大m配方gydF4y2Ba

假设您有一个连续变量gydF4y2BaxgydF4y2Ba上有界的一个常数gydF4y2Ba米gydF4y2Ba:gydF4y2Ba

你想把一个二进制变量指标gydF4y2BazgydF4y2Ba来gydF4y2BaxgydF4y2Ba这gydF4y2BazgydF4y2Ba= 1gydF4y2Ba每当gydF4y2BaxgydF4y2Ba> 0gydF4y2Ba。为此,使用的大m配方包括约束:gydF4y2Ba

这个约束确保每当gydF4y2BaxgydF4y2Ba> 0gydF4y2Ba,然后gydF4y2BazgydF4y2Ba= 1gydF4y2Ba一定。大m制定更多的应用程序,如前所述gydF4y2Ba表达逻辑约束使用真正的函数和二元指标变量gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

基本问题:储层流动gydF4y2Ba

假设你想模型一个水库在整数倍。在每一个正整数gydF4y2BatgydF4y2Ba在一个固定的范围,水库可以接受数量水鑫(gydF4y2BatgydF4y2Ba),或者可以排放水量xout (gydF4y2BatgydF4y2Ba),在连续量最大gydF4y2Ba米gydF4y2Ba要么。应该执行,如果你的模型gydF4y2Ba鑫(gydF4y2BatgydF4y2Ba)> 0gydF4y2Ba然后gydF4y2Baxout (gydF4y2BatgydF4y2Ba)= 0gydF4y2Ba,如果gydF4y2Baxout (gydF4y2BatgydF4y2Ba)> 0gydF4y2Ba然后gydF4y2Ba鑫(gydF4y2BatgydF4y2Ba)= 0gydF4y2Ba。你怎么这模型约束吗?一种方法是限制gydF4y2Ba

然而,这成为非线性约束导致的问题,和解决一般很难与这种类型的约束。gydF4y2Ba

更好的方法来实现约束是二进制变量寻(使用一个指标gydF4y2BatgydF4y2Ba1)当gydF4y2Ba鑫(gydF4y2BatgydF4y2Ba)> 0gydF4y2Ba,和一个类似的二进制变量zout (gydF4y2BatgydF4y2Ba1)当gydF4y2Baxout (gydF4y2BatgydF4y2Ba)> 0gydF4y2Ba。假设你有这样的变量,添加约束gydF4y2Ba

确保新(gydF4y2BatgydF4y2Ba)和xout (gydF4y2BatgydF4y2Ba)不积极。gydF4y2Ba

以确保gydF4y2Ba寻(gydF4y2BatgydF4y2Ba)= 1gydF4y2Ba每当gydF4y2Ba鑫(gydF4y2BatgydF4y2Ba)> 0gydF4y2Ba,使用大m配方。假设新(gydF4y2BatgydF4y2Ba)是有界的gydF4y2Ba米gydF4y2Ba一个正数,gydF4y2BatgydF4y2Ba。包括约束gydF4y2Ba

以确保gydF4y2Ba寻(gydF4y2BatgydF4y2Ba)= 0gydF4y2Ba每当gydF4y2Ba鑫(gydF4y2BatgydF4y2Ba)= 0gydF4y2Ba寻,包括(gydF4y2BatgydF4y2Ba在目标函数)。通过这种方式,最大限度地减少目标函数寻原因(gydF4y2BatgydF4y2Ba)为零。gydF4y2Ba

类似地,连接zout (gydF4y2BatgydF4y2Ba)和xout (gydF4y2BatgydF4y2Ba),结合约束条件gydF4y2Ba

总之,加强约束,鑫(gydF4y2BatgydF4y2Ba)和xout (gydF4y2BatgydF4y2Ba)不能都是积极的,您将创建两个二进制变量寻(gydF4y2BatgydF4y2Ba)和zout (gydF4y2BatgydF4y2Ba),每次gydF4y2BatgydF4y2Ba,包括这三个约束条件:gydF4y2Ba

MATLABgydF4y2Ba^®gydF4y2Ba命令的具体问题具体分析的方法如下:gydF4y2Ba

T = 50;gydF4y2Ba%的次数gydF4y2BaM = 40;gydF4y2Ba% x变量的最大大小gydF4y2Ba鑫= optimvar (gydF4y2Ba“鑫”gydF4y2BaTgydF4y2Ba下界的gydF4y2Ba0,gydF4y2Ba“UpperBound”gydF4y2Ba,M);xout = optimvar (gydF4y2Ba“xout”gydF4y2BaTgydF4y2Ba下界的gydF4y2Ba0,gydF4y2Ba“UpperBound”gydF4y2Ba,M);寻= optimvar (gydF4y2Ba“寻”gydF4y2BaTgydF4y2Ba“类型”gydF4y2Ba,gydF4y2Ba“整数”gydF4y2Ba,gydF4y2Ba下界的gydF4y2Ba0,gydF4y2Ba“UpperBound”gydF4y2Ba1);zout = optimvar (gydF4y2Ba“zout”gydF4y2BaTgydF4y2Ba“类型”gydF4y2Ba,gydF4y2Ba“整数”gydF4y2Ba,gydF4y2Ba下界的gydF4y2Ba0,gydF4y2Ba“UpperBound”gydF4y2Ba1);概率= optimproblem;寻xinzin =新< = M *;xoutzout = xout < = M * zout;zinzout =寻+ zout < = 1;prob.Constraints。xinzin = xinzin;prob.Constraints。xoutzout = xoutzout; prob.Constraints.zinzout = zinzout; prob.Objective = sum(zin + zout);

请注意以下几点:gydF4y2Ba

使用二进制变量表达逻辑约束gydF4y2Ba

本节包含逻辑语句和相应的MATLAB命令与二进制变量。假设变量的语句gydF4y2BazgydF4y2Ba,gydF4y2BawgydF4y2Ba,gydF4y2BafgydF4y2Ba是二进制优化变量,这就意味着每一个类型gydF4y2Ba“整数”gydF4y2Ba,下界gydF4y2Ba0gydF4y2Ba,上界gydF4y2Ba1gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

z = 1 - w;gydF4y2Ba

z + w > = 1;gydF4y2Ba

z + w < = 1;gydF4y2Ba

f > = z;f > = w;z + f < = w;gydF4y2Ba

f < = z;f < = w;f > = z + w - 1;gydF4y2Ba

f > = z - w;f > = w - z;z + f < = w;f < = 2 - (z + w);gydF4y2Ba

表达逻辑约束使用真正的函数和二元指标变量gydF4y2Ba

本节连接一个真正的函数gydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)和一个二进制变量gydF4y2BazgydF4y2Ba。通常,您介绍gydF4y2BazgydF4y2Ba到问题作为一个指示符变量模型问题的某些方面,如当的一项指标gydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)> 0gydF4y2Ba。所有这些约束是基于大m配方。gydF4y2Ba

假定常数gydF4y2Ba米gydF4y2Ba和功能gydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)满足边界gydF4y2Ba

g (x) < = M * (1 - z);gydF4y2Ba

g (x) > = - m * (1 - z);gydF4y2Ba

g (x) < = M * (1 - z);g (x) > = - m * (1 - z);gydF4y2Ba

g (x) > = - m * z;gydF4y2Ba

g (x) < = M * z;gydF4y2Ba

g (x) < = M * z;gydF4y2Ba

g (x) > = - m * z1;gydF4y2Ba

z + z1 = = 1;gydF4y2Ba

结合逻辑约束创建新的公式gydF4y2Ba

前面的逻辑约束一起使用二进制指标变量创建代码,实现了新的公式。gydF4y2Ba

g (x) < = M * z;h (x) > = - m * (1 - z);gydF4y2Ba

g (x) < = x + M * (1 - z);g (x) > = x - M * (1 - z);g (x) < = M * z;g (x) > = - m * z;gydF4y2Ba

例如:固定成本gydF4y2Ba

假设生产数量的成本gydF4y2BaxgydF4y2Ba一个项目的gydF4y2Ba

您可以使用一个线性模型非线性成本变量gydF4y2BaxgydF4y2Ba和一个二进制变量指标gydF4y2BazgydF4y2Ba。创建约束,这样gydF4y2BazgydF4y2Ba= 1gydF4y2Ba每当gydF4y2BaxgydF4y2Ba> 0gydF4y2Ba,包括gydF4y2BazgydF4y2Ba在目标函数gydF4y2BazgydF4y2Ba= 0gydF4y2Ba每当gydF4y2BaxgydF4y2Ba= 0gydF4y2Ba。假设问题包括一个绑定gydF4y2Ba米gydF4y2Ba这gydF4y2BaxgydF4y2Ba≤gydF4y2Ba米gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

x < = M * z;gydF4y2Ba%的约束,使z = 1 x > 0时gydF4y2Ba成本= * z + b * x;gydF4y2Ba

如果你减少成本,当gydF4y2BaxgydF4y2Ba= 0然后gydF4y2BazgydF4y2Ba= 0。gydF4y2Ba

例如:或约束gydF4y2Ba

有时你想模型约束条件持有或条件时执行B C持有持有或条件。为此,创建二进制变量指标gydF4y2Ba咱gydF4y2Ba,gydF4y2BazBgydF4y2Ba,gydF4y2Ba佐gydF4y2Ba表明当相应的条件A、B和C,并包括额外的约束gydF4y2Ba

咱+ zB +佐> = 1;gydF4y2Ba

另外一个例子,绝对值约束模型gydF4y2Ba|gydF4y2BaxgydF4y2Ba| = 5gydF4y2Ba,这意味着gydF4y2BaxgydF4y2Ba= 5gydF4y2Ba或gydF4y2BaxgydF4y2Ba= 5gydF4y2Ba。创建两个指标变量gydF4y2Baz1gydF4y2Ba和gydF4y2Baz2gydF4y2Ba表明当gydF4y2BaxgydF4y2Ba= 5gydF4y2Ba和gydF4y2BaxgydF4y2Ba= 5gydF4y2Ba,分别。然后包括约束gydF4y2Ba

z1 + z2 > = 1;gydF4y2Ba

集的一种方法gydF4y2BazgydF4y2Ba1 = 1gydF4y2Ba当gydF4y2BaxgydF4y2Ba= 5gydF4y2Ba引入三个新的指标变量吗gydF4y2Baz11gydF4y2Ba,gydF4y2Baz12gydF4y2Ba,gydF4y2Baz13gydF4y2Ba对这些条件:gydF4y2Ba

z11gydF4y2Ba= 1时gydF4y2BaxgydF4y2Ba< 5和gydF4y2Baz1gydF4y2Ba= 0,gydF4y2Ba

z12gydF4y2Ba= 1时gydF4y2BaxgydF4y2Ba= 5,gydF4y2Baz1gydF4y2Ba= 1,gydF4y2Ba

z13gydF4y2Ba= 1时gydF4y2BaxgydF4y2Ba> 5和gydF4y2Baz1gydF4y2Ba= 0。gydF4y2Ba

然后介绍了约束gydF4y2Ba

z11 + z12 + z13 = 1;gydF4y2Ba

指定gydF4y2Baz11gydF4y2Ba,使用这三个约束条件。gydF4y2Ba

- (1 - z11) < = z1;z1 < = (1 - z11);x - 5 < = M (1 - z11);gydF4y2Ba

指定gydF4y2Baz12gydF4y2Ba,使用这四个约束。gydF4y2Ba

- (1 - z12) < = z1 - 1;z1 - 1 < = (1 - z12);- m (1 - z12) < = x - 5;x - 5 < = M (1 - z12);gydF4y2Ba

指定gydF4y2Baz13gydF4y2Ba,使用这三个约束条件。gydF4y2Ba

- (1 - z13) < = z1;z1 < = (1 - z13);x - 5 > = - m (1 - z13);gydF4y2Ba

完成模型,指定类似的限制gydF4y2Baz21gydF4y2Ba,gydF4y2Baz22gydF4y2Ba,gydF4y2Baz23gydF4y2Ba对应于gydF4y2Baz2gydF4y2Ba和条件gydF4y2BaxgydF4y2Ba= 5gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

例子:二元二次问题转换为二进制线性问题gydF4y2Ba

在二进制变量考虑问题gydF4y2BaxgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba最小化的gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2BaxgydF4y2Ba是一个列向量的优化变量的长度gydF4y2BaNgydF4y2Ba,gydF4y2Ba问gydF4y2Ba是一个给定的gydF4y2BaNgydF4y2Ba——- - - - - -gydF4y2BaNgydF4y2Ba矩阵。来解决这个问题gydF4y2BaNgydF4y2Ba不是太大,二元二次方程的问题转化为一个二进制线性问题使用一个gydF4y2BaNgydF4y2Ba——- - - - - -gydF4y2BaNgydF4y2Ba二进制变量的数组gydF4y2BaxijgydF4y2Ba。如果gydF4y2BaxijgydF4y2Ba(gydF4y2Ba我gydF4y2Ba,gydF4y2BajgydF4y2Ba)=gydF4y2BaxgydF4y2Ba(gydF4y2Ba我gydF4y2Ba)*gydF4y2BaxgydF4y2Ba(gydF4y2BajgydF4y2Ba),那么您可以将目标函数表示为:gydF4y2Ba

sum(问:* xij,gydF4y2Ba“所有”gydF4y2Ba)gydF4y2Ba

以确保gydF4y2BaxijgydF4y2Ba变量都等于gydF4y2BaxgydF4y2Ba(gydF4y2Ba我gydF4y2Ba)*gydF4y2BaxgydF4y2Ba(gydF4y2BajgydF4y2Ba),使用以下三个线性不等式约束。这段代码使用了具体问题具体分析的方法。gydF4y2Ba

N = 100;gydF4y2Ba%指定变量的数量gydF4y2Bax = optimvar (gydF4y2Ba“x”gydF4y2BaN =类型gydF4y2Ba“整数”gydF4y2Ba下界= 0,UpperBound = 1);xij = optimvar (gydF4y2Ba“xij”gydF4y2BaN, N, Type =gydF4y2Ba“整数”gydF4y2Ba下界= 0,UpperBound = 1);概率= optimproblem;gydF4y2Ba%约束xij = 1当x (i) = 1, x (j) = 1gydF4y2Baprob.Constraints。f=xij>=repmat(x,1,N) + repmat(x',N,1) - 1;%约束xij当x (i) = 0 = 0gydF4y2Baprob.Constraints。g=xij<= repmat(x,1,N);%约束xij当x (j) = 0 = 0gydF4y2Baprob.Constraints。h=xij<= repmat(x',N,1); prob.Objective = sum(Q.*xij,“所有”gydF4y2Ba);gydF4y2Ba

现在的问题是线性优化变量和约束条件,gydF4y2Ba解决gydF4y2Ba调用gydF4y2BaintlinproggydF4y2Ba计算的解决方案。gydF4y2Ba

[溶胶,fval] =解决(问题);gydF4y2Ba

使用intlinprog解决问题……gydF4y2Ba

的gydF4y2BaintlinproggydF4y2Ba解决方案是相当快的gydF4y2BaNgydF4y2Ba≤100,但是放缓为更大的值gydF4y2BaNgydF4y2Ba,大约200的限制变量合理的性能。gydF4y2Ba

进一步的阅读gydF4y2Ba

为优化建模的经典著作是威廉姆斯gydF4y2Ba[1]gydF4y2Ba。讨论为什么二进制的大m制定的指标变量数学上完成,而不是扩展,看到妓女gydF4y2Ba[2]gydF4y2Ba。为进一步的例子使用二进制指标变量在数学建模中,看到布朗和戴尔gydF4y2Ba[3]gydF4y2Ba史蒂文斯和PalocsaygydF4y2Ba[4]gydF4y2Ba。gydF4y2Ba