从系列:微分方程与线性代数
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院(MIT)
一个二阶方程给出了两个一阶方程Y和dy / dt.这个矩阵变成了一个同伴矩阵。
好啊关于二阶常系数方程稳定性的第三个视频。但我们将继续讨论矩阵。这是一段相当特别的视频。这是我们熟悉的方程式。我把a分到b1,我只是把a分开。没问题。
这是一个二阶方程。但我们知道如何把它转换成两个一阶方程。它们在这里。这是两个方程。这是一个2 × 2矩阵。我来读一下上面的方程。dy / dt = 0y + 1dy / dt。这个方程很简单。等于Dy / dt。
第二个方程是真实的。y '的导数是y ' '这是二阶导数,等于- cy和- by '这就是我的方程y ' ',当我把- cy除以+ cy,我把- byy '除以+ byy '。我有方程了。所以这个方程和那个方程是一样的。它只是写成了一个未知的向量。它是一个由两个方程组成的方程组。
它是一个2 × 2矩阵。它叫做,这个有0和1的矩阵叫做伴矩阵。伴侣,所以这是那个的伴侣方程。
好的。不管我们对这个方程有什么了解,从指数s1和s2中,我们都能从这个方程中得到相同的信息。但是语言改变了。这就是本期视频的重点,告诉大家语言的变化。这就是它。这个问题的旧指数s1和s2,看这个视频的人都记得s的解是s²+ b + C = 0。所以s总是这样的。
它有两个根,s1和s2控制着一切,控制着稳定性。如果我用这种语言来表示,我不再称它们为s1和s2。但它们是相同的两个数。我把它们叫做特征值,一个很酷的词,一半德语一半英语,有点疯狂的词。但它已经确立了。
这些相同的数被称为矩阵的特征值。你看,这个问题中的矩阵是一样的。我们得到了和这个方程相同的信息。这些是特征值。我能告诉你你可能已经知道的事吗?每个人都写,一个希腊的,表示特征值。这里我有两个指数,这里我有两个特征值。这些数字和那些数字是一样的。它们满足同一个方程。
当我们很快正确地遇到矩阵和特征值时,我们将看到其他矩阵的特征值。我们会看到,对于这些特殊的伴随矩阵,特征值解的方程和指数解的方程相同,二次s平方,B和C等于0。
好的。稳定性,记住稳定性是指数小于0的根的实部,因为指数的实部是负的,趋于0。现在我们只是在用,这是我们以前的语言。我们的新语言是小于0的实部。
稳定矩阵是特征值的实部,λ小于零。我们只是把字母s和一个高阶方程换成字母lambda和两个一阶方程。好啊我这样做没有-,只是把lambda连接到s,但是没有告诉你lambda是什么。
好啊所以让我记住。所以,我在这里又迈出了一步。因为基本上我已经讲了关于二阶方程的所有内容。我们知道稳定的条件。条件是阻尼应为正,B应为正。频率平方最好是正值。所以C应该是正的。因此,当这是我们的矩阵时,B阳性和C阳性就是这种情况。
现在我还有几分钟。那么为什么我不允许任何2乘2的矩阵呢。这里我不会给你特征值的理论。但只要建立连接就行了。好啊所以我想建立连接。你还记得,伴随矩阵有一个特殊的形式0。a是零,b是1,c是负的大c,d是负的b,这是伴星。
那么,在这个早期,几乎太早的时刻,关于特征值,我要说些什么呢?因为我必须把这些做好。特征值和特征向量是方程组的关键。你明白我说的系统是什么意思吗?这意味着未知-,我有不止一个方程。
我的矩阵是2乘2,或3乘3,或n乘n。我的未知z有2个、3个或n个不同的组件。这是一个向量。所以z是一个向量。矩阵乘以向量。矩阵就是这样做的。他们乘向量。这就是总体情况。这是一个特别重要的案例。
所以我们可以决定稳定性。我来总结一下这个系统的稳定性。稳定性是,我要告诉你们一些关于系统解的东西。金宝搏官方网站记住z是一个向量。这是解决方案。金宝搏官方网站Z是。这是关键。这里有一个e,你期待指数。现在你期望特征值取代s。现在我们需要一个向量。我称这个向量为x1。 And this will be the eigenvector. And this is the eigenvalue.
如果我寻找这种形式的解,把它代入方程,特征向量的关键方程就出来了。再一次,我把这个,求解的希望,带入方程。我会发现a乘以这个向量x1应该是1乘以x1。好吧,我有很多话要说。
但如果它成立,如果a乘以x1等于λ1乘以x1,那么当我把它放进去时,方程就成立了。我有一个解决办法。我有一个解决办法。当然,对于二阶问题,我正在寻找两种解决方案。所以完整的解决方案也是-,所以我可以得到它是线性的。所以我总是可以乘以一个常数。然后我会期待第二个,形式相同,e到其他特征值,就像其他指数乘以其他特征向量一样。金宝搏官方网站
这是我的前瞻性信息,解决方案看起来是这样的。金宝搏官方网站所以我们在寻找一个特征值,以及一个特征向量。这是他们必须满足的关键方程。当我们把这个代入微分方程,使两边一致时,就得到了这个方程。这就是将要发生的事情。特征值和特征向量控制方程组的稳定性。
这就是世界上大多数人关注的,单个方程,偶尔也会出现,但通常是一个方程组。特征值告诉我们。特征值是正的吗?在这种情况下,我们爆炸了,不稳定。特征值是负的吗,或者至少实部是负的?这是我们生活的稳定情况。好,谢谢。
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