既定の設定でtfqmrを使用して正方線形システムを解いてから,解法プロセスで使用される許容誤差と反復回数を調整します。

密度が50%の乱数スパース行列一个を作成します。また, $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$の右辺に乱数のベクトルbを作成します。

rng默认的5 = sprand (400400);=“*;b =兰德(400 1);

tfqmrを使用して $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$を解きます。出力の表示には相対残差誤差 $\frac{为\mathit{b}-\mathrm{斧头}为}{为\mathit{b}为}$の値が含まれます。

x = tfqmr (A, b);

TFQMR在迭代40时停止，没有收敛到期望的公差1e-06，因为已经达到了最大的迭代次数。返回的iterate(编号13)的相对残差为0.3。

既定ではtfqmrは40回の反復と1 e-6の許容誤差を使用し,アルゴリズムではこの行列についてはその40回の反復で収束できません。残差がまだ大きいため,より多くの反復(または前処理行列)が必要であることを示しています。より大きな許容誤差を使用して,アルゴリズムの収束をより簡単にすることもできます。

1的军医の許容誤差と100回の反復を使用して,再度システムを解きます。

x = tfqmr (A, b, 1 e - 4100);

由于达到了最大迭代次数，TFQMR在迭代200时停止，没有收敛到期望的公差0.0001。返回的iterate(编号13)的相对残差为0.3。

許容誤差が緩く,反復回数が多い場合でも,残差誤差はあまり向上しません。反復アルゴリズムがこの方法で停滞する場合,前処理行列が必要であることを示しています。

一个の不完全コレスキー分解を計算し,tfqmrへの前処理行列入力としてL '因子を使用します。

L = ichol(一个);x = tfqmr (A, b, e - 4100 L ');

TFQMR在迭代32时收敛到一个相对残差为4.3e-05的解。

前処理行列を使用すると,tfqmrが収束できるまで問題の数値特性が向上します。

線形システムを解くために前処理行列をtfqmrと使用する効果を調べます。

479行479列の非対称実スパース行列west0479を読み込みます。

负载west0479一个= west0479;

$\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$に対する真の解がすべて1のベクトルになるように,bを定義します。

b =和(2);

許容誤差と最大反復回数を設定します。

托尔= 1 e-12;麦克斯特= 20;

tfqmrを使用して,要求された許容誤差と反復回数で解を求めます。解法プロセスに関する情報を返す出力を5つ指定します。

[x, fl0 rr0, it0 rv0] = tfqmr (A, b,托尔,麦克斯特);fl0

fl0 = 1

rr0

rr0 = 0.9845

it0

it0 = 10

fl0は,tfqmrが要求した反復回数20回以内に要求した許容誤差1 e-12に収束しなかったため,1となります。十番目の反復が最良の近似解であり,it0 = 10の指定によって返されます。

遅い収束への対応として,前処理行列を指定できます。一个は非対称であるため,iluを使用して前処理行列 $\mathit{米}＝\mathit{l}\mathit{U}$を生成します。棄却許容誤差を指定して,1 e-6よりも小さい値をもつ非対角エントリを無視します。tfqmrへの入力としてlおよびUを指定して,前処理された系 $\mathit{一个}{\mathit{米}}^{-1}\mathit{米}\mathit{x}＝\mathit{b}$を解きます。

设置=结构(“类型”，“ilutp”，“droptol”1 e-6);[L U] = ilu(一个,设置);(x1, fl1 rr1、it1 rv1] = tfqmr (A, b,托尔,麦克斯特,L, U);fl1

fl1 = 0

rr1

rr1 = 4.3298 e-14

it1

it1 = 3

ilu前処理行列を使用すると,3回目の反復で1 e-12の指定の許容誤差より少ない相対残差が生成されます。出力rv1 (1)は规范(b)、出力rv1(结束)は规范(b * x1)になります。

各反復での相対残差をプロットして,tfqmrの進行状況を確認できます。指定された許容誤差のラインと共に,それぞれの解の残差履歴をプロットします。bicgstabのように,tfqmrは,反復を半分ごとに追跡することに注意してください。

semilogy(0:长度(rv0) 1, rv0 /规范(b),“o”)举行在semilogy(0:长度(rv1) 1, rv1 /规范(b),“o”) yline(托尔,“r——”）;传奇(“没有预调节器”，ILU预处理的，“宽容”，“位置”，“东”)包含(的迭代次数) ylabel (的相对剩余的）

tfqmrに解の初期推定を指定する効果を調べます。

三重対角スパース行列を作成します。 $\mathit{x}$の想定される解が1のベクトルとなるよう, $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$の右辺のベクトルとして各行の合計を使用します。

n = 900;e =的(n - 1);A = spdiags([e 2*e e]，-1:1,n,n);b =和(2);

tfqmrを使用して $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$を2回解きます。1回は既定の初期推定、もう 1 回は解の適切な初期推定を使用します。両方の解に対して 200 回の反復と既定の許容誤差を使用します。すべての要素が0.99と等価のベクトルとして初期推定を2番目の解に指定します。

麦克斯特= 200;x1 = tfqmr (A, b,[],麦克斯特);

TFQMR在迭代19时收敛到一个相对残差为9.6e-07的解。

x0 = 0.99 * e;x2 = tfqmr(麦克斯特,A, b, [] [], [], x0);

TFQMR在迭代4时收敛到一个相对残差为7.9e-07的解。

この場合,初期推定を指定するとtfqmrをより迅速に収束させることができます。

x0 = 0(大小(2),1);托尔= 1 e-8;麦克斯特= 100;为k = 1:4 [x,国旗,relres] = tfqmr (A, b,托尔,麦克斯特[],[],x0);X = X (:, k);R (k) = relres;x0 = x;结束

tfqmrに,係数行列一个の代わりに* xを計算する関数ハンドルを与えて線形システムを解きます。

画廊で生成されたウィルキンソンのテスト行列の1つは21行21列の三重対角行列です。行列をプレビューします。

一个=画廊(“wilk”, 21)

一个=21日×2110 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 8 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 7 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0121000000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋮

ウィルキンソン行列の構造は特殊なため,演算* xを関数ハンドルで表すことができます。一个がベクトルを乗算する場合,結果のベクトルのほとんどの要素はゼロとなります。結果の非ゼロ要素は,一个の非ゼロの三重対角要素に対応します。さらに,主対角のみに1と等しくない非ゼロ要素があります。

式 $\mathrm{斧头}$は次のようになります。

$\mathrm{斧头}＝［\begin{array}{cccccccccc}10& 1& 0& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0& 0\\ 1& 9& 1& 0& & & & & & 0\\ 0& 1& 8& 1& 0& & & & & ⋮\\ ⋮& 0& 1& 7& 1& 0& & & & \\ & & 0& 1& 6& 1& 0& & & ⋮\\ ⋮& & & 0& 1& 5& 1& 0& & \\ & & & & 0& 1& 4& 1& 0& ⋮\\ ⋮& & & & & 0& 1& 3.& \ddots & 0\\ 0& & & & & & 0& \ddots & \ddots & 1\\ 0& 0& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0& 1& 10\end{array}］［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_1\\ {\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_4\\ {\mathit{x}}_5\\ ⋮\\ \\ ⋮\\ \\ {\mathit{x}}_{21}\end{array}］＝［\begin{array}{c}10{\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_2+8{\mathit{x}}_{3.}+{\mathit{x}}_4\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20.}+{\mathit{x}}_{21}\\ {\mathit{x}}_{20.}+10{\mathit{x}}_{21}\end{array}］$

結果のベクトルは3つのベクトルの合計として記述できます。

$\mathrm{斧头}＝［\begin{array}{c}0+10{\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_2+8{\mathit{x}}_{3.}+{\mathit{x}}_4\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20.}+{\mathit{x}}_{21}\\ {\mathit{x}}_{20.}+10{\mathit{x}}_{21}+0\end{array}］$＝ $［\begin{array}{c}0\\ {\mathit{x}}_1\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{20.}\end{array}］+［\begin{array}{c}10{\mathit{x}}_1\\ 9{\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ 10{\mathit{x}}_{21}\end{array}］+［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21}\\ 0\end{array}］$

MATLAB®で,これらのベクトルを作成および合算することにより* xの値を与える関数を記述します。

函数Y = [0;x (1:20)] +．..[(10: 1:0) ';(1:10) ']。* x +．..[x (21);0);结束

(この関数は,ローカル関数として例の最後に保存されています)

ここで,tfqmrに* xを計算する関数ハンドルを与えて,線形システム $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$を解きます。1 e-12の許容誤差と50回の反復を使用します。

1 b = 1(21日);托尔= 1 e-12;麦克斯特= 50;x1 = tfqmr (@afun, b,托尔,麦克斯特)

TFQMR在迭代10时收敛到一个相对残差为6.7e-15的解。

x1 =21日×10.0910 0.0899 0.0999 0.1109 0.1241 0.1443 0.1544 0.2383 0.1309 0.5000⋮

afun (x1)が1のベクトルを生成していることを確認します。

afun (x1)

ans =21日×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000⋮

函数Y = [0;x (1:20)] +．..[(10: 1:0) ';(1:10) ']。* x +．..[x (21);0);结束