理解卡尔曼滤波器,第3部分:最优状态估计器
从系列中:理解卡尔曼滤波器
Melda Ulusoy, MathWorks
观看这个视频,了解卡尔曼滤波器的工作原理。卡尔曼滤波器结合了两个信息源,预测状态和噪声测量,以产生系统状态的最佳,无偏估计。该滤波器是最优的,因为它使估计状态的方差最小化。
该示例介绍了一个线性单状态系统,其中测量的输出与状态(汽车的位置)相同。该视频解释了影响系统的过程和测量噪声。您将了解到,卡尔曼滤波器在存在不确定测量时计算无偏状态估计与最小方差。视频通过说明概率密度函数展示了卡尔曼滤波器背后的工作原理。你可以通过下载MATLAB来创建视频中讨论的概率密度函数®从MATLAB中央文件交换代码。
下载这个虚拟实验室通过互动练习学习线性和扩展卡尔曼滤波器设计。
记录日期:2017年3月27日
在本视频中,我们将讨论卡尔曼滤波算法的工作原理。让我们从一个例子开始。当你绝望地盯着账单时,杂志上的一则广告吸引了你的眼球。你可以通过设计一辆使用GPS传感器来测量位置的自动驾驶汽车来获得100万美元的奖金。
你的车应该在100个不同的地形上行驶1公里。每一次,它都必须尽可能靠近终点线。在比赛结束时,计算每个车队的平均最终位置,误差方差最小且平均最终位置最接近1公里的车主将获得大奖。
举个例子。让这些点代表最终位置,红色点代表不同团队的平均最终位置。基于这些结果,Team 1会因为有偏差的平均最终位置而失败,尽管它有很小的方差。第二队也会输。它的平均最终位置是在终点线上,但它有很高的方差。获胜者将是第三队,因为它的方差最小,而且它的平均最终位置在终点线上。
如果你想成为百万富翁,你不会想完全依赖GPS读数,因为它们可能会很吵。为了满足赢得比赛所需的标准,您可以使用卡尔曼滤波器估计汽车的位置。让我们看看这个系统来理解卡尔曼滤波器是如何工作的。
汽车的输入是一个节流阀。我们感兴趣的输出是汽车的位置。对于这样的系统,我们会有多个状态。但是这里,为了给你们直观的感觉,我们假设一个过于简单的系统,车的输入是速度。这个系统只有一个状态,即汽车的位置。我们要测量状态所以矩阵C等于1。
尽可能准确地知道y是很重要的,因为我们希望赛车尽可能接近终点线。但GPS的读数会很嘈杂。我们用v来表示测量噪声,v是一个随机变量。同样,还有过程噪声,它也是随机的,可以代表风的影响或汽车速度的变化。
尽管这些随机变量不遵循某个模式,但使用概率论,我们可以了解它们的平均属性。例如,假设v来自均值为零、协方差为r的高斯分布。这意味着,如果我们测量汽车的位置,假设在同一位置测量100次,这些读数中的噪声将会有一个值,其中大多数位于均值为零的附近,较少位于离均值较远的地方。这就得到了高斯分布,用协方差R来描述。
由于我们有一个单一的输出系统,协方差R是标量,等于测量噪声的方差。类似地,过程噪声也是随机的,并且假设是协方差q的高斯分布。现在,我们知道测量是有噪声的,因此我们测量的并不能很好地反映汽车的真实位置。如果我们知道汽车模型,我们可以通过它运行输入来估计位置。但这个估计也不是完美的,因为现在我们在估计x,由于过程噪声,它是不确定的。这就是卡尔曼滤波器发挥作用的地方。它将这两部分信息结合起来,在存在过程和测量噪声的情况下,对汽车的位置进行最佳估计。
我们将借助概率密度函数直观地讨论卡尔曼滤波器的工作原理。在初始时间步(k - 1)中,汽车的实际位置可以在x ^ (k - 1)周围的任意位置。不确定性可以用概率密度函数来描述。
这个图还告诉我们,汽车最有可能出现在这个分布的均值附近。在下一个时间步骤中,估计的不确定性增加了,这表明方差更大。这是因为在时间步长k - 1到k之间,汽车可能会碾过一个坑,或者车轮可能会滑一点。因此,它行进的距离可能与我们通过模型预测的距离不同。
正如我们之前讨论过的,关于汽车位置的另一个信息来源来自测量。这里方差表示噪声测量中的不确定度。同样,真实位置可以是均值附近的任何位置。
现在我们有了预测和测量,问题是,对汽车位置的最佳估计是什么?事实证明,估计汽车位置的最佳方法是将这两部分信息结合起来。这是通过将这两个概率函数相乘来完成的。其结果也是一个高斯函数。
这个估计值的方差比之前的任何一个估计值都要小,这个概率密度函数的平均值给了我们对汽车位置的最佳估计值。这是卡尔曼滤波器的基本思想。但要赢得竞争,你需要能够实现算法。我们将在下个视频中讨论。
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