微分方程和线性代数gydF4y2Ba

1.1:微分方程概述gydF4y2Ba线性方程包括gydF4y2Bady / dtgydF4y2Ba＝gydF4y2Bay, dy / dtgydF4y2Ba= -gydF4y2Bay, dy / dtgydF4y2Ba＝gydF4y2Ba2泰gydF4y2Ba．这个方程gydF4y2Bady / dtgydF4y2Ba＝gydF4y2BaygydF4y2Ba＊gydF4y2BaygydF4y2Ba是非线性的。gydF4y2Ba

1.2:你需要的微积分gydF4y2Ba和法则、乘积法则和链式法则可以从的导数中得到新的导数gydF4y2BaxgydF4y2Ba^ngydF4y2Ba罪(gydF4y2BaxgydF4y2Ba),gydF4y2BaegydF4y2Ba^xgydF4y2Ba．微积分基本定理说的是积分求导数的倒数。gydF4y2Ba

1.4b:响应指数输入，exp(s*t)gydF4y2Ba有了指数输入，gydF4y2BaegydF4y2Ba^圣gydF4y2Ba，从外部和指数增长，gydF4y2BaegydF4y2Ba^在gydF4y2Ba从内部看，解y(t)是两个指数的组合。gydF4y2Ba

1.4c:对振荡输入的响应，cos(w*t)gydF4y2Ba一个振荡的输入cos(ωgydF4y2BatgydF4y2Ba)产生具有相同频率ω(和相移)的振荡输出。gydF4y2Ba

1.4d:任意输入q(t)的解gydF4y2Ba要解线性一阶方程，需要将每个输入相乘gydF4y2Ba问(s)gydF4y2Ba通过它的增长因子，并整合这些产出gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

1.4e:阶跃函数和增量函数gydF4y2Ba单位阶跃函数从0跳到1。它的斜率是一个函数:除了在跳跃处无穷大之外，其他地方都为零。gydF4y2Ba

1.5:复指数响应，exp(i*w*t) = cos(w*t)+i*sin(w*t)gydF4y2Ba对于线性方程，的解gydF4y2Baf =gydF4y2Bacos(ωgydF4y2BatgydF4y2Ba)是解的实部gydF4y2BaF = egydF4y2Ba^{我ωtgydF4y2Ba}．这个复解有大小gydF4y2BaGgydF4y2Ba(获得)。gydF4y2Ba

1.6:恒速率积分因子，agydF4y2Ba积分因子gydF4y2BaegydF4y2Ba^{——gydF4y2Ba}乘以微分方程，y ' =ay+q，得到gydF4y2BaegydF4y2Ba^{——gydF4y2Ba}Y:准备整合。gydF4y2Ba

1.6b:变速率积分因子，a(t)gydF4y2Ba不同利率的积分提供了增长解(银行余额)的指数。gydF4y2Ba

1.7: Logistic方程gydF4y2Ba当gydF4y2Ba——gydF4y2Ba^2gydF4y2Ba减缓增长，使方程非线性，解接近稳定状态gydF4y2Bay (gydF4y2Ba∞gydF4y2Ba) a/b。gydF4y2Ba

1.7c:稳态的稳定性和不稳定性gydF4y2Ba稳态解可以是稳定的，也可以金宝搏官方网站是不稳定的——一个简单的测试就能决定。gydF4y2Ba

1.8:可分离方程gydF4y2Ba可分离变量方程可以通过两个独立的积分来解，一个在gydF4y2BatgydF4y2Ba另一个在gydF4y2BaygydF4y2Ba．最简单的是gydF4y2BaDy /dt = ygydF4y2Ba,当gydF4y2Bady / ygydF4y2Ba=gydF4y2BadtgydF4y2Ba．然后ln (gydF4y2BaygydF4y2Ba) =gydF4y2Bat + CgydF4y2Ba．gydF4y2Ba

2.1:二阶方程gydF4y2Ba对于无阻尼无强迫的振动方程，所有解具有相同的固有频率。金宝搏官方网站gydF4y2Ba

2.1b:强迫谐波运动gydF4y2Ba与强迫gydF4y2BafgydF4y2Ba= cos(ωgydF4y2BatgydF4y2Ba)，则特解为gydF4y2BaYgydF4y2Ba* cos(ωgydF4y2BatgydF4y2Ba)．但如果强迫频率等于固有频率，就会产生共振。gydF4y2Ba

2.3:非强迫阻尼运动gydF4y2Ba对于常系数微分方程，基本解是指数金宝搏官方网站gydF4y2BaegydF4y2Ba^圣gydF4y2Ba．指数gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba解一个简单的方程，比如gydF4y2Ba作为gydF4y2Ba^2gydF4y2Ba+ b + C = 0gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

2.3c:脉冲响应和阶跃响应gydF4y2Ba脉冲响应gydF4y2BaggydF4y2Ba是力为脉冲时的解(脉冲函数)。这也解决了一个初始条件非零的零方程(无力)。gydF4y2Ba

2.4:指数响应-可能的共振gydF4y2Ba共振发生时，固有频率匹配强迫频等指数从内部和外部。gydF4y2Ba

2.4b:二阶阻尼方程gydF4y2Ba一个阻尼强迫方程有一个特解gydF4y2Bay = GgydF4y2Bacos(ωgydF4y2Bat -gydF4y2Baα)。阻尼比提供了洞察零解。金宝搏官方网站gydF4y2Ba

2.5:电力网络:电压和电流gydF4y2Ba电流在RLC环路上流动，求解一个带系数的线性方程gydF4y2BalgydF4y2Ba(电感),gydF4y2BaRgydF4y2Ba(电阻),gydF4y2Ba1 / CgydF4y2Ba（gydF4y2BaCgydF4y2Ba=电容)。gydF4y2Ba

2.6:待定系数方法gydF4y2Ba具有常系数和特殊的强迫项(的幂gydF4y2BatgydF4y2Ba，余弦/正弦，指数函数)，特解的形式是一样的。gydF4y2Ba

2.6b:待定系数法的一个例子gydF4y2Ba这种方法也适用于力和解，如金宝搏官方网站gydF4y2Ba(在gydF4y2Ba^2gydF4y2Bac) egydF4y2Ba^圣gydF4y2Ba:代入方程求gydF4y2BaA b cgydF4y2Ba．gydF4y2Ba

2.6c:参数变化gydF4y2Ba组合零解金宝搏官方网站gydF4y2BaygydF4y2Ba_1gydF4y2Ba而且gydF4y2BaygydF4y2Ba_2gydF4y2Ba与系数gydF4y2BacgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba(t)gydF4y2Ba而且gydF4y2BacgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba(t)gydF4y2Ba求任意的特解gydF4y2Baf (t)。gydF4y2Ba

2.7:拉普拉斯变换:一阶方程gydF4y2Ba变换线性微分方程中的每一项，生成一个代数问题。然后你可以把代数解转换回ODE解，gydF4y2Bay (t)gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

2.7b:拉普拉斯变换:二阶方程gydF4y2Ba二阶导数变换为gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba^2gydF4y2BaYgydF4y2Ba代数问题涉及到传递函数gydF4y2Ba1 / (gydF4y2Ba^2gydF4y2Ba+ b +C)。gydF4y2Ba

2.7c:拉普拉斯变换和卷积gydF4y2Ba当力是脉冲δ时gydF4y2Ba(t)gydF4y2Ba，脉冲响应为gydF4y2Bag (t)gydF4y2Ba．当力是gydF4y2Baf (t)gydF4y2Ba，响应为的“卷积”gydF4y2BafgydF4y2Ba而且gydF4y2Bag。gydF4y2Ba

3.1:方案图片金宝搏官方网站gydF4y2Ba的方向场gydF4y2BaDy /dt = f(t,y)gydF4y2Ba箭头有斜率gydF4y2BafgydF4y2Ba在每个点上gydF4y2Bat、ygydF4y2Ba．斜率相同的箭头位于等斜线上。gydF4y2Ba

3.2:相平面图片:源，沉鞍gydF4y2Ba金宝搏官方网站二阶方程的解可以趋于无穷或零。鞍点包含一个正的和一个负的指数或特征值。gydF4y2Ba

3.2b:相平面图:螺旋和中心gydF4y2Ba具有纯振荡的虚指数在相平面中提供了一个“中心”。这一点gydF4y2Ba(y, dy / dt)gydF4y2Ba绕着椭圆永远运动。gydF4y2Ba

3.2c:两个一阶方程:稳定性gydF4y2Ba二阶方程给出了两个一阶方程gydF4y2BaygydF4y2Ba而且gydF4y2Bady / dtgydF4y2Ba．矩阵变成了一个伴矩阵。gydF4y2Ba

3.3:临界点的线性化gydF4y2Ba临界点是常数解gydF4y2BaYgydF4y2Ba微分方程gydF4y2BaY ' = f(Y)gydF4y2Ba．附近,gydF4y2BaYgydF4y2Ba的标志。gydF4y2Badf / dygydF4y2Ba决定稳定还是不稳定。gydF4y2Ba

3.3b: y'=f(y,z)和z'=g(y,z)的线性化gydF4y2Ba对于两个方程，临界点有gydF4y2Baf (Y, Z)gydF4y2Ba= 0和gydF4y2Bag (Y, Z)gydF4y2Ba= 0。在常数解附近，两个线性化的方程使用2 ×金宝搏官方网站 2矩阵的偏导数gydF4y2BafgydF4y2Ba而且gydF4y2BaggydF4y2Ba．gydF4y2Ba

3.3c:特征值和稳定性:2 × 2矩阵，AgydF4y2Ba两个方程gydF4y2Bay ' = AygydF4y2Ba是否稳定(解趋近于零)时金宝搏官方网站的痕迹gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba是负的，行列式是正的。gydF4y2Ba

3.3 3d: 3d的翻滚盒子gydF4y2Ba在空中的盒子可以绕其最短轴和最长轴旋转。围绕中轴，它疯狂地翻滚。gydF4y2Ba

5.1:矩阵的列空间，agydF4y2Ba一个gydF4y2Ba米gydF4y2Ba通过gydF4y2BangydF4y2Ba矩阵gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba有gydF4y2BangydF4y2Ba列各在gydF4y2BaRgydF4y2Ba^米gydF4y2Ba．捕获这些列的所有组合Av就得到列空间-的子空间gydF4y2BaRgydF4y2Ba^米gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

5.4:独立性、基础和维度gydF4y2Ba向量v1到v d是一个子空间的基，如果它们的组合张成整个子空间并且相互独立:没有基向量是其他基向量的组合。维数d =基向量的个数。gydF4y2Ba

5.5:线性代数的大图gydF4y2Ba一个矩阵产生四个子空间——列空间、行空间(相同维数)、垂直于所有行的向量空间(零空间)和垂直于所有列的向量空间。gydF4y2Ba

图5.6:gydF4y2Ba一个图表有gydF4y2BangydF4y2Ba连接节点gydF4y2Ba米gydF4y2Ba边(其他边可能缺失)。这对于互联网、大脑、管道系统等等都是一个有用的模型。gydF4y2Ba

5.6b:图的关联矩阵gydF4y2Ba关联矩阵gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba每条边都有一行，包含-1和+1来显示两个节点(两列gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba)由这条边相连。gydF4y2Ba

特征值和特征向量gydF4y2Ba特征向量gydF4y2BaxgydF4y2Ba乘上矩阵(gydF4y2Ba一个gydF4y2BaxgydF4y2Ba＝gydF4y2BaλgydF4y2BaxgydF4y2Ba)．一个gydF4y2BangydF4y2BaxgydF4y2BangydF4y2Ba矩阵gydF4y2BangydF4y2Ba特征值。gydF4y2Ba

6.2:对角化矩阵gydF4y2Ba一个矩阵可以对角化gydF4y2BangydF4y2Ba独立的特征向量。对角矩阵Λis特征值矩阵。gydF4y2Ba

6.2b:幂，A^n和马尔可夫矩阵gydF4y2Ba整个思想gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba＝gydF4y2BaVgydF4y2BaΛgydF4y2BaVgydF4y2Ba^1gydF4y2Ba同时斜向移动gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba^ngydF4y2Ba＝gydF4y2BaVgydF4y2BaΛgydF4y2Ba^ngydF4y2BaVgydF4y2Ba^1gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

6.3:求解线性系统gydF4y2BadgydF4y2BaygydF4y2Ba/dt = AgydF4y2BaygydF4y2Ba包含解决方案金宝搏官方网站gydF4y2BaygydF4y2Ba= egydF4y2Ba^λtgydF4y2BaxgydF4y2Ba在哪里gydF4y2BaλgydF4y2Ba而且gydF4y2BaxgydF4y2Ba特征值/特征向量对是gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

6.4:矩阵指数，exp(A*t)gydF4y2Ba解的最短形式使用矩阵指数gydF4y2BaygydF4y2Ba= egydF4y2Ba^在gydF4y2BaygydF4y2Ba（0)gydF4y2Ba．矩阵gydF4y2BaegydF4y2Ba^在gydF4y2Ba有特征值gydF4y2BaegydF4y2Ba^λtgydF4y2Ba的特征向量gydF4y2Ba一个。gydF4y2Ba

6.4b:相似矩阵，A和B=M^(-1)*A*MgydF4y2Ba一个gydF4y2Ba而且gydF4y2BaBgydF4y2Ba是否“相似”gydF4y2BaBgydF4y2Ba＝gydF4y2Ba米gydF4y2Ba^{－1gydF4y2Ba}我gydF4y2Ba对于某个矩阵gydF4y2Ba米gydF4y2Ba．gydF4y2BaBgydF4y2Ba然后有相同的特征值gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

6.5:对称矩阵，实特征值，正交特征向量gydF4y2Ba对称矩阵有gydF4y2BangydF4y2Ba垂直特征向量和gydF4y2BangydF4y2Ba真正的特征值。gydF4y2Ba

6.5b:二阶方程组，y " +Sy=0gydF4y2Ba振荡方程gydF4y2BadgydF4y2Ba^2gydF4y2Bay / dtgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba+ Sy =gydF4y2Ba0的gydF4y2Ba2 ngydF4y2Ba金宝搏官方网站解(sin和cos)。金宝搏官方网站解使用的特征向量gydF4y2Ba年代。gydF4y2Ba

7.2:正定矩阵，S=A'*AgydF4y2Ba一个正定矩阵S具有正的特征值，正的枢轴，正的行列式，和正能量vgydF4y2Ba^TgydF4y2Ba每个向量的Sv v S = AgydF4y2Ba^TgydF4y2Ba如果A有独立的列，A总是正定的。gydF4y2Ba

7.2b:奇异值分解，SVDgydF4y2BaSVD分解每个矩阵gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba变成正交矩阵gydF4y2BaUgydF4y2Ba乘以一个对角矩阵Σ(奇异值)乘以另一个正交矩阵VgydF4y2Ba^TgydF4y2Ba:旋转乘以拉伸乘以旋转。gydF4y2Ba

7.3:边界条件取代初始条件gydF4y2Ba一个二阶方程可以改变它的初始条件gydF4y2Bay (0)gydF4y2Ba而且gydF4y2Bady / dt (0)gydF4y2Ba上的边界条件gydF4y2Bay (0)gydF4y2Ba而且gydF4y2Bay (1)gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

7.4:拉普拉斯方程gydF4y2Ba偏微分方程∂gydF4y2Ba^2gydF4y2Bau /gydF4y2Ba∂gydF4y2BaxgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba+gydF4y2Ba∂gydF4y2Ba^2gydF4y2Bau /gydF4y2Ba∂gydF4y2BaygydF4y2Ba^2gydF4y2Ba= 0gydF4y2Ba描述圆形、正方形或任何平面区域内的温度分布。gydF4y2Ba

8.1:傅里叶级数gydF4y2Ba傅里叶级数分离周期函数gydF4y2BaF (x)gydF4y2Ba变成所有基函数cos(gydF4y2Banx)gydF4y2Ba和罪恶(gydF4y2Banx)gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

8.1b:傅里叶级数的例子gydF4y2Ba偶函数只使用余弦(gydF4y2BaF(-x) = F(xgydF4y2Ba)而奇函数只使用sin。系数gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba_ngydF4y2Ba而且gydF4y2BabgydF4y2Ba_ngydF4y2Ba来自于积分gydF4y2BaF (x)gydF4y2Bacos (gydF4y2BanxgydF4y2Ba),gydF4y2BaF (x)gydF4y2Basin (gydF4y2BanxgydF4y2Ba)．gydF4y2Ba

8.1c:拉普拉斯方程的傅里叶级数解gydF4y2Ba在一个圆里面，是解gydF4y2BaugydF4y2Ba（gydF4y2BargydF4y2Ba， θ)结合gydF4y2BargydF4y2Ba^ngydF4y2Bacos (gydF4y2BangydF4y2Baθ),gydF4y2BargydF4y2Ba^ngydF4y2Basin (gydF4y2BangydF4y2Baθ)。边界解结合傅里叶级数中的所有项来匹配边界条件。gydF4y2Ba

8.3:热方程gydF4y2Ba热方程∂gydF4y2BaugydF4y2Ba/∂gydF4y2BatgydF4y2Ba=∂gydF4y2Ba^2gydF4y2BaugydF4y2Ba/∂gydF4y2BaxgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba从温度分布开始gydF4y2BaugydF4y2Ba在gydF4y2BatgydF4y2Ba= 0，并跟随它gydF4y2BatgydF4y2Ba> 0，因为它很快变得光滑。gydF4y2Ba

8.4:波动方程gydF4y2Ba波动方程∂gydF4y2Ba^2gydF4y2BaugydF4y2Ba/∂gydF4y2BatgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba=∂gydF4y2Ba^2gydF4y2BaugydF4y2Ba/∂gydF4y2BaxgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba显示了波如何沿着gydF4y2BaxgydF4y2Ba轴，从波形开始gydF4y2BaugydF4y2Ba(0)和速度∂gydF4y2BaugydF4y2Ba/∂gydF4y2BatgydF4y2Ba(0)。gydF4y2Ba