数学的定式化gydF4y2Ba

質量gydF4y2Ba $$\mathrm{我gydF4y2Ba}$$の位置は,水平座標がgydF4y2Ba $${\mathrm{xgydF4y2Ba}}_{\mathrm{1gydF4y2Ba}}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$で,垂直座標がgydF4y2Ba $${\mathrm{xgydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$のgydF4y2Ba $$\mathrm{xgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$です。質量gydF4y2Ba $$\mathrm{我gydF4y2Ba}$$は,gydF4y2Ba $$\mathrm{ggydF4y2Ba}\mathrm{米gydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba{\mathrm{xgydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$の重力による位置エネルギーをもちます。ばねgydF4y2Ba $$\mathrm{我gydF4y2Ba}$$の位置エネルギーはgydF4y2Ba $$\mathrm{kgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba（gydF4y2Ba\mathrm{dgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba-gydF4y2Ba\mathrm{lgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba{）gydF4y2Ba}^{\mathrm{2gydF4y2Ba}}/gydF4y2Ba\mathrm{2gydF4y2Ba}$$です。ここで,gydF4y2Ba $$\mathrm{dgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$は,質量gydF4y2Ba $$\mathrm{我gydF4y2Ba}$$と質量gydF4y2Ba $$\mathrm{我gydF4y2Ba}-gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}$$間のばねの長さです。固定点1を質量0の位置として,固定2点を質量gydF4y2Ba $$\mathrm{ngydF4y2Ba}+gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}$$の位置としてとります。前述のエネルギー計算は,ばねgydF4y2Ba $$\mathrm{我gydF4y2Ba}$$の位置エネルギーが以下であることを示しています。gydF4y2Ba

$$\mathrm{EgydF4y2Ba}\mathrm{ngydF4y2Ba}\mathrm{egydF4y2Ba}\mathrm{rgydF4y2Ba}\mathrm{ggydF4y2Ba}\mathrm{ygydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba＝gydF4y2Ba\frac{\mathrm{kgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba（gydF4y2Ba为gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba-gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}-gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba为gydF4y2Ba-gydF4y2Ba\mathrm{lgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba{）gydF4y2Ba}^{\mathrm{2gydF4y2Ba}}}{\mathrm{2gydF4y2Ba}}$$．gydF4y2Ba

この位置エネルギー問題を2次錐問題として再定式化するには,LobogydF4y2Ba［1］gydF4y2Baで説明されているように,いくつかの新しい変数の導入が必要です。項gydF4y2Ba $$\mathrm{EgydF4y2Ba}\mathrm{ngydF4y2Ba}\mathrm{egydF4y2Ba}\mathrm{rgydF4y2Ba}\mathrm{ggydF4y2Ba}\mathrm{ygydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$の平方根に等しい変数gydF4y2Ba $$\mathrm{tgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$を作成します。gydF4y2Ba

$$\mathrm{egydF4y2Ba}$$を単位列ベクトルgydF4y2Ba $$［gydF4y2Ba\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{0gydF4y2Ba}}{\mathrm{1gydF4y2Ba}}］gydF4y2Ba$$とします。すると,gydF4y2Ba $${\mathrm{xgydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba＝gydF4y2Ba{\mathrm{egydF4y2Ba}}^{\mathrm{TgydF4y2Ba}}\mathrm{xgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$になります。問題は次のようになります。gydF4y2Ba

$$\underset{\mathrm{xgydF4y2Ba}，gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}}{\mathrm{最小值gydF4y2Ba}}（gydF4y2Ba\underset{\mathrm{我gydF4y2Ba}}{\sum gydF4y2Ba}\mathrm{ggydF4y2Ba}\mathrm{米gydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba{\mathrm{egydF4y2Ba}}^{\mathrm{TgydF4y2Ba}}\mathrm{xgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba+gydF4y2Ba为gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}{为gydF4y2Ba}^{\mathrm{2gydF4y2Ba}}）gydF4y2Ba．gydF4y2Ba$$（1）gydF4y2Ba

ここで,gydF4y2Ba $$\mathrm{tgydF4y2Ba}$$を,gydF4y2Ba $$\mathrm{tgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$の以前の方程式で与えるのではなく,自由ベクトル変数と見なします。gydF4y2Ba $$\mathrm{xgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$とgydF4y2Ba $$\mathrm{tgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$の関係を次の錐制約の新しいセットに組み込みます。gydF4y2Ba

$$为gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba-gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}-gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba为gydF4y2Ba-gydF4y2Ba\mathrm{lgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba\le gydF4y2Ba\sqrt{\frac{\mathrm{2gydF4y2Ba}}{\mathrm{kgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba}}\mathrm{tgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba．gydF4y2Ba$$（2）gydF4y2Ba

目的関数は,まだ,gydF4y2BaconeproggydF4y2Baに規定されているように,変数内で線形ではありません。新しいスカラー変数gydF4y2Ba $$\mathrm{ygydF4y2Ba}$$を導入します。不等式gydF4y2Ba $$为gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}{为gydF4y2Ba}^{\mathrm{2gydF4y2Ba}}\le gydF4y2Ba\mathrm{ygydF4y2Ba}$$は次の不等式と同等であることに注意してください。gydF4y2Ba

$$为gydF4y2Ba［gydF4y2Ba\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{2gydF4y2Ba}\mathrm{tgydF4y2Ba}}{\mathrm{1gydF4y2Ba}-gydF4y2Ba\mathrm{ygydF4y2Ba}}］gydF4y2Ba为gydF4y2Ba\le gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}+gydF4y2Ba\mathrm{ygydF4y2Ba}$$(3)。gydF4y2Ba

ここで,問題は,次を最小化することです。gydF4y2Ba

$$\underset{\mathrm{xgydF4y2Ba}，gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}，gydF4y2Ba\mathrm{ygydF4y2Ba}}{\mathrm{最小值gydF4y2Ba}}（gydF4y2Ba\underset{\mathrm{我gydF4y2Ba}}{\sum gydF4y2Ba}\mathrm{ggydF4y2Ba}\mathrm{米gydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba{\mathrm{egydF4y2Ba}}^{\mathrm{TgydF4y2Ba}}\mathrm{xgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba+gydF4y2Ba\mathrm{ygydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$(4)gydF4y2Ba

これは,(2)に記載されているgydF4y2Ba $$\mathrm{xgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$とgydF4y2Ba $$\mathrm{tgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$に対する錐制約と追加の錐制約(3)の影響を受けます。錐制約(3)はgydF4y2Ba $$为gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}{为gydF4y2Ba}^{\mathrm{2gydF4y2Ba}}\le gydF4y2Ba\mathrm{ygydF4y2Ba}$$であることを確保します。したがって,問題(4)は問題(1)と同等です。gydF4y2Ba

問題(4)の目的関数と錐制約はgydF4y2BaconeproggydF4y2Baを使用した解法に適しています。gydF4y2Ba

MATLAB®での定式化gydF4y2Ba

6つのばね制約gydF4y2Ba $$\mathrm{kgydF4y2Ba}$$6つの長さ制約gydF4y2Ba $$\mathrm{lgydF4y2Ba}$$5,およびつの質量gydF4y2Ba $$\mathrm{米gydF4y2Ba}$$を定義します。gydF4y2Ba

k = 40 * (1:6);L = [1 1/2 1 2 1/2];M = [2 1 3 2 1];gydF4y2Ba

地球gydF4y2Ba $$\mathrm{ggydF4y2Ba}$$に対する近似重力定数を定義します。gydF4y2Ba

g = 9.807;gydF4y2Ba

最適化用の変数は,gydF4y2Ba $$\mathrm{xgydF4y2Ba}$$ベクトルの10個の成分,gydF4y2Ba $$\mathrm{tgydF4y2Ba}$$ベクトルの6つの成分,およびgydF4y2Ba $$\mathrm{ygydF4y2Ba}$$変数です。gydF4y2BavgydF4y2Baをこのすべての変数を含むベクトルとします。gydF4y2Ba

これらの変数を使用して,対応する目的関数ベクトルgydF4y2BafgydF4y2Baを作成します。gydF4y2Ba

f = 0(大小(m));f = [f, g * m];f = f (:);f = [f; 0(长度(k) + 1, - 1));f(结束)= 1;gydF4y2Ba

次の質量(2)間のばねに相当する錐制約を作成します。gydF4y2Ba

$$为gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba-gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}-gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba为gydF4y2Ba-gydF4y2Ba\mathrm{lgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba\le gydF4y2Ba\sqrt{\frac{\mathrm{2gydF4y2Ba}}{\mathrm{kgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba}}\mathrm{tgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$．gydF4y2Ba

coneproggydF4y2Baソルバーは,次の形式の変数ベクトルgydF4y2Ba $$\mathrm{vgydF4y2Ba}$$の錐制約を使用します。gydF4y2Ba

$$为gydF4y2Ba{\mathrm{一个gydF4y2Ba}}_{\mathrm{年代gydF4y2Ba}\mathrm{cgydF4y2Ba}}\cdot gydF4y2Ba\mathrm{vgydF4y2Ba}-gydF4y2Ba{\mathrm{bgydF4y2Ba}}_{\mathrm{年代gydF4y2Ba}\mathrm{cgydF4y2Ba}}为gydF4y2Ba\le gydF4y2Ba{\mathrm{dgydF4y2Ba}}_{\mathrm{年代gydF4y2Ba}\mathrm{cgydF4y2Ba}}^{\mathrm{TgydF4y2Ba}}\mathrm{vgydF4y2Ba}-gydF4y2Ba\mathrm{\gamma gydF4y2Ba}$$．gydF4y2Ba

次のコードでは,gydF4y2BaAscgydF4y2Ba行列がgydF4y2Ba二元同步通信gydF4y2Ba＝gydF4y2Ba(0, 0)gydF4y2Baの項gydF4y2Ba $$为gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba-gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}-gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba为gydF4y2Ba$$を表しています。錐変数gydF4y2BadscgydF4y2Ba＝gydF4y2Ba $$\sqrt{\mathrm{2gydF4y2Ba}/gydF4y2Ba\mathrm{kgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba}$$と対応するgydF4y2BaγgydF4y2Ba＝gydF4y2Ba $$-gydF4y2Ba\mathrm{lgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba．gydF4y2Ba$$

d = 0(1、长度(f));Asc = d;Asc([1 3]) = [1 -1];A2 = circshift (Asc, 1);Asc = (Asc; A2);毫升=长度(m);数据库= 2 * ml;二元同步通信= (0,0);gydF4y2Ba为gydF4y2BaI = 2:ml gamma = -l(I);dsc = d;差量(dbase + i) =根号2/k(i);conecons (i) = secondordercone (Asc, bsc、dsc、伽马);Asc = circshift (Asc 2 2);gydF4y2Ba结束gydF4y2Ba

前述のコードで示したように,先端質量の位置に固定点を使用することによって,先端質量と固定点の間のばねに相当する錐制約を作成します。gydF4y2Ba

x0 = (0; 5);xn = (5; 4);Asc = 0(大小(Asc));Asc (1 (dbase-1)) = 1;Asc(数据库)= 1;二元同步通信= xn;γ= - l (ml);dsc = d;Dsc (dbase + ml) =√(2/k(ml));conecons(ml + 1) = second dordercone(Asc,bsc,dsc,gamma); Asc = zeros(size(Asc)); Asc(1,1) = 1; Asc(2,2) = 1; bsc = x0; gamma = -l(1); dsc = d; dsc(dbase + 1) = sqrt(2/k(1)); conecons(1) = secondordercone(Asc,bsc,dsc,gamma);

次のgydF4y2Ba $$\mathrm{ygydF4y2Ba}$$変数に相当する錐制約(3)を作成します。gydF4y2Ba

これは,行列gydF4y2BaAscgydF4y2Baを作成することによって行います。この行列は,gydF4y2BavgydF4y2Baベクトルを乗算すると,ベクトルgydF4y2Ba $$［gydF4y2Ba\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{2gydF4y2Ba}\mathrm{tgydF4y2Ba}}{-gydF4y2Ba\mathrm{ygydF4y2Ba}}］gydF4y2Ba$$が得られます。gydF4y2Ba二元同步通信gydF4y2Baベクトルは項gydF4y2Ba $$\mathrm{1gydF4y2Ba}-gydF4y2Ba\mathrm{ygydF4y2Ba}$$内の定数1に対応します。gydF4y2BadscgydF4y2Baベクトルは,gydF4y2BavgydF4y2Baを乗算すると,gydF4y2Ba $$\mathrm{ygydF4y2Ba}$$を返します。また,gydF4y2BaγgydF4y2Ba＝gydF4y2Ba $$-gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}$$です。gydF4y2Ba

Asc = 2 *眼(长度(f));Asc(1:数据库:)= [];Asc(结束,结束)= 1;二元同步通信= 0(大小(Asc, 1), 1);二元同步通信(结束)= 1;dsc = d;dsc(结束)= 1;γ= 1;conecons (ml + 2) = secondordercone (Asc, bsc、dsc、伽马);gydF4y2Ba

最後に,gydF4y2Ba $$\mathrm{tgydF4y2Ba}$$変数とgydF4y2Ba $$\mathrm{ygydF4y2Ba}$$変数に対応する下限を作成します。gydF4y2Ba

磅=无穷(大小(f));磅(数据库+ 1:结束)= 0;gydF4y2Ba

問題の解決と解のプロットgydF4y2Ba

問題の定式化は完了です。gydF4y2BaconeproggydF4y2Baを呼び出して問題を解きます。gydF4y2Ba

[v, fval、exitflag、输出]= coneprog (f, conecons ,[],[],[],[], 磅);gydF4y2Ba

找到最优解。gydF4y2Ba

解の点とアンカーをプロットします。gydF4y2Ba

页= v (1:2 * ml);页=重塑(pp、2、[]);页= pp ';情节(pp(: 1)、pp (:, 2),gydF4y2Ba“罗”gydF4y2Ba)举行gydF4y2Ba在gydF4y2Baxx = (x0, xn) ';情节(xx (: 1), xx (:, 2),gydF4y2Ba“ks”gydF4y2Ba) xlim ((x0 (1) -0.5, xn (1) + 0.5]) ylim ([min (pp(:, 2)) -0.5,马克斯(x0 (2), xn (2)) + 0.5]) xxx = [x0; pp; xn);情节(xxx (: 1) xxx (:, 2),gydF4y2Ba“b——”gydF4y2Ba)传说(gydF4y2Ba“计算点”gydF4y2Ba，gydF4y2Ba“锚点”gydF4y2Ba，gydF4y2Ba“泉”gydF4y2Ba，gydF4y2Ba“位置”gydF4y2Ba，gydF4y2Ba“最佳”gydF4y2Ba)举行gydF4y2Ba从gydF4y2Ba

パラメーターのgydF4y2Ba米gydF4y2Ba、gydF4y2BalgydF4y2Ba,およびgydF4y2BakgydF4y2Baの値を変更して,それらがどのように解に影響するかを確認します。質量の数を変更することもできます。コードは,入力されたデータから質量の数を抽出します。gydF4y2Ba

参考文献gydF4y2Ba

[1] Lobo, Miguel Sousa, Lieven Vandenberghe, Stephen Boyd, Hervé Lebret。“二阶锥规划的应用”。gydF4y2Ba线性代数及其应用gydF4y2Ba284年,没有。1 - 3(1998年11月):193 - 228。gydF4y2Bahttps://doi.org/10.1016/s0024 - 3795 (98) 10032 - 0gydF4y2Ba．gydF4y2Ba