反馈循环的稳定性

稳定性通常意味着所有内部信号保持有界。这是对控制系统的标准要求，以避免对设备进行控制和损坏。对于线性反馈系统，可以通过查看闭环传输功能的极点来评估稳定性。考虑例如SISO反馈循环：

图1: SISO反馈回路。

为单位环路增益k，您可以计算闭环传输函数T使用:

g = tf（[。5 1.3]，[1 1.2 1.6 0]）;T =反馈(G, 1);

获得杆子T， 类型

极点（t）

Ans = -0.2305 + 1.3062i -0.2305 - 1.3062i -0.7389 + 0.00000 i

反馈回路k = 1稳定，因为所有杆都有负实零件。

稳定有多稳定？

检查闭环极点给了我们一个稳定性的二元评估。在实践中，了解稳定性的健壮性(或脆弱性)更有用。鲁棒性的一个指标是在失去稳定性之前环路增益可以改变多少。您可以使用根轨迹图来估计的范围k循环稳定的值:

rlocus (G)

单击轨迹与y轴相交的点显示该反馈回路稳定

这个范围表明了k = 1在你失去稳定性之前，环路增益可以增加270%。

增益和相位裕度

环路增益的变化只是鲁棒稳定性的一个方面。一般来说，不完美的植物模型意味着增益和相位都不确切知道。因为建模误差在增益交叉频率(开环增益为0dB的频率)附近最具破坏性，所以在这个频率上可以容忍多少相位变化也很重要。

相位裕度测量在增益交叉频率上需要多少相位变化才能失去稳定性。类似地，增益裕度测量在增益交叉频率上损失稳定性所需的相对增益变化。这两个数字一起给出了闭环稳定性的“安全边际”的估计。稳定性边际值越小，稳定性越脆弱。

您可以如下显示Bode Plot上的增益和相位利润。首先创建情节：

波德(G)、网格

然后，右键单击图并选择特性->最小稳定裕度子菜单。最后，点击蓝点标记。结果图如下图所示:

这表明增益裕度约为9 dB和约45度的相位裕度。相应的闭环步骤响应表现出约20％的过冲和一些振荡。

步骤(T)、标题(' k=1时的闭环响应'）

如果我们增加增益到k = 2，稳定性边缘减少到

(通用、Pm) =利润率(2 * G);GmdB = 20 * log10(通用)DB中的％GAND余量点%相位裕度

GMDB = 2.7435 PM = 8.6328

闭环响应有很差的阻尼振荡，这是接近不稳定的标志。

(2 * G, 1)步骤(反馈),标题(' k=2的闭环响应'）

多重增益或相位交叉系统

一些系统具有多个增益交叉或相交频率，这导致多个增益或相位裕度值。例如，考虑反馈循环

图2:反馈回路与多相交叉

闭环响应k = 1是稳定的:

7 [1] G =特遣部队(20日)*特遣部队(3.2 - 7.2[1],[1 -1.2 - 0.8])*特遣部队([1 8 400],[700]33);T =反馈(G, 1);步骤(T)、标题(' k=1时的闭环响应'）

为了评估这个循环有多稳定，绘制它的波德响应:

波德(G)、网格

然后，右键单击图并选择特性->所有稳定裕度子菜单显示所有交叉频率和相关的稳定裕度。结果图如下所示。

注意，有两个180度相位交叉，对应的增益边界为-9.35dB和+10.6dB。负增益裕度表明通过减少增益而失去稳定性，而正增益裕度表明通过增加增益而失去稳定性。这是通过绘制闭环阶跃响应的正负6dB增益变化约k = 1：

K1 = 2;t1 =反馈（g * k1,1）;K2 = 1/2;T2 =反馈（G * K2,1）;步骤（t，“b”，t1，“r”，t2，‘g’，12），传说（'k = 1'，'k = 2'，'k = 0.5'）

该图显示了较小和更大增益值的增加的振荡。

可以使用该命令allmargin计算所有稳定性边距。注意，增益边距表示为增益比率，而不是DB。用mag2db将值转换为DB。

M = ALLMARGIN（G）GAINMARGINS_DB = MAG2DB（M.GainMargin）

m = struct with fields: GainMargin: [0.3408 3.3920] GMFrequency: [1.9421 16.4807] phasemmargin: 68.1140 PMFrequency: 7.0776 DelayMargin: 0.1680 DMFrequency: 7.0776 Stable: 1 GainMargins_dB = -9.3510 10.6091