这个视频讲的是两个整洁的函数阶跃函数和它的导数函数。如果我能给你们介绍这些函数并告诉你们它们是微分方程的很自然的输入。这在现实生活中经常发生。所以我们需要理解如何计算这些公式并用它们来计算。
第一个是阶跃函数我用它的发明者Heaviside的名字来命名它,以h开头阶跃函数,我来写一下公式。当t为负时h (t)为0当t大于等于0时h (t)为1。好的。这就是阶跃函数。它只有两个值,它有一个跳跃。你也可以说跳跃函数。跳跃函数,阶跃函数。好吧。
注意,我也画出了平移后的阶跃函数。对于任何函数,包括这个函数,如果我从t,从0跳变到h (t - t)会发生什么?如果我用t减去某个固定的数字t作为变量,那么跳跃就发生了。所以跳跃发生在这是0的时候。阶跃函数在它为0时发生跳跃。在t = t时,这是0,所以虚线上的跳跃。平移后的阶跃函数会平移。这就是从t变换到t - t的全部效果,就是用t平移整个式子。注意标准阶跃函数,它在t = 0处跳跃。它跳跃了1。 And take its derivative.
这个阶跃函数的导数是什么?这里的函数值为0,所以导数为0。函数在这里是常数,所以导数还是0。一切都发生在这一点上。这就是脉冲函数。函数在0处运行,在0处继续,但是在t为0时,整个函数爆炸了。导数是无穷大。这里斜率是无穷大。这个点是无穷大并不是一个足够精确的词来告诉你发生了什么。
这个函数的图像并不完全令人满意。对于所有无趣乏味的部分来说,它是完美的。但在关键时刻,当事情瞬间发生时,我们需要说更多。我们需要说得更多,而不仅仅是无限。再一次,如果它平移了,那么无穷大的斜率发生在t = at a大写t,所以无穷大只是平移了。这就是函数。这就是我要用的。
如果这是微分方程的源项,这意味着什么?如果这是微分方程中的q (t)它反映了不同时刻的输入,那么这个函数就会说除了一个时刻和一个时刻,没有输入,大写的t在这个时刻,你代入1,在一个时刻。记住,否则q (t)是一个连续输入。每年投入1美元。这个在某个时刻存入1美元。当然,这就是我们所做的。你可以看到,这是一个我们需要马上处理的函数。
我举了一个高尔夫球杆打高尔夫球的例子,它不是0次。但是它在时间上非常接近于零以至于这两个是相连的。然后球起飞了,一个简单的模型,一个可行的模型是,它发生在0时间内,有一个脉冲函数。所以我想用函数。而且它们使用起来并不难。对于微积分来说,它们不是很完美因为阶跃函数的导数在跳跃时不是很合理。
好的。但是你能做的是,微积分中正确的部分是积分。集成会使事情变得更顺利。脉冲函数,抱歉,阶跃函数是脉冲函数的积分。对吧?我们正朝相反的方向走。我们求导数,我们得到疯狂。如果我们求积分,对的积分就是阶跃函数。这就是我们知道脉冲函数的方法。这是一种数学方法比这个箭头更准确地描述函数的作用。
函数的关键性质是知道它的积分是什么。函数的积分是总沉淀,时间可以从负无穷开始,也可以一直到正无穷。这是总存款,来自源项(t)的总输入,答案是什么?积分应该是阶跃函数。无穷远处的阶跃函数是1。回到负无穷,它是0。你明白我在说什么吗?
这是h (t)在t =负无穷到正无穷之间取值因为这是积分的极限。得到什么?在正无穷处,阶跃函数是1。这是0。得到1。每个人都知道这个关键的事实函数的总积分是1。再说一遍,你只在一个时刻存入,但那笔存款是整整一美元。所有存款加起来就是1美元。
这就是脉冲函数的积分。实际上,为了使用脉冲函数,我需要对它进行一些推广。我说过,函数是已知的,我们不喜欢对它们求导。函数的导数是一个非常疯狂的函数。它上升到无穷,然后下降到负无穷,就是这个箭头的斜率。但我们需要的是积分。
从负无穷到正无穷积分函数乘以任意函数,比如f (t) dt。这是我们需要计算的。它的右积分是什么?再一次,在t = 0的某一时刻做所有的事情。在t = 0的时刻,在t = 0的时刻这是唯一发生运动的地方,f (t) = f (0)它是t = 0处的值。这就是答案。f(0。
如果f (t)是常数函数1,那么我们就回到了上面的积分。如果这是1,对(t)积分,函数是1,得到1。但是如果这个函数是,假设这个函数是sint, (t)乘以sint的积分是什么?sin t恰好在t = 0时函数即将启动时消失了。(t) sin (t)等于sin(0)等于0。一项打开了,另一项关闭了,所以什么也没发生。
而∫te ^ t,对,告诉我这个。t的积分e的t次方dt是,e的t次方一直在做各种事情。但是除了t = 0时,函数一直都是0。所以∫t ^ (t) dt等于1因为在t = 0的时刻,唯一重要的时刻是e ^ t函数是e ^ 0,它等于1。
我再问你一个例子。从负无穷到正无穷积分,我用移位的(e ^ t) dt。你能计算出这个积分吗?这个函数几乎一直都是0。这个脉冲的唯一时刻,这个脉冲到达的时刻是t = t,在这个时刻,这个等于e ^ t,这就是所有的问题。好的。
现在,我用一个函数作为微分方程的源项。这是我们最后一次看到——我仍然称它为一个很好的函数,尽管它并不是一个真正意义上的函数。我来解这个方程dy / dt = ay加上在t处开启的函数从0开始。所以我没有在我的账户上存入第一笔钱。我不存任何钱,除了在t = t时刻,在那个时刻,我存了1美元,因为,这是单位。如果我存了10美元,我会让它变成10的delta。
好的。我们知道了一次存入1美元的解是什么,t等于大写t,解是什么?y (t)从0到t = t没有任何变化。在第T时刻,1美元进入,它增长了。它会增长,所以在剩下的时间里它会增长e ^ (t - t)这是t大于t时的情况t大于等于。当t和t相等时,就是e ^ 0。这是我们刚进的1美元。
当t - t是一年后,我们的美元价值是e,当t - t,当它在那一年,这1美元已经增加到,如果利率是100%你可能会觉得。你要是能得到它就太幸运了。假设你知道。在100%的利率下,一年后,你可能会说,我的钱翻倍了因为我得到的利息等于原来的利率。所以我得到了两倍。但事实并非如此,因为投入的资金在增长。利息被加起来,整个一年复利,所以一年之后,从1开始,你得到e在a是100%
哦,好吧。我的公式在这里没有错,因为这里有一个a,它属于这里。我来修正一下。它是e ^ at - t,这是生长因子。这是从t开始到时间t的增长因子所以你们可以看到我们能够写出微分方程的解即使它是全新的,不同的,或者是非标准输入。
阶跃函数输入,我们在这里求脉冲响应。这在工程中是一个非常非常重要的概念,脉冲响应,脉冲响应。对于二阶微分方程,这是这门课中非常重要的一个函数。这是对脉冲的响应。它是我们之前处理过的标准一阶方程的脉冲响应。
现在我们要记住,还有一步仍然是线性的它允许利率变化。这是一讲,下一讲。然后我们得到非线性方程。这就是将要发生的事情。这是第一次讲函数,不是最后一次。谢谢你!
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