好的。这个视频是另一个方向。它是关于线性方程的,而不是微分方程。这个视频的中心是一个矩阵叫做关联矩阵。这个关联矩阵告诉了我关于图的一切。
现在,我是什么字图是什么意思?我的意思不是正弦x或余弦x的曲线图。字图形被以另一种方式使用完全为一些边和一些节点。所以,我有一些节点。在这种情况下1,2,3,4个节点。这是我的数n。
m是连接节点的边数。边1连接着这些结点,边2,边3,边4,边5。我没有放边6。一个完整的图会有所有可能的边,但是一个一般的图可能有一些边。一些节点对是连接的,另一些节点对是未连接的。
现在我要创建一个矩阵来展示图中所有的东西。然后我就可以处理矩阵和图了。他们的矩阵是最重要的应用,在很多应用中都是最重要的模型,比如万维网。网络可能——每个网站都是一个节点,如果这些网站链接起来,两个节点之间就会有一条边。所以万维网是一个巨大的图表。
或者电话公司有一个巨大的图表,其中的节点是电话,当电话从一个电话打到另一个电话,在两个电话之间有一个边。节点和边。而我们的大脑——这是21世纪最大的问题——去理解代表我们大脑的图表,我们思维中神经元的连接——这是一个比我们今天要解决的更难的问题。
我用这个图来创建矩阵。这个矩阵有5行来自这5条边。我们来看第一条边。第一条边,这是边1,从节点1到节点2。节点对应于列。如果我想要一条从节点1到节点2的边,这条边1就会进入第一行。所以边缘1。第一条边连接到第1行。
这条边从节点1到节点2,所以我写上- 1和1。它没有接触结点3和结点4。这是边缘1。这是第一行。这就告诉了我们关于边1的所有信息。
边2从1到3。所以我在第二行放一个- 1一个0和一个1因为第二行来自边2它从1到3。
边3给出了第3行,从2到3。边3给出了第3行,从2到3。
边缘4从1变为4。所以减去1,没什么,没什么,1。即告诉我,边4从节点1将节点4.最后,从节点2到节点4的最后一行。
你看到那里的图形?一切,在这张照片的所有信息现在捕获在基质中。因此,我们可以用矩阵工作。又是什么一个矩阵吗?它乘以载体。这是一个矩阵做什么,它作用于向量。
所以会发生什么,如果我乘以一个向量矩阵?所以,现在让我把这些边缘号码,并做乘法。该矩阵有四列,这是一个由5 4矩阵,米乘n。5由4.因此,它乘以一个向量,其具有四个分量和那些四种组分将来自四个节点。
也许它们代表了节点上的电压。让我像一个电气工程师想一会儿。所以如果这是我的矩阵,我想象有电压,v1 v2 v3 v4,在节点处。所以这里有一个v1的电压,v2 v3和v4,这些电压的电流流动的地方。未知的是电压,4个电压,和5个电流。这是工程师需要知道的。
首先,当我用A乘以v,我得到什么?我来做一下乘法。所以第一行乘以它得到v2 - v1,对吧?行和向量的点积。下一个是v3 - v1。然后这里是- 1。它是v3减去v2。然后是- 1和1。我认为这是v4 - v1。最后,这个点积会得到v4 - v2。
我在这里看到了什么?这是A乘以v,我已经做了一个电压矢量的乘法。我发现了什么?我找到了电压的差异,边缘的一端和另一端之间的电压差异。我有5条边,现在我有5个结果,这些是电压差。
如果它们处于不同的电压,不同的电势,那么电压差会有什么影响呢?电流流动。如果它们的电势相同,就没有电流,对吧?电压驱动电流的基本方程是电压的差。电势的差异驱动着流动。
现在,有多少流量?现在我在寻找流动。我可以把这叫做w,表示气流。w2是这条边的气流。w1是一个流。一个w5,一个w3,一个w4。我的两个未知数——这是这幅图的美妙之处——是节点处的电压v1到v4,以及电流,在五个边的流动,从w1到w5。我知道Av给出了电压差。
我要简单,简单地在任何网络流量接近的基本规律,电流流动的,流动的。我们谈论的是最基本的公式,我几乎可以说应用数学。也许我应该说离散应用数学。由离散的我的意思是无衍生物的曲线图。我不是在这里看到的衍生物,我只是看到矩阵和向量。
所以,我必须要记住的关联矩阵; A--让我再次把它写下来。平均给了电压差。这就是我的照片的一部分。另一部分是什么方程最终将它在一起吗?那如果我有currents--所以五世的是电压。现在,将是涉及W,电流的等式。
这个,我要写在这里的,是非常重要的。这就是基尔霍夫现行定律,KCL。我刚才强调了基尔霍夫的名字中有两个h。基尔霍夫电流定律说,注意,它说流入一个节点的总流量等于流出的流量。我们讨论的是平衡。
所以如果电流在我的图上,我的网络上流动,它是一个稳定的平衡所以流入节点1的电流等于流出节点1的电流。让我告诉你这个方程用矩阵A表示是什么。
这个电压差涉及到A,很漂亮,基尔霍夫电流定律涉及到A转置。所以A的转置现在是4×5。这些是流,一个有5个分量的向量因为我有5条边。基尔霍夫现行定律会说这是0。
在A和A转置之间,关联矩阵引导我得到网络中流动的基本平衡条件。现在,还需要一部法律。它必须连接电压差和流动,电势和电流。
你知道谁在电气工程创造了法律?这是欧姆。因此,欧姆定律,最后,欧姆定律是由边缘边缘的电势差,电位下降,潜在的强制电流成正比的电流。
所以电压差,我用文字来写。两端之间或电阻器之间的电压差,或者说电压降,正比于,这里有一些电阻,有一些物理量。这就是我们正在使用的材料的来源。
在基尔霍夫定律中,这些定律在我们说网络是由什么组成之前就适用于网络。但是现在如果网络是由电阻或者管道或者其他的东西组成的,那么这就是一些电导。所以E等于IR,一些阻力,乘以电流,乘以电流w。
所以v的差是一个数字,这是一个物理常数我们需要在实验室里测量它来知道电阻的欧姆数。方程在每条边上。我们有一堆方程,它们一起告诉我们四种电压和五种电流。
也许我就做点主要在这里。主要的一点是,这个矩阵是至关重要的。A是至关重要的。转置是至关重要的。A给出了电压差,这让一些事情发生。转置是平衡的规律,每个节点的平衡或电流平衡。
你会不会很惊讶的是,当整个事情放在一起,我们有一个最终的公式计算,我们用转置和A.这神奇的组合结束了,转置A,是中央的图论。这就是所谓的图形拉普拉斯,有一个名字和它自己的名声。谢谢。
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