从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院
线性方程包括DY / DT=Y,DY / dt的= -Y,DY / dt的=2泰。这个方程DY / DT=y*y是非线性的。
好的。第一个视频的目的是告诉你接下来会发生什么,给你一个关于常微分方程合理学习的大致轮廓。这个系列的很大一部分是关于一阶方程和二阶方程的视频。这些是应用中最常见的。如果你幸运的话,这些是你可以理解和解决的。
所以第一阶方程装置一阶导数来代入公式。所以这是一个很好的公式,我们将解决,我们会花很多时间。微分is--这y--的的变化而变化的未知y--率随着时间的推移向前一部分从取决于解决方案本身。这是一个微分方程的想法,它与函数y连接的变化,因为它是。
然后你有输入q (t)它产生自己的变化。它们进入系统。它们变成了y的一部分,它们增长,衰减,振荡,随y (t)的变化而变化。这是一个线性方程,右边有一个输入,一个强迫项。
这是一个非线性方程。y的导数,斜率取决于y,这是一个微分方程。但是f (y)可以是y²/ y²或者sin y或者y的指数,所以它可以不是线性的。线性意味着我们看到y本身。在这里,我们不会。我们很快就能得到解了,因为这是一个一阶方程。对于最一般的一阶方程,函数依赖于t和y输入会随时间变化。这里,输入只取决于y的当前值。
我可以把y看成银行里的钱,增长,衰减,振荡。或者我可以把y看成弹簧上的距离。大量的申请即将到来。
好的。这是一阶方程。二阶方程有二阶导数。二阶导数是加速度。它告诉你曲线的弯曲。
如果我有一个图像,我们知道的一阶导数给出了图像的斜率。它在上升吗?它会下降吗?它是最大值吗?
的二阶导数告诉您的图表的弯曲。它是如何从一条直线上消失。所以,这就是加速。所以牛顿law--物理学大家都活with--会加速一些力。并且有一种力量依赖,再次linearly--这是一个keyword-- Y上。只是y以第一动力。
这是一个更一般的方程。在牛顿定律中,加速度乘以质量。这包括一个物理常数,质量。
然后会有一些阻尼。如果我有运动,可能会有摩擦使它减速。这取决于一阶导数,速度。
然后可能有相同类型的强制项它依赖于y本身。可能有一些外力,一些人或机器在创造运动。一个外部强迫的术语。
所以这是一个很大的公式。而我只想说,在这一点上,我们让事情是非线性的。我们有一个非常好的机会。如果我们把这些是非线性的,在二阶的机会有所下降。而我们去越远,越需要的线性度,甚至常系数。M,B,和k。所以这是真的,我们可以解决,因为我们取得好它是一个线性equation--二阶的问题,让我们常系数say--。但是,这几乎是推动我们才有希望明确这样做,真的百思不得其解,因为这样的线性常系数。再说一遍。这是一个好方程。
我从两方面考虑解决方案。金宝搏官方网站如果我有一个很好的指数函数。指数函数是微分方程中的重要函数,是本系列中的重要函数。你会一次又一次地看到它们。指数。f (t)等于e的t次方,或者e的i t次方,i等于- 1的平方根。
在这种情况下,解会得到一个类似的函数。那些是最好的。我们得到了一个已知的指数函数。我们得到了已知的解。金宝搏官方网站
第二好的是我们得到一些我们不特别了解的函数。这种情况下,解可能包含一个f的积分,或者两个f的积分,我们有一个公式。这个公式包含了一个我们需要做的积分,要么查一下,要么用数值计算。
然后,当我们完全非线性函数,或者我们变系数,然后我们要去数值。所以,真正的主题的宽,宽的部分最终成为数字解决方案。金宝搏官方网站但是,你有一大堆的未来有很好的功能和漂亮的解决方案的视频。金宝搏官方网站
好的。这是一阶和二阶。现在还有更多,因为一个系统通常不只是由一个电阻器或一个弹簧组成。实际上,我们有很多方程。我们需要解决这些问题。
桑尼现在是一个载体。Y1,Y2,到yn。n个不同的未知数。n个不同的方程。这n值方程。因此,这里是由n矩阵的n。因此,它是第一个订单。常系数。因此,我们就可以得到的地方。但是,n值耦合方程的一个系统。
这个二阶导数也是一样。解的二阶导数。还是y到yn。我们有一个矩阵,通常是一个对称矩阵,我们希望,乘以y。
所以,线性的。常系数。而是同时有几个方程。这就引入了特征值和特征向量的概念。特征值和特征向量是线性代数的关键使这些问题变得简单,因为它把这个耦合问题变成了n个非耦合问题。我们可以单独解n个一阶方程。或者n个我们可以单独解的二阶方程。这就是矩阵的目标是解耦它们。
好的。然后真的这个问题的一大现实是,解决方案和数字非常有效地发现。金宝搏官方网站而且还有很多东西需要学习有关,很多东西需要学习。和MATLAB是一流的包装,让你有许多选项数值解。金宝搏官方网站
其中一个选项可能是最受欢迎的。常微分方程的ODE。这是数字4,5。Cleve Moler,他写了MATLAB软件包,他将会制作一系列的平行视频来解释数值解法的步骤。
这些步骤从一个非常简单的方法开始。也许我应该把造物主的名字写下来。欧拉。你可以知道,因为欧拉是几个世纪前的人,他没有电脑。但他有一个简单的近似方法。欧拉可能是ODE 1。现在我们把欧拉法抛在后面了。欧拉法很好,但不够精确。
ODE 45,那4和5表明一个更高的精度,在那个包里更多的灵活性。所以从欧拉开始,Cleve Moler将解释几个步骤,以达到真正的工作包。
这是一个平行级数,你会看到代码。这将是一个粉笔和黑板的级数,我会找到指数形式的解。金宝搏官方网站如果可以的话,我想通过得到偏微分方程来结束这个系列。
所以我就写了一些偏微分方程在这里,让你知道他们的意思。这就是我希望达到的目标。
一个偏微分方程是du dt,偏导是二阶导。现在我有两个变量。时间,我一直都有。这是空间方向上的x。这叫做热方程。这是一个非常重要的常系数偏微分方程。
PDE和ODE是不同的。我再写一个。u的二阶导数等于右边在x方向上的二阶导数。这就叫做波动方程。
所以,这就像在第一时间顺序式。这就像一个大系统。事实上,它就像方程的无限大小的系统。一阶时间。或二阶时间。热方程。波动方程。
我还想加上拉普拉斯方程。好吧,如果我们做到了。这些是本系列的最后一个目标,超出了ode的一些课程。但这里的主要目标是给你们一个标准的清晰的图像关于我们可以解和理解的基本微分方程。
嗯,我希望一切顺利。谢谢。
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