線形混合効果モデルでのパラメーター推定- MATLAB和Sim金宝appulink MathWorks日本

線形混合効果モデルでのパラメーター推定

線形混合効果モデルは次のような形式になります。

$y ＝ \underset{f 我 x e d}{\underset{︸}{X β}} + \underset{r 一个 n d o 米}{\underset{︸}{Z b}} + \underset{e r r o r}{\underset{︸}{ε}} ，$

ここで

yはn行1列の応答ベクトル,nは観測数です。
Xはn行p列の固定効果計画行列です。
βはp行1列の固定効果ベクトルです。
Zはn行问列の変量効果計画行列です。
bはq行1列の変量効果ベクトルです。
εはn行1列の観測誤差ベクトルです。

変量効果ベクトルbと誤差ベクトルεは,次のように独立した事前分布になっていると仮定しています。

$\begin{array}{l} b ～ N （ 0 ， σ^{2} D （ θ)) ， \\ ε ～ N （ 0 ， σ {}^{2}我) ， \end{array}$

ここでDは分散成分ベクトルθによってパラメーター表現されている対称な半正定値行列,我はn行n列の単位行列,σ²は誤差の分散です。

このモデルで推定するパラメーターは,固定効果係数βおよび分散成分のθとσ²です。線形混合効果モデルにおけるパラメーター推定で最も一般的に使用される2つの方法は,最尤法と制限付き最尤法です。

最尤法(ML)

最尤推定法には,回帰係数と分散成分の両方が含まれており,これらは尤度関数の固定効果と変量効果の項です。

前に定義した線形混合効果モデルでは,与えられたβ,b,θおよびσ²に対して,応答変数yの条件応答は次のようになります。

$y | b ， β ， θ ， σ^{2} ～ N （ X β + Z b ， σ^{2} 我_{n}) ．$

与えられたβ,θおよびσ²に対してyの尤度は次のようになります。

$P （ y | β ， θ ， σ^{2}) ＝ \int P （ y | b ， β ， θ ， σ^{2}) P （ b | θ ， σ^{2}) d b ，$

ここで

$\begin{array}{l} P （ b | θ ， σ^{2}) ＝ \frac{1}{{（ 2 π σ^{2})}^{\frac{问}{2}}} \frac{1}{{| D （ θ) |}^{\frac{1}{2}}} 经验值｛ - \frac{1}{2 σ^{2}} b^{T} D^{- 1} b ｝和 \\ P （ y | b ， β ， θ ， σ^{2}) ＝ \frac{1}{{（ 2 π σ^{2})}^{\frac{n}{2}}} 经验值｛ - \frac{1}{2 σ^{2}} {（ y - X β - Z b)}^{T} （ y - X β - Z b) ｝． \end{array}$

Λ(θ)をD(θ)の下三角コレスキー因子,Δ(θ)をΛ(θ)の逆数と仮定します。このとき次のようになります。

$D {（ θ)}^{- 1} ＝ Δ {（ θ)}^{T} Δ （ θ) ．$

次のように定義します。

$r^{2} （ β ， b ， θ) ＝ b^{T} Δ {（ θ)}^{T} Δ （ θ) b + {（ y - X β - Z b)}^{T} （ y - X β - Z b) ，$

そしてb^＊が次の式を満たすbの値であると仮定します。

${\frac{\partial r^{2} （ β ， b ， θ)}{\partial b} |}_{b^{＊}} ＝ 0$

(特定のβとθに対して)。この場合,尤度関数は次のようになります。

$P （ y | β ， θ ， σ^{2}) ＝ {（ 2 π σ^{2})}^{- \frac{n}{2}} {| D （ θ) |}^{- \frac{1}{2}} 经验值｛ - \frac{1}{2 σ^{2}} r^{2} （ β ， b^{＊} （ β) ， θ) ｝ \frac{1}{{| Δ^{T} Δ + Z^{T} Z |}^{\frac{1}{2}}} ．$

P (y |β,θ,σ²)は特定のθに対して,βとσ²によって最初に最大化されます。これにより最適解 $\overset{＾}{β} （ θ)$ および ${\overset{＾}{σ}}^{2} （ θ)$ がθの関数として得られます。これらの解を尤度関数に代入すると, $P （ y | \overset{＾}{β} （ θ) ， θ ， {\overset{＾}{σ}}^{2} （ θ))$ になります。この式はプロファイル尤度と呼ばれ,βとσ²がプロファイルされています。 $P （ y | \overset{＾}{β} （ θ) ， θ ， {\overset{＾}{σ}}^{2} （ θ))$ はθの関数であり,このアルゴリズムでは次にこの式をθに関して最適化します。θの最適推定値が見つかると,βとσ²の推定値は $\overset{＾}{β} （ θ)$ および ${\overset{＾}{σ}}^{2} （ θ)$ によって与えられます。

毫升法では,分散成分の推定でβを固定の未知の量として扱いますが,固定効果の推定によって失われる自由度は考慮されません。これは毫升の推定が小さい分散によってバイアスされる原因になります。毫升がREMLよりも優れている点の1つは,2つのモデルを固定効果および変量効果の項について比較できることです。一方,REMLを使用してパラメーターを推定する場合,同じ固定効果計画をもつ変量効果の項において2つのモデルが入れ子になっている場合のみ,モデルを比較できます。

制限付き最尤法(REML)

制限付き最尤推定法には分散成分のみが含まれます。分散成分とは線形混合効果モデル内の変量効果の項をパラメーター表現するパラメーターです。βは2番目のステップで推定されます。βが一様な変則事前分布であると仮定して尤度 P(y|β,θ,σ²)をβについて積分したものが制限付き尤度P (y |θ,σ²)になります。つまり次のようになります。

$P （ y | θ ， σ^{2}) ＝ \int P （ y | β ， θ ， σ^{2}) P （ β) d β ＝ \int P （ y | β ， θ ， σ^{2}) d β ．$

このアルゴリズムでは,はじめに ${\overset{＾}{σ}}_{R}^{2}$ をプロファイルしてから残りの目的関数をθに関して最大化することにより ${\overset{＾}{θ}}_{R}$ を求めます。その後,σ²に関して制限付き尤度を最大化して ${\overset{＾}{σ}}_{R}^{2}$ を求めます。そして,次の事後分布に関する期待値を求めることによりβを推定します。

$P （ β | y ， {\overset{＾}{θ}}_{R} ， {\overset{＾}{σ}}_{R}^{2}) ．$

REMLは固定効果の推定によって失われる自由度を考慮するため,変量効果の分散を推定するバイアスがやや小さくなります。θおよび年代²の推定値はβの値に対して不変であり,毫升推定に比べるとデータの外れ値にあまり影響されません。ただし,REMLを使用してパラメーターを推定する場合,同一の固定効果計画行列をもつ変量効果の項において2つのモデルが入れ子になっている場合のみ,モデルを比較できます。