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n個の一連の非線形関数F<年代ub>我 信頼領域法 Trust-region-dogleg法 レーベンバーグ・マルカート法 すべてのアルゴリズムは大規模です。 関数 関数fsolve
は,要素の二乗和を最小にすることにより方程式系を解こうとします。二乗和がゼロの場合,方程式系は解かれます。
fzero
mldivide
优化工具箱™のソルバーで使用される多くのメソッドは,<年代pan class="emphasis">“信頼領域法”を基にしています。信頼領域法はシンプルなものですが最適化では重要な概念です。
最適化の信頼領域法のアプローチを理解するために制約なし最小化問題を考え,f (x)を最小化します。ここで関数はベクトル引数を取り,スカラーを出力します。現在の点をn空間の点xと想定し,より小さい関数値をもつ点へ移動して最小化を行う場合を考えてみましょう。これを行うために,このアルゴリズムでは,シンプルな関数问でfを近似します。この関数は点xの近傍Nで関数fの挙動をよく表すものです。この近傍が信頼領域です。ソルバーは,テストステップsをNにおける最小化(または近似最小化)によって計算します。信頼領域の部分問題を次に示します。
F (x + s) < F (x) f (x)を最小化するための信頼領域を決める上で重要な問題は,近似问(現在の点xで定義)の選択および計算方法,信頼領域Nの選択および変更方法,信頼領域の部分問題を解く精度です。 標準的な信頼領域法( ここでgは現在の点xにおけるfの勾配です。Hはヘッセ行列(2次導関数の対称行列)です。Dは対角スケーリング行列であり、Δ は正のスカラーです。∥ . ∥ は 2 ノルムです。式 1
このようなアルゴリズムにより ソルバーは,前処理付き共役勾配法(次のセクションで説明)を用いて,2次元の部分空間年代を決めます。ソルバーは年代<年代ub>1
または
このように年代を選択する背景の考え方は,最急降下方向または負の曲率方向にグローバルな収束を進めることと,ニュートンステップが存在する場合は,これを介して迅速にローカルな収束を達成することです。 信頼領域法のアプローチを使用した制約なしの最小化のプロセスは以下になります。 2次元の信頼領域の部分問題の定式化 テストステップ年代を決めるため, F (x + s) < F (x) Δを調節します。 ソルバーは収束するまでこの4つのステップを繰り返し,信頼領域の大きさΔを標準的な規則に基づいて調整します。特に,ソルバーはテストステップを受け入れない場合,<年代pan class="inlineequation">F (x + s)≥F (x) 优化工具箱のソルバーは特定の関数fの重要なケースを扱います。非線形最小二乗法,二次関数,線形最小二乗法を考えてみましょう。しかし,根底に存在するアルゴリズムは,一般的な場合と同じです。 線形方程式系<年代pan class="inlineequation">惠普= - g 最小化の過程で,ヘッセ行列Hが対称と仮定します。しかし、Hは強い最小化子の近傍の中でのみ正定値であることが保証されます。PCGアルゴリズムは,負または0の曲率方向が検出された場合に終了します(<年代pan class="inlineequation">d<年代up>T
(1)
前処理付き共役勾配法
他の方法としては線形方程式系を解いて探索方向を求める方法があります。ニュートン法で次のような探索方向d<年代ub>k J (x<年代ub>k ここでJ (x<年代ub>k
ニュートン法は問題が生じることがあります。J (x<年代ub>k 信頼領域法 (
但しf (d)の最小値が必ずしもf (x)の根にはなりません。 ニュートンステップd<年代ub>k M (x<年代ub>k の根であるため,m (d)の最小値にもなります。ここで メリット関数の選択としてはm (d)の方がf (d)よりも優れており,信赖域の部分問題は ∥D·D∥≤Δ 信頼領域法の概要は康涅狄格州 このTrust-region-dogleg法アルゴリズムの最大の特徴は鲍威尔の狗腿手順を使用して このアルゴリズムは,コーシーステップ(最急降下方向に沿ったステップ)とf (x)に対応するガウス・ニュートンステップを凸に組み合わせることで,ステップdを構成します。コーシーステップは,次のように計算されます。 d<年代ub>C ここで,αは ガウス・ニュートンステップは J (x<年代ub>k MATLAB<年代up>® アルゴリズムは,次のようにステップdを選択します。 d = d<年代ub>C ここでλは<年代pan class="inlineequation">∥d∥≤Δ Trust-region-dogleg法アルゴリズムが効率的なのは,(ガウス・ニュートンステップ計算のための)反復の各回で,1つの線形解しか必要としないからです。また,場合によっては,ライン探索を伴うガウス・ニュートン法を使用する方法よりもこのアルゴリズムの方がロバストです。
(2)
(3)
Trust-region-dogleg法の実装
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レーベンバーグ・マルカート法アルゴリズム( またはオプションとして以下の方程式を使います。 ここでスカラーλ<年代ub>k λ<年代ub>k
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(5)
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