从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特-斯特朗,麻省理工学院(MIT)
热方程∂u/∂t=∂2u/∂x2从温度分布u在t= 0和遵循它t> 0,因为它很快就会变得光滑。
这是热方程的视频。这是第二次的三个基本偏微分方程。我们有拉普拉斯方程,这是,时间是不存在的。现在时间进入热方程。
我们有一个时间导数,和两个——匹配两个空间衍生品。所以我有我的函数。我的解决方案取决于t和x,我希望我能独立的两个部分。这正是像我们解决了普通的微分方程组。我们拿出一个e的λt,λ是特征值,然后我们有特征向量。在这里,这是一个本征函数,因为它取决于x, x之前我们没有,但是现在我们有偏微分方程。X也是一个坐标。所以我寻找解决方案。金宝搏官方网站就像往常一样,我代入微分方程发现,什么决定了年代,S (x)。
时间导数带来λ。空间导数带来了——有两个空间衍生品。这就是我得到当我用e的λt S特征值,乘以本征函数,方程。总是,我取消e的λt,这就是常说的,我有一个特征值方程,或者我再次寻找一个函数。所以我的函数的二阶导数是λ,某个数,乘以我的函数。好的。我寻找函数的年代,他们将正弦函数。S, S (x)将sin (x Kπ,sin (x, x的东西的符号。
特征值是什么?它的二阶导数,我回来正弦kπx,那就是,这很好,这是一个本征函数。,出来的就是特征值λ,当我把两个衍生品,kπ出来两次与一个负号。这是- k的平方,π的平方。所以我找到了一群特征向量,特征函数,特征值。
这是一个简单的一对,但现在的通解,通解,t u (x,会吗?如果我知道几个解决方案,我有一个线性金宝搏官方网站方程,我只拿组合。总是我们的方式。把这些基本的组合解决方案,所以我会有一笔,k从1到无穷大。金宝搏官方网站在微分方程,偏微分方程,我这里需要一大笔,一些系数,我称之为B k,乘以这个解决方案,e的λλ是什么——- k的平方,π方t, S, S数k。我应该给这个本征函数的数字,k。
这是,这是我的家庭的形式和特征值。然后,这是这些解决方案的结合。金宝搏官方网站有通用的解决方案。和k,我应该写在正弦kπx。这就是依赖t。
让我们看看这个。所以依赖t是快速衰减。如果K, K越大,后来在这方面和,衰变的速度非常快。所以慢慢最衰的术语,k = 1,有B1, e -π方t。这是已经腐烂的很快。
当我谈论衰变,这里发生了什么?我有一个酒吧,一个材料栏。杆的两端保持在温度为零,他们冻,热是在酒吧。热流动在酒吧。在哪里吗?流出的结束。酒吧是接近冰点。结束已经被冻结了,和里面的酒吧,无论热是在一开始,会流出。
所以,你看,我有这些正弦函数。当x = 0正弦是0这是冰冻的一端。x = 1时,我有k的正弦π,,,0,所以它是冰冻的另一端。所以我冻结它两端。温度是逃跑的中心,我图的解决方案。
所以我开始——这是我的酒吧从0到1,我让它冻结。冻,F,冻结在结束。我也许,也许我开始温暖的酒吧。u在0和x,我会说它是1。这种方式是x。所以我有一个普通的加热棒,我把它放在冰箱里。所以我使双方热量逃离两端,结束了x = 0, x = 1。解决方案是,让我记住的通解是什么样子,我必须找到这些数字。
好的。当然这些数字,数字总是发现匹配的初始条件。这是最初的,这是一个最初的照片。好的。所以我必须匹配,通过——这是t = 0,我必须匹配的总和B k。这是k从1到无穷大。当t, t是零,这是1,我只是Sk。sin (x kπ,匹配1。从那,我发现Bk,最后的解决方案。T > 0使用这些商品。我们再次面对一个傅里叶级数的问题。
每当我必须找到这些系数,这是傅立叶正弦级数,在这里我不只有正弦,余弦。我找到系数,因此这将匹配1,初始条件。t > 0,解你,我们说过,这些Bk的总和,这来自于初始条件,来自这个——傅里叶系数,我们仍然要这样做视频傅里叶级数知道这些数字将出来,乘以e - k的平方,π的平方乘以sin (x kπ。
你可能会认为,这是一个相当混乱的解决方案,因为它是无限的。但它不是坏的偏微分方程。数字,我们有根据时间和衰减迅速,和根据时间1 x。所以,如果我画了一幅画,假设热量,温度开始在整个酒吧在1。但是这种时间衰变,再过一会儿,温度会是这样的。它会在结束,中间很低。所以在某个时间t,温度的样子,然后不久之后,这里的温度会下降,稳定状态,当然,是整件事情是在温度0。
这是解决热方程是什么样子的。金宝搏官方网站这是一步找到——我不需要,这是傅里叶级数的步骤,找到我们的无穷级数的系数的解决方案。金宝搏官方网站再一次,我们有无穷多的解决方案。金宝搏官方网站我们讨论的是一个偏微分方程。我们有一整个函数匹配,所以我们需要所有这些。和傅里叶级数告诉我们怎么做匹配,如何找到这些Bk的。这是一个单独的和重要的问题,傅里叶级数。谢谢你!
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