使用符号数学工具箱金宝app验证Simulink模型GydF4y2Ba

打开生活的脚本GydF4y2Ba

此示例示出了如何建模反弹球，这是一个传统的混合动力系统。该模型包括两个连续动力学和离散的转换。它使用符号数学工具箱来帮助解释一些理论背后的ODE求解GydF4y2Ba金宝app反弹球的型号的SimulinkGydF4y2Ba。GydF4y2Ba

假设GydF4y2Ba

球没有角度篮板GydF4y2Ba
没有阻力GydF4y2Ba
高度在时间t = 0为10米GydF4y2Ba
用向上的为15m / s的速度抛出GydF4y2Ba

求导GydF4y2Ba

恢复系数被定义为GydF4y2Ba

${CGydF4y2Ba}_{[RGydF4y2Ba} =GydF4y2Ba {vGydF4y2Ba}_{bGydF4y2Ba} -GydF4y2Ba {vGydF4y2Ba}_{一个GydF4y2Ba} /GydF4y2Ba {üGydF4y2Ba}_{一个GydF4y2Ba} -GydF4y2Ba {üGydF4y2Ba}_{bGydF4y2Ba}$

其中v是物体的碰撞前的速度，u是之后的速度。GydF4y2Ba

我们分裂二阶微分方程GydF4y2Ba

$\frac{{dGydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba} HGydF4y2Ba}{dGydF4y2Ba {ŤGydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba}} =GydF4y2Ba -GydF4y2Ba GGydF4y2Ba$

成GydF4y2Ba

$\frac{dGydF4y2Ba HGydF4y2Ba}{dGydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba} =GydF4y2Ba vGydF4y2Ba$ 离散为GydF4y2Ba $\frac{HGydF4y2Ba （GydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba +GydF4y2Ba ΔGydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba -GydF4y2Ba HGydF4y2Ba （GydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba}{ΔGydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba} =GydF4y2Ba vGydF4y2Ba （GydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba$

和GydF4y2Ba

$\frac{dGydF4y2Ba vGydF4y2Ba}{dGydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba} =GydF4y2Ba -GydF4y2Ba GGydF4y2Ba$ 离散为GydF4y2Ba $\frac{vGydF4y2Ba （GydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba +GydF4y2Ba ΔGydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba -GydF4y2Ba vGydF4y2Ba （GydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba}{ΔGydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba} =GydF4y2Ba -GydF4y2Ba GGydF4y2Ba$

我们将使用基本的一阶数值积分使用前向欧拉。GydF4y2Ba

$HGydF4y2Ba （GydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba +GydF4y2Ba ΔGydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba =GydF4y2Ba HGydF4y2Ba （GydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba +GydF4y2Ba vGydF4y2Ba （GydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba ΔGydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba$

$vGydF4y2Ba （GydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba +GydF4y2Ba ΔGydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba =GydF4y2Ba vGydF4y2Ba （GydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba -GydF4y2Ba GGydF4y2Ba ΔGydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba$

用分析的方法解决问题GydF4y2Ba

使用符号数学工具箱，我们可以通过分析解决这个问题。这使我们能够解决一些问题更容易，如精确地确定何时所述第一球撞击地面（下文）。GydF4y2Ba

我们声明符号变量。GydF4y2Ba

SYMSGydF4y2BaGGydF4y2BaŤGydF4y2BaH T）GydF4y2BaH_0GydF4y2BaV_0GydF4y2Ba

分解二阶微分方程GydF4y2Ba $\frac{{dGydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba} HGydF4y2Ba}{dGydF4y2Ba {ŤGydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba}} =GydF4y2Ba -GydF4y2Ba GGydF4y2Ba$ 成GydF4y2Ba $\frac{dGydF4y2Ba HGydF4y2Ba}{dGydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba} =GydF4y2Ba vGydF4y2Ba$ 和GydF4y2Ba $\frac{dGydF4y2Ba vGydF4y2Ba}{dGydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba} =GydF4y2Ba -GydF4y2Ba GGydF4y2Ba$ 。GydF4y2Ba

DH = DIFF（H）;D2H = DIFF（H，2）==克GydF4y2Ba

D2H（T）=GydF4y2Ba
                 
                   $\frac{{\partialGydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba}}{\partialGydF4y2Ba {ŤGydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba}} HGydF4y2Ba （GydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba =GydF4y2Ba GGydF4y2Ba$

使用解决ODEGydF4y2BadsolveGydF4y2Ba：GydF4y2Ba

等式= dsolve（D2H，H（0）== H_0，DH（0）== V_0）GydF4y2Ba

公式=GydF4y2Ba
                 
                   $\frac{GGydF4y2Ba {ŤGydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba}}{2GydF4y2Ba} +GydF4y2Ba {vGydF4y2Ba}_{0GydF4y2Ba} ŤGydF4y2Ba +GydF4y2Ba {HGydF4y2Ba}_{0GydF4y2Ba}$

使用参数化探索运动的抛物线轮廓GydF4y2Ba潜艇GydF4y2Ba：GydF4y2Ba

等式=潜艇（方程，[H_0，V_0，克]，[10，15，-9.81]）GydF4y2Ba

公式=GydF4y2Ba
                 
                   $-GydF4y2Ba \frac{981GydF4y2Ba {ŤGydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba}}{200GydF4y2Ba} +GydF4y2Ba 15GydF4y2Ba ŤGydF4y2Ba +GydF4y2Ba 10GydF4y2Ba$

求出球落地的时间为0:GydF4y2Ba

假设(t > 0) tHit = solve(eqn == 0)GydF4y2Ba

tHit =GydF4y2Ba
                 
                   $\frac{20GydF4y2Ba \sqrt{五GydF4y2Ba} \sqrt{26GydF4y2Ba}}{109GydF4y2Ba} +GydF4y2Ba \frac{500GydF4y2Ba}{327GydF4y2Ba}$

可视化解决方案GydF4y2Ba

fplot（方程，[0 10]）ylim（[0 25]）GydF4y2Ba

使用可变精度算法格式化精确结果GydF4y2BaVPAGydF4y2Ba：GydF4y2Ba

DISP（[GydF4y2Ba“与10m和15米的速度的初始高度的球/ s的将在撞到地面”GydF4y2Ba炭（VPA（tHit，4））GydF4y2Ba“秒”。GydF4y2Ba]）GydF4y2Ba

与10m和15米的速度的初始高度的球/ s的将在3.621秒撞到地面。GydF4y2Ba

解决问题数控GydF4y2Ba

设置仿真参数GydF4y2Ba

球的性能GydF4y2Ba

c_bounce = 0.9;GydF4y2Ba％恢复原状的弹跳的系数;完全恢复将是1GydF4y2Ba

模拟的性能GydF4y2Ba

比重= 9.8;GydF4y2Ba重力加速度% (m/s)GydF4y2Baheight_0 = 10;GydF4y2Ba％在时间t = 0（米）初始高度GydF4y2Bavelocity_0 = 15;GydF4y2Ba％在时间t的初始速度= 0（米/秒）GydF4y2Ba

声明模拟时间步长GydF4y2Ba

DT = 0.05;GydF4y2Ba%动画时间步长(s)GydF4y2Bat_final = 25;GydF4y2Ba%模拟周期sGydF4y2Bat = 0时：DT：t_final;GydF4y2Ba％ 时间跨度GydF4y2BaN =长度（T）;GydF4y2Ba迭代的数量％GydF4y2Ba

初始化模拟量GydF4y2Ba

h = [];GydF4y2Ba球的百分比高度作为时间的函数（M）GydF4y2Bav = [];GydF4y2Ba球（米/秒）作为时间的函数的％速度（米/秒）GydF4y2BaH（1）= height_0;V（1）= velocity_0;GydF4y2Ba

模拟弹跳球（我们将使用基本的一阶数值积分使用前向欧拉）：GydF4y2Ba

对于GydF4y2BaI = 1：N-1 V（I + 1）= V（I）-gravity * dt的;H（I + 1）= H（I）+ V（I）* dt的;GydF4y2Ba％当球反弹（高度小于0），GydF4y2Ba％扭转速度，重新计算的位置。GydF4y2Ba％使用恢复系数GydF4y2Ba如果GydF4y2Bah(i+1) < 0 v(i)=-v(i)*c_bounce;v (i + 1) =(我)重力* dt;h (i + 1) = 0 + v (i) * dt;GydF4y2Ba结束GydF4y2Ba结束GydF4y2Ba

可视化和验证模拟GydF4y2Ba

情节(t、h、GydF4y2Ba“o”GydF4y2Ba)举行GydF4y2Ba在GydF4y2Bafplot（方程，[0 10]）标题（GydF4y2Ba“身高随着时间的推移”GydF4y2Ba）ylim（[0 25]）保持GydF4y2Ba离GydF4y2Ba

图（T，V）称号（GydF4y2Ba“速度随着时间的推移”GydF4y2Ba）GydF4y2Ba

验证Numerics的与分析GydF4y2Ba

比较分析结果和数值结果。GydF4y2Ba

需要提醒的冲击的时间为：GydF4y2Ba

DISP（[GydF4y2Ba“与10m和15米的速度的初始高度的球/ s的将在撞到地面”GydF4y2Ba炭（VPA（tHit，4））GydF4y2Ba“秒”。GydF4y2Ba]）GydF4y2Ba

与10m和15米的速度的初始高度的球/ s的将在3.621秒撞到地面。GydF4y2Ba

从数值模拟，我们可以发现在模拟时最接近的值GydF4y2Ba $HGydF4y2Ba （GydF4y2Ba {ŤGydF4y2Ba}_{一世GydF4y2Ba} ）GydF4y2Ba \approxGydF4y2Ba 0GydF4y2Ba$

i =装天花板(双(,越南/ dt));t(张(i + 1)GydF4y2Ba

ANS =GydF4y2Ba1×3GydF4y2Ba3.5500 3.6000 3.6500GydF4y2Ba

情节(t、h、GydF4y2Ba“o”GydF4y2Ba)举行GydF4y2Ba在GydF4y2Bafplot（方程，[0 10]）曲线图（T（[I-1 I I + 1]），H（[I-1 I I + 1]），GydF4y2Ba'* R'GydF4y2Ba）标题（GydF4y2Ba“身高随着时间的推移”GydF4y2Ba）XLIM（[0 5]）ylim（[0 25]）保持GydF4y2Ba离GydF4y2Ba