从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特·斯特朗,美国麻省理工学院(MIT)
一个和乙是“相似”,如果乙=中号-1上午对于一些矩阵中号。乙再有相同的特征值作为一个。
好,谢谢。下面是涉及矩阵指数第二个视频。但它也有它一个新的想法,一个基本的新思路。这想法是两个矩阵被称为“相似。”这样“类似”一词有特定的含义,即矩阵A,类似于另一矩阵B,当B来自于这种方式。注意这种方式。这意味着有一些矩阵M--可以是任何可逆矩阵。所以,我拿A,乘上由M权和由M反左。这很可能给我一个新的矩阵。说它是B.即基质被称为“相似” B.我会告诉你那是相似矩阵的例子。 But first is to get this definition in mind.
因此,在一般情况下,大量的矩阵是相似的中场休息,如果我有一定的矩阵A,我可以采取任何男,我会得到一个类似矩阵B.所以有很多相似矩阵。问题关键是,所有这些相似矩阵具有相同的特征值。所以这是矩阵的小家在那里,所有的彼此相似,并都具有相同的特征值。为什么他们具有相同的特征值?我只是告诉你,一条线。
假设B具有拉姆达的特征值。所以B是M逆AM。所以我有这个。中号逆AMX是λ-X。这是Bx的。B具有的λ的特征值。我想表明,具有拉姆达的特征值。好。
所以我看这个。我乘双方通过M.抵消这一点。所以,当我乘男,这是走了,我有AMX。但M显示了在右手边,我有拉姆达的Mx。现在,我只想看那个,我说,是的。A具有eigenvector--的Mx与特征值的λ。阿倍矢量是λ-倍矢量。所以拉姆达是A的特征值,具有不同的特征向量,当然。如果矩阵具有相同的特征值和特征相同的特征向量,这是相同的矩阵。但是,如果我这样做,允许M矩阵在那里得到,改变特征向量。 Here they were originally x for B. And now for A, they're M times x. It does not change the eigenvalues because of this M on both sides allowed me to bring M over to the right-hand side and make that work. OK.
这里有一些相似矩阵。让我带一些。所以这将是所有类似。说2,3,0,4,OK?这是一个矩阵答:我可以看到它的特征值是2和4。好了,我知道,这将是相似对角矩阵。因此,有连接与这个这一个部分矩阵M,这是一个用的是B.好连接,B是真正的资本拉姆达。而我们知道什么矩阵原A连接到它的特征值矩阵。什么是M,做了吗?它的特征向量矩阵。因此,要获得这个particular--得到这个家伙,从这里开始,我用M是V代表这个例子中产生。 Then B is lambda.
但也有其他的可能性。因此,让我看看。我觉得可能是一个矩阵is--有矩阵,转置。是类似于?表示转类似于?那么,answer--是的。
转置矩阵具有这些相同的特征值,图2和4,和不同的特征向量。而这些特征向量将连接原厂A和这方面的一个或一转。因此,一个矩阵的转置类似于矩阵。
那么如果我更改顺序?4,0,0,2,所以我刚刚翻了2和4,但当然我并没有改变的特征值。你可以发现,这是否将M。你可以找到一个M,这样,如果我乘上由M和右边的由M逆离开,它翻转的。因此,有相似的另一个矩阵。呵呵,可能有很多人。
所有我想要做的是有特征值是4和2。难道我只是创造更多一些?这里是一个0,6。我希望得到的跟踪权。4加2场比赛0加6.现在,我必须得到正确的决定。这有8.什么约2一个决定性与负4呢?我想我已经得到了一丝correct-- 6.我已经得到了决定correct-- 8.还有的决定因素是8所以这将是一个相似矩阵。所有类似的矩阵。一族具有特征值4和2相似矩阵。
所以,我想要做类似矩阵的另一个例子。这将是在这个例子中不同的是,还会有丢失的特征向量。因此,让我说,2,2,0,1因此具有特征值2和2,但只有一个特征向量。
这里就像是另一个矩阵。再说了,所以走线应该是4行列式应该是4,所以也许我把2和2负那里。我认为,有正确的跟踪,4,和伟大的决定,也4.因此,将有特征值2和2,只有一个特征向量,所以它是与此类似。
现在,这里的点。你可能会说,怎么样2,2,0,0,即具有正确的特征值,但它不是类似。有没有矩阵M连接,与这些矩阵对角矩阵。这种矩阵已经没有失踪特征向量。这些矩阵有一个丢失的特征向量。
什么叫做乔丹的形式。约旦形式。因此,不属于。这不是在那个家庭。约旦形式is--你可以say--好,那将是乔丹形式。家里最美丽的成员是约旦形式。
所以,我有一大堆类似于矩阵。这是最美丽的,但它不是在家里。它的相关,但不是在家里。这不是类似的。而最好的之一将是这一个。所以,乔丹形式将是一个与对角线上的特征值。但是,因为有一个失踪特征向量,必须有一个理由。而且它在1那里,我不能有0那里。好。所以这是类似矩阵的概念。
现在我有一个更重要的一点,关于矩阵指数谨慎。我只能告诉你,这种谨慎,这种谨慎?
如果我看E要在A次;对B的次指数B.我谨慎的指数是通常未Ë到B,E为A.如果我把B和A的相反的顺序,我得到不同的东西。而且它也没有e将A加B.这些都是不同的。其中,如果我用了1 1,这里只是数字,当然,这对指数的重要原则。但对于矩阵指数,该规则不起作用。那是不一样的为E到A加B.我可以告诉你为什么。
e将A是我加一加1/2平方等。e将B是我加上B加1/2乙平方等。而我这样做乘法。我得到一,我得到一个A.我收到B次31:12现在我得到1/2乙平方和AB和1/2平方。我可以把那些下来了吗?1/2平方,有一个A次B.还有的1/2乙平方。
好。这使得点。如果我多次顺序的指数,我得到一个次B.如果我乘他们在另外的顺序,按顺序?如果我乘e将B乘以e将A,那么B的将是出的A的前面。而这将成为一个BA,可以是不同的。
所以,我已经看到,这两个是不同的。这里是e将A,E至B.它有一个B之前如果我这样做,这将有A之前B如果我这样做了,它就会有一个混合物。因此,e将A加B就拥有我和A和B和1/2 a与b的平方。所以这将是一个1/2的平方加上AB加BA和B的平方。又有所不同。
现在我有一种A和B的混合物对称在这种情况下,我有一个B之前在这种情况下,我不得不B关于A的左侧
因此,所有这三个是不同的,甚至在这个词定义这些指数的系列产品。这意味着,方程组,如果系数随时间而改变,肯定更难。我们能够解决DY DT平等,比方说,T乘以y的余弦值。
你还记得how--这是可解为1 1。我们把exponent--溶液呈y是E要曲风我们整合余弦吨和0了电子商务正弦t次y以正弦ŧ-
我只是觉得把那个被差动equation--及其衍生物。电子商务给正弦吨的衍生物将通过电子邮件给正弦吨。我使用的链式法则。的衍生物e将正弦吨的将通过电子邮件给正弦吨再次,倍衍生物正弦吨,这为cos吨,所以它的工作原理的。这很好的解决方案。
但是,如果我有矩阵这里 - 如果我有矩阵,那么整个事情不顺心。你可以说,连锁规则出了问题。你不能把积分那里,然后采取衍生物和期望它回来了。链规则不会对矩阵指数,简单的链式法则工作。而事实是,我们没有为解决线性系统的时变系数好的公式。金宝搏官方网站当我们从一个公式去的方程的系统,该系统已成为一个困难的问题。
因此,这是关于矩阵指数的谨慎幻灯片。他们是美丽的。他们很好地工作,如果你只是有一个矩阵A.但如果不知何故两个矩阵都在那里或一堆不同的矩阵,那么你就失去了良好的规则,你失去的解决方案。
好。谢谢。
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