B 型スプラインと平滑化スプライン

このツールボックスで、節点t_j, ..., t_j+kをもつ B スプラインの定義は次で与えられます。

$B_{j, k} (x) = B (x | t_{j}, ..., t_{j + k}) = (t_{j + k} - t_{j}) [t_{j}, ..., t_{j + k}] {(x - \cdot)}_{+}^{k - 1} .$

これは B スプラインのいくつかの妥当な正規化の 1 つにすぎません。次となるように選択されています。

$\sum_{j = 1}^{n} B_{j, k} (x) = 1, t_{k} \leq x \leq t_{n + 1} .$

ただしBスプラインの上記の公式を理解しようとする代わりに,GUIbspliguiのリファレンスページで B スプラインの基本プロパティを確認し、GUI を使用してこの興味深い関数を直接経験します。このツールボックスの目的の最も重要な特性は、その名前に文字 B が入っている理由でもあります。

"与えられた次数の(一変量) 区分的多項式の各空間がBスプラインで構成された基底 (Basis) をもつ (B スプラインの "B" の由来)。"

B スプラインのプロパティ

B_j,kは区間 (t_j..t_j₊_k)でのみ非ゼロになるため、内挿または最小二乗近似、あるいは微分方程式の近似解によって決定されるスプラインの B スプライン係数に対する線形システムは、"帯状"となり、その線形システムを特に簡単に解くことができます。たとえば、i=1, ..., n に対して s(x_i)=y_iとなるように、節点シーケンス t₁≤ t₂≤··· ≤ t_n₊_kを使用して次数 k のスプライン s を作成するには、次のように線形システムを使用します。

$\begin{matrix} \sum_{j = 1}^{n} B_{j, k} (x_{i}) a_{j} = y_{i} & i = 1 : n \end{matrix}$

これは不明な B スプライン係数 a_jを表し、各方程式に最大の k 非ゼロエントリがあります。

また、スプラインに関する多くの理論事項は、B スプラインで最も簡単に記述または実証されます。たとえば、すべての j に対してB_j,k(x_j)≠0である場合に限り (Schoenberg-Whitney 条件)、節点シーケンス(t₁, ..., t_n+k)を使用して次数k のスプラインで一意にサイト $x_{1} < \dots < x_{n}$ の任意のデータと一致させることができます。B スプラインでの計算には、安定した "再帰関係"を使用すると便利です。

$B_{j, k} (x) = \frac{x - t_{j}}{t_{j + k - 1} - t_{j}} B_{j, k - 1} (x) + \frac{t_{j + k} - x}{t_{j + k} - t_{j + 1}} B_{j + 1, k - 1} (x)$

これは、B 型から pp 型への変換にも役立ちます。この双対関数を示します。

$a_{j} (s) : = \sum_{i < k} {(- D)}^{k - i - 1} Ψ_{j} (τ) D^{i} s (τ)$

は、t_jと t_j+kとの間の任意のサイト τ において ψ_j(t):=(t_j+1–t)··· (t_j+k–1–t)/(k–1)! の場合の値および微分について、スプライン s の j 番目の B スプライン係数で役に立つ式を示します。これは、a_j(s) が区間 [t_j..t_j+k] において s と密接に関係していることを示し、pp 型から b 型への変換の最も効率のよい方法と考えられます。

変分アプローチと平滑化スプライン

上記の "構造的"アプローチの他にもスプラインを得る方法はあります。"変分"アプローチでは、スプラインが "最適な内挿"、たとえば特定のサイトにおける、一致するすべての指定関数値の中で最も小さい m 次導関数を持つ関数として得られます。結局、それらの使用可能な多くのスプラインの中で、区分的多項式または (おそらく) 区分的指数のスプラインのみが多く使用されます。実際特に関心が高いのは、"平滑化スプライン" s = s_pです。この場合、x∊[a..b]、すべての i および対応する正の重み w_iを使用する特定のデータ (x_i,y_i) および特定の"平滑化パラメーター"p に対して、最小化を行います。

$p \sum_{i} w_{i} {| y_{i} - f (x_{i}) |}^{2} + (1 - p) \int_{a}^{b} {| D^{m} f (t) |}^{2} d t$

上記は m 階微分を持つすべての関数 f に対して行われます。これで、平滑化スプライン s は、すべてのデータサイトにブレークを持つ次数 2m のスプラインであることがわかります。平滑化パラメーター p が適切に選択され、以下の"誤差測定"を

$E (s) = \sum_{i} w_{i} {| y_{i} - s (x_{i}) |}^{2}$

小さくし、以下の"粗さ測定"を

$F (D^{m} s) = \int_{a}^{b} {| D^{m} s (t) |}^{2} d t$

小さくするという要求間の適切なバランスが保たれます。必要なのは、s のデータに含まれる情報をできる限り多くし、推定されるノイズをできる限り少なくすることです。このためのアプローチの 1 つ (spapsで使用される) は、E(f) を指定された許容誤差よりも大きくしないという条件に従って、F(D^mf) をできる限り小さくすることです。計算上、spapsは (等価の) 平滑化パラメーターρ=p/(1–p)を使用します。つまり、ρE(f) + F(D^mf)を最小化します。これは柔軟性の高い粗さ測定を使用する場合にも役に立ちます。

$F (D^{m} s) = \int_{a}^{b} λ (t) {| D^{m} s (t) |}^{2} d t$

ここでは、λ に適切な正の重み関数を使用します。