从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院
可分离变量方程可以通过两个单独的积分来解决,一个在Ť和其他在ÿ。最简单的是dy / dt = y,当dy / y=DT。然后ln (ÿ)=t + C。
好的。今天讲的是可分离变量方程。原则上,这些是最容易解决的。它们包括非线性方程,但它们有一个特殊的特点,使它们容易,使它们易于接近。它的特殊之处在于方程的右边分离为t的函数除以或乘以y的函数。
的t和y具有在右手侧分离。而例如,DY / DT等于Y加t不会分开的。他们会很简单,但不可分的。可分离意味着我们可以把这两个单独做的F不可分割和g的组成和我们的业务。
好的。例子。假设Y的f是1,那么我们有这一切最简单的微分方程,DY / DT为t的一些功能。这就是微积分是。y是克的积分。
假设没有吨。仅有1在Y的F,其克叔的等于一。然后我把Y的了F。我整合[?F·] DY。
把dt移到这里,就是对dt积分。所以右边是t,左边是我们要做的积分。这是解微分方程的最小工作量。
但问题是,与y及t分开,我们只是整合的事。这里是这样,当同时存在一吨的克和y的一个f。然后让我强调这里发生了什么。
f (y)随着dy向上移动,dt随着g (t)向上移动。ig (t) dt等于f (y) dy,两边积分。
左边是y关于y的积分右边是关于t的积分或者说是哑变量s从0到t的积分这个从y(0)到y (t)的积分。
这是要做的两个积分。你会得到一些可分离方程的例子。你需要做的是两个积分。
再有就是在最后这一个有点赶。这是y的某些功能时,我整合。但我通常喜欢解决一个微分方程只是Ÿ相等的东西。
你会在例子中看到。我必须解决这个问题y的,因为这不会给我只想年。它要给我一些表达涉及年。
因此,让我做例子。让我做例子。你知道为什么它是正确的。好的。因此,这里有例子。
那么方程dy/dt = t / y呢,显然是可分离变量。函数的f g (t)就是t f (y)就是y,我把它们合并成y dy等于t dt。
你知道我选择了一个非常简单的例子。现在,我从0是整合双方的TŸ在左边。而从0到T右边。
当然,这是1/2牛逼的平方。和左手侧是1/2ý这两个极限之间的平方。所以,我得到的是,积分是1/2ÿ平方。
所以往上顶我有1/2Ÿ牛逼平方减去的,在底端,1/2的Y 0平方等于右侧1/2牛逼的平方。
你看,我们得到一个关于y的函数等于一个关于t的函数,方程就解出来了。
微分方程就解出来了。但是我还没有找到y (t)等于什么的形式。但我能做到。我只是把这个移到另一边。所以它会带一个加号到另一边。
然后消去1/2。然后开根号。所以解y (t)等于√(y(0)²+ t²)
这就是微分方程的解。也许我要对这个方程做一个小小的评论。因为寻找危险点是很重要的。事情不完全正确的奇异点。
这里危险点显然Ÿ等于零。如果我在0等于Y起始零,则我不知道是什么。什么是解决这个等式,如果我在0等于0是开始?
我开始以0比0。有什么办法,开始你的生活,以0开始大于0这,好吧,其实解决办法仍然是正确的。如果0 y是0,我会得到T的平方根的平方。我会得到吨。
所以y(0) = 0时,y = t是一个解。如果y = t,那么dy/dt = 1。在右边t / y = t / t = 1。方程就解出来了。但我想说的是,当y(0) = 0时,会发生一些奇怪的事情。奇怪的是,还有其他的解。金宝搏官方网站
我想,我喜欢y = - t,也许更喜欢。但如果y = - t,它的导数是- 1。右边是t / (- t - 1)方程就解出来了。这是一个完美的解决方案。这是第二种解决方案。它是一个不止一个解的方程。我们必须思考,我们什么时候能保证只有一个解,这当然是我们想要的。
好的。我最好再举一个例子。或许logistic方程是一个很好的方程。这是可分的。这有点难。我来做这个。
DY / DT为y减Y的平方,让我们说。逻辑方程。线性项减去二次项。
这是因为可分离t部的g为1,什么是Y的F -记住y-- F的我希望把他们的Y侧。但它会在分母中展现出来。所以,我有过DY Y减Ÿ平方等于DT。我必须双方整合,以获得解y。
现在,对右边积分当然很简单。得到t,但是对左边积分,我必须知道怎么做,或者查一下,或者算出1 / (y - y²)的积分。
让我对积分做一点评论,因为例子中经常会出现这样的问题。当分母上有一个多项式和一个二次多项式时的积分。有不同的方法。我们真正看到这类问题的时候是在讨论拉普拉斯变换的时候。
所以,我要保存方法的详细信息,在那之前。但是,让我给的方法的名称。名称是局部馏分,这是集成的方法。部分分数。
我在这里说一下它的意思。这意味着我想把1 / (y - y²)写成一种更好的形式。什么除以(y - y²)可以分解成两个分数?这就是部分分式。
一个分数是,我要把y - y的平方分解成y和1 - y部分分式是一个数除以y另一个数除以1 - y。
这只是代数运算。部分分式只是代数。这不是微积分。所以我把y - y²分解成这两项。如果有一个公分母,如果把这两个分数放在一起,那么分母就是这个。分子,如果选对了a和b,就是1。
对这个积分,我可以分别对a / y dy和b / (1 - y)积分,很简单。所以部分分式,在你努力求出分式之后,你就可以做单独的积分了。这个积分就是a乘以log y,这个可能是b乘以,可能是- b乘以log (1 - y)
因此,我们已经整合。只要记住,虽然。与这个特殊的公式,逻辑方程,我们没有使用部分分数。我们可以有done--我们刚才看到的怎么样,想到它是一个可分离的方程。
这个逻辑斯蒂方程有很好的方法。快得多,好得多。我们引入了z = 1 / y,我们研究未知的1 / y,称之为z,找到了z的方程,它是线性的。
我们可以写下它的解决方案。所以,当我们能做到这一点它赢了。但是,如果我们没有看到如何做到这一点,部分分数是系统的方式。一只小部分,另一部分。整合这些分数。把答案在一起。然后,然后,在端部,这是一些积分根据y的等于T。
为了完美地完成这个问题,我需要解出y作为t的函数,这就是用1 / ybz得到的美妙结果。我们得到了z的一个简单公式然后我们得到了y的公式,这很容易积分。然后我们需要解出y的公式。
好的。这是一个更严肃的例子。这个例子非常简单。关于可分离变量方程你可以做其他的例子。y和t分别积分。好。谢谢你!
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