0.1 *π;GydF4y2Ba％的解决方案只适用于小角度。GydF4y2Batheta_t0Value = 0;GydF4y2Ba％开始休息。GydF4y2Ba

替代物理参数和初始条件为一般的解决方案。GydF4y2Ba

瓦尔= [omega_0 theta_0 theta_t0];值= [omega_0Value theta_0Value theta_t0Value];thetaSolPlot =潜艇（thetaSol，乏，值）;GydF4y2Ba

绘制谐波钟摆运动。GydF4y2Ba

fplot（thetaSolPlot（T * T）/ PI，[0 5]）;格GydF4y2Ba在GydF4y2Ba;标题(GydF4y2Ba“谐波钟摆运动”GydF4y2Ba);xlabel（GydF4y2Ba'T / T'GydF4y2Ba);ylabel（GydF4y2Ba'\ THETA / \ P1'GydF4y2Ba);GydF4y2Ba

找到解决方案后GydF4y2Ba $θGydF4y2Ba （GydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba$ ，可视化摆的运动。GydF4y2Ba

x_pos =罪(thetaSolPlot);y_pos = cos (thetaSolPlot);fanimator (@fplot x_pos y_pos,GydF4y2Ba“柯”GydF4y2Ba，GydF4y2Ba“MarkerFaceColor”GydF4y2Ba，GydF4y2Ba“k”GydF4y2Ba，GydF4y2Ba'AnimationRange'GydF4y2Ba[0 5 * T]);保持GydF4y2Ba在GydF4y2Ba;fanimator（@（t）的曲线图（[0 X_POS（T）]，[0 Y_POS（T）]，GydF4y2Ba“k -”GydF4y2Ba),GydF4y2Ba'AnimationRange'GydF4y2Ba[0 5 * T]);fanimator (@ (t)文本(-0.3,0.3,GydF4y2Ba计时器:“GydF4y2Ba+ num2str (t, 2) +GydF4y2Ba“S”GydF4y2Ba),GydF4y2Ba'AnimationRange'GydF4y2Ba[0 5 * T]);GydF4y2Ba

输入的命令GydF4y2Ba那里GydF4y2Ba玩钟摆运动的动画。GydF4y2Ba

步骤6:确定非线性摆运动使用恒定能量路径GydF4y2Ba

为了理解摆的非线性运动，通过使用等式为总能量显现摆路径。总能量是守恒的。GydF4y2Ba

$ËGydF4y2Ba =GydF4y2Ba \frac{1GydF4y2Ba}{2GydF4y2Ba} 米GydF4y2Ba {[RGydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba} {（GydF4y2Ba \frac{dGydF4y2Ba θGydF4y2Ba}{DTGydF4y2Ba} ）GydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba} +GydF4y2Ba 米GydF4y2Ba GGydF4y2Ba [RGydF4y2Ba （GydF4y2Ba 1GydF4y2Ba -GydF4y2Ba 因为GydF4y2Ba θGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba$

利用三角恒等式GydF4y2Ba $1GydF4y2Ba -GydF4y2Ba 因为GydF4y2Ba θGydF4y2Ba =GydF4y2Ba 2GydF4y2Ba {罪GydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba} （GydF4y2Ba θGydF4y2Ba /GydF4y2Ba 2GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba$ 和的关系GydF4y2Ba ${ωGydF4y2Ba}_{0GydF4y2Ba} =GydF4y2Ba \sqrt{GGydF4y2Ba /GydF4y2Ba [RGydF4y2Ba}$ 来改写能量的比例。GydF4y2Ba

$\frac{ËGydF4y2Ba}{米GydF4y2Ba {[RGydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba}} =GydF4y2Ba \frac{1GydF4y2Ba}{2GydF4y2Ba} [GydF4y2Ba {（GydF4y2Ba \frac{dGydF4y2Ba θGydF4y2Ba}{DTGydF4y2Ba} ）GydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba} +GydF4y2Ba {（GydF4y2Ba 2GydF4y2Ba {ωGydF4y2Ba}_{0GydF4y2Ba} 罪GydF4y2Ba \frac{θGydF4y2Ba}{2GydF4y2Ba} ）GydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba}]GydF4y2Ba$

由于能量是守恒的，所以摆的运动可以用相空间中恒定的能量路径来描述。相空间是一个具有坐标的抽象空间GydF4y2Ba $θGydF4y2Ba$ 和GydF4y2Ba $dGydF4y2Ba θGydF4y2Ba /GydF4y2Ba dGydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba$ 。使用以下工具可视化这些路径GydF4y2BafcontourGydF4y2Ba。GydF4y2Ba

SYMSGydF4y2BaTHETAGydF4y2Batheta_tGydF4y2Baomega_0GydF4y2BaE(θ,theta_t omega_0) = (1/2) * (theta_t ^ 2 + (2 * omega_0 * sin(θ/ 2))^ 2);Eplot(theta, theta_t) = subs(E,omega_0,omega_0Value);图;fc = fcontour(Eplot(pi*theta, 2*omega_0Value*theta_t)， 2*[-1 -1 -1]，GydF4y2Ba...GydF4y2Ba“线宽”GydF4y2Ba，2，GydF4y2Ba“LevelList”GydF4y2Ba0:5:50,GydF4y2Ba“MeshDensity”GydF4y2Ba1 + 2 ^ 8);格GydF4y2Ba在GydF4y2Ba;标题(GydF4y2Ba“相位空间中的恒定能量等值线(\theta vs. \theta_t)”GydF4y2Ba);xlabel（GydF4y2Ba'\ THETA / \ P1'GydF4y2Ba);ylabel（GydF4y2Ba“\ theta_t / 2 \ omega_0”GydF4y2Ba);GydF4y2Ba

等能线是对称的GydF4y2Ba $θGydF4y2Ba$ 轴和GydF4y2Ba $dGydF4y2Ba θGydF4y2Ba /GydF4y2Ba dGydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba$ 轴线，和沿着所述周期性GydF4y2Ba $θGydF4y2Ba$ 轴。图中显示了两个具有不同行为的区域。GydF4y2Ba

等高线图的较低能量接近它们本身。钟摆在两个最大角度和速度之间来回摆动。摆的动能不足以克服万有引力，使摆完成一个完整的循环。GydF4y2Ba

等高线图的更高的能量不关闭在他们自己。钟摆总是在移动一个角度方向。钟摆的动能足以克服重力的能量，使钟摆做一个完整的循环。GydF4y2Ba

第七步:解非线性运动方程GydF4y2Ba

运动的非线性方程是二阶微分方程。通过使用数值求解这些方程GydF4y2Ba数值GydF4y2Ba解算器。因为GydF4y2Ba数值GydF4y2Ba只接受一阶系统，将系统简化为一阶系统。然后，生成作为输入的函数句柄GydF4y2Ba数值GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

将二阶ODE重写为一阶ODE系统。GydF4y2Ba

SYMSGydF4y2BaTHETA（t）的GydF4y2Batheta_t（t）的GydF4y2Baomega_0GydF4y2Ba方程= [DIFF（THETA）== theta_t;DIFF（theta_t）== -omega_0 ^ 2 * SIN（THETA）]GydF4y2Ba

方程（T）=GydF4y2Ba
                 
                   $（GydF4y2Ba \begin{array}{c} \frac{\partialGydF4y2Ba}{\partialGydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba} θGydF4y2Ba （GydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba =GydF4y2Ba {θGydF4y2Ba}_{ŤGydF4y2Ba} （GydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba \\ \frac{\partialGydF4y2Ba}{\partialGydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba} {θGydF4y2Ba}_{ŤGydF4y2Ba} （GydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba =GydF4y2Ba -GydF4y2Ba {ωGydF4y2Ba}_{0GydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba} 罪GydF4y2Ba （GydF4y2Ba θGydF4y2Ba （GydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba \end{array} ）GydF4y2Ba$

方程=潜艇（均衡器，omega_0，omega_0Value）;瓦尔=θ，theta_t];GydF4y2Ba

查找质量矩阵GydF4y2Ba中号GydF4y2Ba方程组的右边GydF4y2BaFGydF4y2Ba。GydF4y2Ba

[M F] = massMatrixForm(方程式一样,var)GydF4y2Ba

M =GydF4y2Ba
                 
                   $（GydF4y2Ba \begin{array}{c} 1GydF4y2Ba & 0GydF4y2Ba \\ 0GydF4y2Ba & 1GydF4y2Ba \end{array} ）GydF4y2Ba$

F =GydF4y2Ba
                 
                   $（GydF4y2Ba \begin{array}{c} {θGydF4y2Ba}_{ŤGydF4y2Ba} （GydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba \\ -GydF4y2Ba \frac{981GydF4y2Ba 罪GydF4y2Ba （GydF4y2Ba θGydF4y2Ba （GydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba}{One hundred.GydF4y2Ba} \end{array} ）GydF4y2Ba$

中号GydF4y2Ba和GydF4y2BaFGydF4y2Ba参照这种形式。GydF4y2Ba

$中号GydF4y2Ba （GydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba ，GydF4y2Ba XGydF4y2Ba （GydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba \frac{DXGydF4y2Ba}{DTGydF4y2Ba} =GydF4y2Ba FGydF4y2Ba （GydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba ，GydF4y2Ba XGydF4y2Ba （GydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba 。GydF4y2Ba$

为了简化进一步的计算，将系统重写为这种形式GydF4y2Ba $dGydF4y2Ba XGydF4y2Ba /GydF4y2Ba dGydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba =GydF4y2Ba FGydF4y2Ba （GydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba ，GydF4y2Ba XGydF4y2Ba （GydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba$ 。GydF4y2Ba

˚F= M \˚FGydF4y2Ba

f =GydF4y2Ba
                 
                   $（GydF4y2Ba \begin{array}{c} {θGydF4y2Ba}_{ŤGydF4y2Ba} （GydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba \\ -GydF4y2Ba \frac{981GydF4y2Ba 罪GydF4y2Ba （GydF4y2Ba θGydF4y2Ba （GydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba}{One hundred.GydF4y2Ba} \end{array} ）GydF4y2Ba$

兑换GydF4y2BaFGydF4y2Ba一个用MATLAB实现的函数句柄GydF4y2BaodeFunctionGydF4y2Ba。得到的功能手柄输入到MATLAB ODE求解GydF4y2Ba数值GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

f = odeFunction(f, vars)GydF4y2Ba

f =GydF4y2Ba与价值function_handle：GydF4y2Ba@ (t, in2) [in2(2:);罪(in2 (1:))。* 2./1.0 (-9.81 e + e + 2))GydF4y2Ba

步骤8:求解闭合能量等值线的运动方程GydF4y2Ba

通过求解封闭能量轮廓ODEGydF4y2Ba数值GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

从能源等高线图，封闭轮廓满足条件GydF4y2Ba ${θGydF4y2Ba}_{0GydF4y2Ba} =GydF4y2Ba 0GydF4y2Ba$ ，GydF4y2Ba ${θGydF4y2Ba}_{ŤGydF4y2Ba 0GydF4y2Ba} /GydF4y2Ba 2GydF4y2Ba {ωGydF4y2Ba}_{0GydF4y2Ba} \leqGydF4y2Ba 1GydF4y2Ba$ 。存储的初始条件GydF4y2Ba $θGydF4y2Ba$ 和GydF4y2Ba $dGydF4y2Ba θGydF4y2Ba /GydF4y2Ba dGydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba$ 在变量GydF4y2BaX0GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

x0 = [0;1.99 * omega_0Value];GydF4y2Ba

指定从0秒到10秒的时间间隔来找到解决方案。这个间隔允许钟摆经过两个完整的周期。GydF4y2Ba

时间Tinit = 0;T最终= 10;GydF4y2Ba

解决ODE。GydF4y2Ba

溶胶= ODE45（F，[时间Tinit T最终]，X0）GydF4y2Ba

溶胶=GydF4y2Ba结构体字段:GydF4y2Ba求解器： 'ODE45' 扩展数据：[1x1的结构]×：[1x45双] Y：[2x45双]统计：[1x1的结构] IDATA：[1x1的结构]GydF4y2Ba

:sols.y (1)GydF4y2Ba表示角位移GydF4y2Ba $θGydF4y2Ba$ 和GydF4y2Basols.y（2，:)GydF4y2Ba表示角速度GydF4y2Ba $dGydF4y2Ba θGydF4y2Ba /GydF4y2Ba dGydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba$ 。GydF4y2Ba

画出闭合路径解。GydF4y2Ba

图;yyaxisGydF4y2Ba剩下GydF4y2Ba;图（sols.x，sols.y（1，:)，GydF4y2Ba“o”GydF4y2Ba);ylabel（GydF4y2Ba“\θ(rad)”GydF4y2Ba);yyaxisGydF4y2Ba对GydF4y2Ba;图（sols.x，sols.y（2，:)，GydF4y2Ba“o”GydF4y2Ba);ylabel（GydF4y2Ba'\ theta_t（弧度/秒）'GydF4y2Ba);格GydF4y2Ba在GydF4y2Ba;标题(GydF4y2Ba“相空间中的闭合路径”GydF4y2Ba);xlabel（GydF4y2Ba'T（S）'GydF4y2Ba);GydF4y2Ba

可视化的钟摆运动。GydF4y2Ba

X_POS = @（t）的SIN（德瓦尔（溶胶，T，1））;Y_POS = @（T）-cos（德瓦尔（溶胶，T，1））;图;fanimator（@（t）的曲线图（X_POS（吨），Y_POS（T），GydF4y2Ba“柯”GydF4y2Ba，GydF4y2Ba“MarkerFaceColor”GydF4y2Ba，GydF4y2Ba“k”GydF4y2Ba））;保持GydF4y2Ba在GydF4y2Ba;fanimator（@（t）的曲线图（[0 X_POS（T）]，[0 Y_POS（T）]，GydF4y2Ba“k -”GydF4y2Ba））;fanimator（@（T）文本（-0.3,1.5，GydF4y2Ba计时器:“GydF4y2Ba+ num2str (t, 2) +GydF4y2Ba“S”GydF4y2Ba））;GydF4y2Ba

输入的命令GydF4y2Ba那里GydF4y2Ba玩钟摆运动的动画。GydF4y2Ba

步骤9:开放能量金宝搏官方网站等值线上的解决方案GydF4y2Ba

求解能量等值线的常微分方程GydF4y2Ba数值GydF4y2Ba。从能源等高线图，开放式轮廓满足条件GydF4y2Ba ${θGydF4y2Ba}_{0GydF4y2Ba} =GydF4y2Ba 0GydF4y2Ba$ ，GydF4y2Ba ${θGydF4y2Ba}_{ŤGydF4y2Ba 0GydF4y2Ba} /GydF4y2Ba 2GydF4y2Ba {ωGydF4y2Ba}_{0GydF4y2Ba} >GydF4y2Ba 1GydF4y2Ba$ 。GydF4y2Ba

x0 = [0;2.01 * omega_0Value];sols = ode45(f， [tInit, tFinal]， x0);GydF4y2Ba

绘制开放能等值线的解。GydF4y2Ba

图;yyaxisGydF4y2Ba剩下GydF4y2Ba;图（sols.x，sols.y（1，:)，GydF4y2Ba“o”GydF4y2Ba);ylabel（GydF4y2Ba“\θ(rad)”GydF4y2Ba);yyaxisGydF4y2Ba对GydF4y2Ba;图（sols.x，sols.y（2，:)，GydF4y2Ba“o”GydF4y2Ba);ylabel（GydF4y2Ba'\ theta_t（弧度/秒）'GydF4y2Ba);格GydF4y2Ba在GydF4y2Ba;标题(GydF4y2Ba“在相空间的开放路径”GydF4y2Ba);xlabel（GydF4y2Ba'T（S）'GydF4y2Ba);GydF4y2Ba

可视化的钟摆运动。GydF4y2Ba

X_POS = @（t）的SIN（德瓦尔（溶胶，T，1））;Y_POS = @（T）-cos（德瓦尔（溶胶，T，1））;图;fanimator（@（t）的曲线图（X_POS（吨），Y_POS（T），GydF4y2Ba“柯”GydF4y2Ba，GydF4y2Ba“MarkerFaceColor”GydF4y2Ba，GydF4y2Ba“k”GydF4y2Ba））;保持GydF4y2Ba在GydF4y2Ba;fanimator（@（t）的曲线图（[0 X_POS（T）]，[0 Y_POS（T）]，GydF4y2Ba“k -”GydF4y2Ba））;fanimator（@（T）文本（-0.3,1.5，GydF4y2Ba计时器:“GydF4y2Ba+ num2str (t, 2) +GydF4y2Ba“S”GydF4y2Ba））;GydF4y2Ba