好。因此,这是关于对称矩阵和复杂的矩阵A“铺平道路”的视频。我们将看到在微分方程的二阶系统对称矩阵。
对称矩阵是最好的。他们有特殊的属性,我们希望看到哪些特征值和特征向量的特殊性质?我猜这次演讲的标题告诉你这些属性是什么。所以,如果一个矩阵是symmetric--,我会用大写字母S的对称matrix--第一点是特征值是真实的,这不是自动的。但它总是真,如果矩阵是对称的。第二,更为特别的一点是,特征向量是互相垂直。不同的特征向量的特征值不同的问世垂直。这些都是美丽的性质。他们还清。
所以这是对称矩阵,这就是我刚才说的。真正的拉姆达,正交的X。
此外,我们可以看一下反对称矩阵。转置是减去矩阵。在这种情况下,我们没有真正的特征值。事实上,我们相信有纯粹的,虚构的特征值。我次的东西在虚轴上。
但同样,特征向量将是正交的。然而,他们也将是复杂的。当我们有反对称矩阵,我们进入复数。不能帮助它,即使矩阵是真实的。
然后最后是正交矩阵的家庭。和那些矩阵具有大小为1,可能是复杂的特征值。但数量的大小为1。再次,特征向量是正交的。这是伟大的家族特征值实,虚,和单位圆的。
好。我想这样做的例子。所以,我只好每一个的例子。
所以这是一个对称矩阵。有一个反对称矩阵。如果我转了,它改变的迹象。这里是一个组合,不是对称的,不是反对称的,但仍然是一个很好的矩阵。并且有一个正交矩阵,正交列。而这些列具有长度为1,这就是为什么我有2个在那里的平方根。
因此,这些都是这里的特殊矩阵。可我只是画在复平面上的一个小图片?有实轴。这里是虚轴。而这里的单位圆,没有很大的圆,但接近。
Now--特征值是实轴上在S转等于S.他们是在虚轴上时,转置等于减去A.而且他们在单位圆当Q转Q是身份。Q转置是在这种情况下,Q倒数。Q置为Q相反。在这里,转置矩阵。在这里,转置减去矩阵。而你看到的特征值,在那里他们的美丽画卷。而所有这些的特征向量是正交的。让我找到他们。
这里对称矩阵的lambda是2和4。痕迹是6。行列式是8。这是正确的答案。Lambda等于2和4。x是1,2是-1。对于4,是1和1。
正交的。正交特征向量——取它们的点积,得到0和实特征值。
什么有关?反对称。公式我 - 当我做决定的λ减去的,我得到的λ的平方加上1的这一个等于0。这使我的λ的平方加1等于0,所以这给了我拉姆达是我和我减去按照承诺,在虚轴上。我想这是矩阵也是正交矩阵。而这些特征值,我和我减去,也都在圈。使A也是Q.确定。
它的特征向量是什么?我认为特征向量是1i和1减去I。哦。它们是正交的。我要告诉你们复数向量的正交性。让我来完成这些例子。
这个怎么样的特征值?嗯,这是一个容易。您可以在连接到?B是只是一个加3倍identity--把3点的对角线上。所以,我期待在这里的lambda表达式are--如果在这里他们是我和我减去。所有我做的是增加3倍的身份,所以我只是添加3.我被3移位我将有3再加上我和3负我。和相同的特征向量。
所以这是一个复数。这矩阵不完全反对称。这并不完全对称。所以这给了我3个加我的地方不是在轴或轴或圆。出那里 - 3再加上我和3负我。
最后,这个,正交矩阵。它的特征值是什么?让我们看看。我可以看到——这里我添加了1倍的标识,只是将标识添加到了-1,1。再说一遍,我有这个负1,1加上身份。所以我从矩阵中得到1加1减。现在我得到了除以2的平方根,2的平方根。这些数字,lambda,当你看到那个数字时,你就知道它在单位圆上。它在单位圆上的什么地方?1加i。1加i除以2的平方根。2的平方根把它带到下面。有一个。是i,除以2的平方根。这让我们进入了圈子。等于1加上i除以2的平方根。这里是1加i,1减i除以2的平方根。复共轭。
当我说“复共轭,”这意味着我改变每i到负我。我不停地翻转整个实轴。我想要做的是,在一分钟。
那么,有没有更多的经验教训,看看这些例子吗?同样,实特征值和实际eigenvectors--没有问题。在这里,虚特征值。在这里,复杂的特征值。在这里,圆复杂的特征值。在圆。好。而每这些事实,我只是说一下的位置eigenvalues--它有一个很短的证据,但也许我不会在这里给出证明。这是要记住的事实。
我可以带下来了,只是片刻,这些主要事实?真正从symmetric--虚,从antisymmetric--幅度1,从正交。好。
现在我觉得我说的是复数,我真的应该说——我应该注意这一点。复数。所以我有lambda作为+ib。
我说这个数字的“大小”是什么意思?lambda的大小是一个+ib?再一次,我沿着a,b,这是lambda,复数。我想知道它的长度。好吧,每个人都知道它的长度。谢天谢地毕达哥拉斯活着,或者他的团队活着。它是a的平方根加上b的平方根。
注意这是什么——我怎么从这个数字中得到那个数字?这很重要。如果我把一个正I b乘以一个负ib-,我得到了lambda-,这是一个正ib-,乘以lambda共轭-,这是一个负ib-,如果我把它们相乘,得到了一个平方和b的平方。所以我取平方根,这就是我所说的lambda的“大小”。
因此,一个数的大小是正长度。它可以是found--你把复杂的次数其共轭。这就给了你一个平方与b的平方,然后取平方根。关于复数的基本事实。
好。什么复杂的载体?什么是点的产品?什么是正确的X转X?那么,它是不是X转X。假定x是向量1我,因为我们看到,作为一个特征向量。那是什么向量的长度?该矢量的长度不为1平方加我的平方。1平方加上我的平方是1加减1是0。
向量的长度是这个平方的大小加上这个平方的大小,平方根。给你。x平方的长度——向量平方的长度——就是向量。一如既往,我可以从点积中找到它。但我得把它结合起来。如果我想要x的长度,我必须取-,我通常取x转置x,对吗?如果我有一个实向量x,那么我找到它的点积,毕达哥拉斯告诉我,我有长度的平方。
但是,如果事情是complex--我想减去我的时候,我。我想拉姆达倍拉姆达吧。我希望得到一个正数。减去我的时候,我是加1减我的时候,我是加1。所以,我必须,必须做到这一点。
所以这真的是“正交”意味着什么。“正交复向量” mean--“正交向量”的意思是x的共轭转y是0,这是我所说的“正交向量”的意思,当这些特征向量是复杂的。我一定要记得把复共轭。我也做它矩阵。
所以,如果我有一个对称matrix--小号转S.我知道这意味着什么。但是,假设S是复杂的。假设S是复杂的。那么对于一个复杂的矩阵,我想看看处为巴转等于S.
每次我转,如果我有复数,我应该采取复共轭。MATLAB做自动。如果你问对于x素,它会produce--不只是它会列更改为行与转置,即黄金。它会采取复共轭。
所以我们必须永远记住这样做。是 啊。实际上,如果S是一个复杂的矩阵,但它有这个性质,让我举个例子。这里有一个s,一个例子。1,2,i,和负i,所以我有一个复矩阵。如果我把它转置,取复共轭,这就回到了S,这就是所谓的“厄米矩阵”和其他可能的名字。
埃尔米特是一个重要的数学家。他研究这种复杂的情况下,他明白采取结合以及转置。有时,我会写在他的荣誉SH。所以,如果我想要一个符号做它 - SH。在工程上,有时s的明星告诉我,带共轭当你矩阵转置的。
这样的主要事实大约在......让我把那些主要事实下来again--正交向量和特征值的位置。
现在,我已经准备好解微分方程。谢谢。
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