主要内容

二阶锥规划算法

二阶锥规划的定义

二阶锥规划问题的形式为

最小值 x f T x

受限于

‖ 一个 sc （ 我 ） ⋅ x − b sc （ 我 ） ‖ ≤ d sc T （ 我 ） ⋅ x − γ （ 我 ） 一个 ⋅ x ≤ b Aeq ⋅ x ＝ 说真的 磅 ≤ x ≤ 乌兰巴托 ．

f，x，b，说真的，磅,乌兰巴托是向量，并且一个而且Aeq矩阵。为每一个我，矩阵一个sc（我)，则向量bsc（我),dsc（我)，标量γ（我)的二阶锥约束，您可以使用secondordercone．

也就是说，该问题具有一个线性目标函数和线性约束，以及一组形式为二阶锥的约束 ‖ 一个 sc （ 我 ） ⋅ x − b sc （ 我 ） ‖ ≤ d sc T （ 我 ） ⋅ x − γ （ 我 ） ．

coneprog算法

的coneprog求解器使用在Andersen, Roos和terlaki中描述的算法[1]．该方法是一种内点算法内点linprog算法．

标准形式

算法首先把问题放在标准形式．算法添加非负松弛变量，使问题具有形式

最小值 x f T x

受限于

一个 ⋅ x ＝ b x ∈ K ．

求解器扩展了线性系数向量的大小f和线性约束矩阵一个考虑到松弛变量。

该地区K的叉乘是洛伦兹锥方程1和非负正交向量。对每个凸锥进行转换

‖ 一个 sc （ 我 ） ⋅ x − b sc （ 我 ） ‖ ≤ d sc T （ 我 ） ⋅ x − γ （ 我 ）

变成洛伦兹锥方程1，创建变量列向量t1，t2、……tn＋1：

t 1 ＝ d T x − γ t 2 ： （ n + 1 ） ＝ 一个 sc x − b sc ．

这里是变量的数量n对于每个锥体我行数是多少一个sc（我)．根据它的定义，变量向量t满足不等式

‖ t 2 ： （ n + 1 ） ‖ ≤ t 1 ． (1）

方程1是洛伦兹锥的定义。n+ 1)变量。的变量t出现在问题中的变量x在凸区域K．

在内部，该算法还使用旋转洛伦兹锥在锥约束的重新表述中，但本主题不涉及这种情况。详情请参见Andersen, Roos, and terlaki[1]．

在添加松弛变量时，算法会根据需要对变量进行否定，并添加适当的常数，以便:

  • 只有一个上界的变量的下界为0。

  • 有两个边界的变量的下界为零，而使用松弛变量则没有上界。

  • 将无边界变量置于洛伦兹锥中，并以松弛变量作为约束变量。这个松弛变量不是任何其他表达式、目标或约束的一部分。

对偶问题

双锥是

K * ＝ ｛ 年代 ： 年代 T x ≥ 0 ∀ x ∈ K ｝ ．

对偶问题是

马克斯 y b T y

这样

一个 T y + 年代 ＝ f

对于一些

年代 ∈ K * ．

对偶最优解是一个点(y，年代)，以满足双重约束并使双重目标最大化。

齐次自对偶公式

为了处理潜在的不可行的或无界的问题，该算法增加了两个变量τ而且κ并将问题表述为齐次(等于零)和自对偶。

一个 x − b τ ＝ 0 一个 T y + 年代 − f τ ＝ 0 − f T x + b T y − κ ＝ 0 （2）

除了约束条件

（ x ； τ ） ∈ K ¯ ， （ 年代 ； κ ） ∈ K ¯ * ． （3）

在这里, K ¯ 是锥体K与非负实线相邻，实线是(x；τ)．类似的 K ¯ * 是锥体 K * 与非负实线相邻，实线是(年代；κ)．在这个公式中，下面的引理表明τ是可行的解决方案，和金宝搏官方网站κ是一个不可行问题的指标。

引理（[1]引理2.1)

让(x，τ，y，年代，κ的可行解决方案方程2加上约束条件方程3．

  • xT年代+τκ= 0。

  • 如果τ> 0，然后(x，y，年代) /τ是标准形式二阶锥问题的原对偶最优解。

  • 如果κ> 0，那么至少有一个严格不等式成立:

    bTy> 0

    fTx< 0。

    如果第一个不等式成立，则标准形式的原始二阶锥问题是不可行的。如果二阶不等式成立，则标准形式的对偶二阶锥问题是不可行的。

综上所述，对于可行问题，变量τ在原标准形式问题和齐次自对偶问题之间缩放解。对于不可行的问题，最终迭代(x，y，年代，τ，κ)提供原始标准表格问题不可行的证明。

起点

迭代的起始点是可行点:

  • x每个非负变量= 1，每个洛伦兹锥中的第一个变量为1，否则为0。

  • y= 0。

  • 年代每个圆锥=(1,0，…，0)，每个非负变量为1。

  • τ= 1。

  • κ= 1。

中央路径

算法尝试遵循中央路径，为下式的参数化解γ从1递减到0。

一个 x − b τ ＝ γ （ 一个 x 0 − b τ 0 ） 一个 T y + 年代 − c τ ＝ γ （ 一个 T y 0 + 年代 0 − f τ 0 ） − f T x + b T y − κ ＝ γ （ − f T x 0 + b T y 0 − κ 0 ） X 年代 e ＝ γ μ 0 e τ κ ＝ γ μ 0 ． （4）

  • 每个下标为0的变量表示变量的起始点。

  • 的变量X而且年代是箭头矩阵由x而且年代向量,分别。对于一个向量x= (x1，x2、……xn]，箭头头矩阵X有定义

    X ＝ 垫 （ x ） ＝ ［ x 1 x 2 ： n T x 2 ： n x 1 我 ］ ．

    根据它的定义，X是对称的。

  • 的变量e每个圆锥坐标中都有1的向量是否对应于x1洛伦兹锥坐标。

  • 的变量μ0有定义

    μ 0 ＝ x 0 T 年代 0 + τ 0 κ 0 k + 1 ，

    在哪里k非零元素的个数是多少x0．

中心路径开始于起点，结束于齐次自对偶问题的最优解。

安德森，鲁斯和特拉基[1]在引理3.1中，有互补条件xT年代= 0，其中x而且年代是洛伦兹锥的产物l，等于条件

X 我 年代 我 e 我 ＝ 年代 我 X 我 e 我 ＝ 0

对于每一个锥体我．在这里X我=垫(x我)，x我变量与洛伦兹锥有关吗我，年代我=垫(年代我),e我是适当维数的单位向量[1,0,0，…，0]。讨论表明，中心路径在其端点处满足互补条件。

搜索方向

以中心路径附近的点为参数γ从1递减到0时，算法采用牛顿法。要查找的变量被标记为(x，τ，y，年代，κ)．让dx的搜索方向x变量，等等。然后牛顿阶解下面的线性方程组，由方程4．

一个 d x − b d τ ＝ （ γ − 1 ） （ 一个 x 0 − b τ 0 ） 一个 T d y + d 年代 − f d τ ＝ （ γ − 1 ） （ 一个 T y 0 + 年代 0 − f τ 0 ） − f T d x + b T d y − d κ ＝ （ γ − 1 ） （ − f T x 0 + b T y 0 − κ ） X 0 d 年代 + 年代 0 d x ＝ − X 0 年代 0 e + γ μ 0 e τ 0 d κ + κ 0 d t 一个 u ＝ − τ 0 κ 0 + γ μ 0 ．

算法通过步进得到下一个点d方向。

［ x 1 τ 1 y 1 年代 1 κ 1 ］ ＝ ［ x 0 τ 0 y 0 年代 0 κ 0 ］ + α ［ d x d τ d y d 年代 d κ ］

对于某些步骤 α ∈ ［ 0 ， 1 ］ ．

为了数值稳定性和加速收敛，算法根据Nesterov和Todd的建议缩放步长[8]．此外，该算法根据Mehrotra的预测-校正器的变体来纠正步骤[7]．(欲了解更多细节，请参阅Andersen, Roos和terlaki[1]．）

步骤求解变量

前面的讨论涉及LinearSolver选项的值“增强”指定。求解器具有其他值，这些值改变步长计算以适应不同类型的问题。

  • “汽车”(默认)coneprog选择步进求解器:

    • 如果问题是稀疏的，则步进求解器是“prodchol”．

    • 否则，步进求解器是“增强”．

  • “正常”的一个变体“增强”当问题是稀疏的时候是合适的步骤。见安徒生、鲁斯和特拉基[1]．

  • “舒尔”-求解器使用了一种改进的Schur补法来处理具有少量密集列的稀疏问题。这种方法也适用于大锥。看到安徒生[２]．

  • “prodchol”-求解器使用Goldfarb和Scheinberg ([4]而且［5］)，用于处理带有少量密集列的稀疏问题。这种方法也适用于大锥。

迭代显示和停止条件

在每次迭代中k时，算法计算三个相对收敛测度:

  • 原始的不可行性

    Infeas 原始的 k ＝ ‖ 一个 x k − b τ k ‖ 马克斯 （ 1 ， ‖ 一个 x 0 − b τ 0 ‖ ） ．

  • 双不可行性

    Infeas 双 k ＝ ‖ 一个 T y k + 年代 k − f τ k ‖ 马克斯 （ 1 ， ‖ 一个 T y 0 + 年代 0 − f τ 0 ‖ ） ．

  • 差距不可能实行

    Infeas 差距 k ＝ | − f T x k + b T y k − κ k | 马克斯 （ 1 ， | − f T x 0 + b T y 0 − κ 0 | ） ．

您可以通过指定迭代显示在命令行上查看这三个统计信息。

选项= optimoptions(“coneprog”，“显示”，“通路”）;

当问题可行且求解器收敛时，这三者都应该趋近于零。对于一个可行的问题，变量κk趋于0，变量τk趋于正常数。

其中一个停止条件与间隙不可行性有一定关系。停止条件是当下列最优性度量降低到最优性容差以下时。

最优 k ＝ | f T x k − b T y k | τ k + | b T y k | ＝ | f T x k / τ k − b T y k / τ k | 1 + | b T y k / τ k | ．

这个统计量衡量的是客观值的精度。

在下列条件下，解算器也会停止并宣布问题是不可行的。这三个相对不可行的措施都不足c＝ConstraintTolerance,

τ k ≤ c 马克斯 （ 1 ， κ k ） ．

如果bTyk> 0，则解算者宣布原始问题是不可行的。如果fTxk< 0，则求解者声明对偶问题是不可行的。

算法也会在什么时候停止

μ k ≤ c μ 0

而且

τ k ≤ c 马克斯 （ 1 ， κ k ） ．

在这种情况下，coneprog报告问题在数值上不稳定(退出标志－10)．

当至少有一个不可行措施大于时，则发生剩余停止条件ConstraintTolerance并且计算的步长太小。在这种情况下，coneprog报告称，搜索方向太小，无法取得进一步进展(退出标志7)．

参考文献

[1]安德森，E. D.鲁斯，T.特拉基。关于二次型优化的原对偶内点方法的实现。数学。程序。,爵士。B95， pp. 249-277(2003)。https://doi.org/10.1007/s10107-002-0349-3

[2]安徒生k.d.线性规划内点方法中处理密集列的一种改进schur-补法。计算机科学进展，2006,22(3):348-356。

[3] Ben-Tal, Aharon和Arkadi Nemirovski。工程中的凸优化:建模，分析，算法。(1998)。

[4]戈德法布D. K.谢恩伯格。线性规划内点方法中处理密集列的积型cholesky分解方法。系统工程理论与实践，2004，(1):1 - 34。

[5]戈德法布D. K.谢恩伯格。二阶锥规划内点方法中的积型cholesky分解。系统工程理论与实践，2005,29(1):1 - 5。

[6]罗志全，Jos F. Sturm，张树忠。圆锥凸规划的对偶性和自对偶性。(1996)。

[7] Mehrotra, Sanjay。关于原对偶内点方法的实现SIAM优化期刊,没有。4(1992年11月):575-601。https://doi.org/10.1137/0802028．

[8] Nesterov, Yu。E.和M. J.托德。凸规划的自尺度障碍和内点方法运筹学数学22,没有。1(1997年2月):1 - 42。https://doi.org/10.1287/moor.22.1.1．

另请参阅

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