主要内容

线性弹性方程

总结方程的线性弹性

线弹性各向同性材料的刚度矩阵包含两个参数:

  • E杨氏模量(弹性模量)

  • ν,泊松比

定义以下数量。

σ = 压力 f = 身体的力量 ε = 应变 u = 位移

平衡方程

− ∇ · σ = f

线性化,小排量strain-displacement关系

ε = 1 2 ( ∇ u + ∇ u T )

角动量的平衡状态,压力是对称的:

σ 我 j = σ j 我

沃伊特符号的本构方程线性各向同性模型

( σ 11 σ 22 σ 33 σ 23 σ 13 σ 12 ] = E ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) ( 1 − ν ν ν 0 0 0 ν 1 − ν ν 0 0 0 ν ν 1 − ν 0 0 0 0 0 0 1 − 2 ν 0 0 0 0 0 0 1 − 2 ν 0 0 0 0 0 0 1 − 2 ν ] ( ε 11 ε 22 ε 33 ε 23 ε 13 ε 12 ]

扩展形式使用中的所有条目σ和ε考虑了对称。

( σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31日 σ 32 σ 33 ] = E ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) ( 1 − ν 0 0 0 ν 0 0 0 ν • 1 − 2 ν 0 0 0 0 0 0 0 • • 1 − 2 ν 0 0 0 0 0 0 • • • 1 − 2 ν 0 0 0 0 0 • • • • 1 − ν 0 0 0 ν • • • • • 1 − 2 ν 0 0 0 • • • • • • 1 − 2 ν 0 0 • • • • • • • 1 − 2 ν 0 • • • • • • • • 1 − ν ] ( ε 11 ε 12 ε 13 ε 21 ε 22 ε 23 ε 31日 ε 32 ε 33 ] (1)

在前面的图中,•意味着入口是对称的。

三维线性弹性问题

工具箱的方程形式

− ∇ · ( c ⊗ ∇ u ) = f

但是,在总结没有∇方程u孤独,似乎与它的转置:

ε = 1 2 ( ∇ u + ∇ u T )

这是一个简单的运动对应变转换方程ε对∇u。列向量形式,

∇ u = ( ∂ u x / ∂ x ∂ u x / ∂ y ∂ u x / ∂ z ∂ u y / ∂ x ∂ u y / ∂ y ∂ u y / ∂ z ∂ u z / ∂ x ∂ u z / ∂ y ∂ u z / ∂ z ]

因此,您可以编写strain-displacement方程

ε = ( 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ] ∇ u ≡ 一个 ∇ u

在哪里一个代表显示矩阵。所以重写方程1,回忆•意味着一个条目是对称的,你可以写刚度张量

σ = E ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) ( 1 − ν 0 0 0 ν 0 0 0 ν • 1 − 2 ν 0 0 0 0 0 0 0 • • 1 − 2 ν 0 0 0 0 0 0 • • • 1 − 2 ν 0 0 0 0 0 • • • • 1 − ν 0 0 0 ν • • • • • 1 − 2 ν 0 0 0 • • • • • • 1 − 2 ν 0 0 • • • • • • • 1 − 2 ν 0 • • • • • • • • 1 − ν ] 一个 ∇ u = E ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) ( 1 − ν 0 0 0 ν 0 0 0 ν 0 1 / 2 − ν 0 1 / 2 − ν 0 0 0 0 0 0 0 1 / 2 − ν 0 0 0 1 / 2 − ν 0 0 0 1 / 2 − ν 0 1 / 2 − ν 0 0 0 0 0 ν 0 0 0 1 − ν 0 0 0 ν 0 0 0 0 0 1 / 2 − ν 0 1 / 2 − ν 0 0 0 1 / 2 − ν 0 0 0 1 / 2 − ν 0 0 0 0 0 0 0 1 / 2 − ν 0 1 / 2 − ν 0 ν 0 0 0 ν 0 0 0 1 − ν ] ∇ u

的定义

μ = E 2 ( 1 + ν ) λ = E ν ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) E ( 1 − ν ) ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) = 2 μ + λ

和方程变成了

σ = ( 2 μ + λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ 0 μ 0 μ 0 0 0 0 0 0 0 μ 0 0 0 μ 0 0 0 μ 0 μ 0 0 0 0 0 λ 0 0 0 2 μ + λ 0 0 0 λ 0 0 0 0 0 μ 0 μ 0 0 0 μ 0 0 0 μ 0 0 0 0 0 0 0 μ 0 μ 0 λ 0 0 0 λ 0 0 0 2 μ + λ ] ∇ u ≡ c ∇ u

如果你是解决三维线性弹性问题通过使用PDEModel而不是StructuralModel,可以使用elasticityC3D (E,ν)函数(包括软件)中获得的c系数。这个函数使用线性化,小排量假设为各向同性材料。对于使用这个函数的例子,看看StationaryResults。

平面应力

平面应力条件下,平板的盛行x- - - - - -y飞机,只在自己的飞机和不加载z方向约束。平面应力,σ13=σ23=σ31日=σ32=σ33= 0。假设各向同性条件下,平面应力的胡克定律给strain-stress关系如下:

( ε 11 ε 22 2 ε 12 ] = 1 E ( 1 − ν 0 − ν 1 0 0 0 2 + 2 ν ] ( σ 11 σ 22 σ 12 ]

反相这个方程,获得的应力-应变关系:

( σ 11 σ 22 σ 12 ) = E 1 − ν 2 ( 1 ν 0 ν 1 0 0 0 1 − ν 2 ) ( ε 11 ε 22 2 ε 12 )

转换为应变方程ε对∇u。

ε = ( 1 0 0 0 0 1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 0 0 0 0 1 ] ∇ u ≡ 一个 ∇ u

现在,您可以重写的刚度矩阵

( σ 11 σ 12 σ 21 σ 22 ] = ( E 1 − ν 2 0 0 E ν 1 − ν 2 0 E 2 ( 1 + ν ) E 2 ( 1 + ν ) 0 0 E 2 ( 1 + ν ) E 2 ( 1 + ν ) 0 E ν 1 − ν 2 0 0 E 1 − ν 2 ] ∇ u = ( 2 μ ( μ + λ ) 2 μ + λ 0 0 2 λ μ 2 μ + λ 0 μ μ 0 0 μ μ 0 2 λ μ 2 μ + λ 0 0 2 μ ( μ + λ ) 2 μ + λ ] ∇ u

平面应变

平面应变是一个没有位移的变形状态z方向的位移x- - -y方向是函数的x和y但不是z。应力-应变关系只是略有不同的平面应力情况下,使用和相同的一组材料参数。

对于平面应变,ε13=ε23=ε31日=ε32=ε33= 0。假设各向同性条件下,应力-应变关系可以写成:

( σ 11 σ 22 σ 12 ) = E ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) ( 1 − ν ν 0 ν 1 − ν 0 0 0 1 − 2 ν 2 ) ( ε 11 ε 22 2 ε 12 )

转换为应变方程ε对∇u。

ε = ( 1 0 0 0 0 1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 0 0 0 0 1 ] ∇ u ≡ 一个 ∇ u

现在,您可以重写的刚度矩阵

( σ 11 σ 12 σ 21 σ 22 ] = ( E ( 1 − ν ) ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) 0 0 E ν ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) 0 E 2 ( 1 + ν ) E 2 ( 1 + ν ) 0 0 E 2 ( 1 + ν ) E 2 ( 1 + ν ) 0 E ν ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) 0 0 E ( 1 − ν ) ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) ] ∇ u = ( 2 μ + λ 0 0 λ 0 μ μ 0 0 μ μ 0 λ 0 0 2 μ + λ ] ∇ u