提升方法构造小波- MATLAB和Simulink MathWorks日本金宝app - 金宝app,下载188bet金宝搏,金宝搏官方网站

构造小波的提升方法

所谓的第一代小波和尺度函数是单个函数的并进扩张和变换。傅里叶方法在这些小波的设计中起着关键作用。然而，小波基必须包含单个函数的转换和扩展，这就限制了小波分析核心的多分辨率思想的效用。

小波变换的设计扩展了小波变换的应用第二代小波通过举．

不能使用单个函数的平移和扩展的典型设置包括:

界域的设计小波- 这包括在间隔内的小波构造，或在高维欧几里德空间中的有界域的构造。
加权小波- 在某些应用中，例如偏微分方程的解，需要相对于加权内部产品的小波。
间隔不规则数据—在许多实际应用中，数据样本之间的采样间隔是不相等的。

设计新的第一代小波需要傅立叶分析的专业知识。Sweldens提出的提升方法（见[SWE98]参考文献)消除了傅里叶分析专业知识的必要性，并允许您从初始的小波开始生成无限个离散双正交小波。除了世代第一代小波带有提升，提升的方法也能让你设计第二代小波，不能使用基于傅立叶的方法设计。随着升降，您可以设计解决缺点的小波第一代小波。

有关提升的更多信息，参见[Swe98]， [Mal98]， [StrN96]，和[MisMOP03]参考文献．

提升背景

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由滤波器组实现的小波变换由四个滤波器定义，如快速小波变换(FWT)算法．兴趣的两个主要性质是

完美的重建财产
与“真”小波的联系(如何从滤波器开始，产生有限能量函数空间的正交或双正交基)

为了说明完全重构特性，下面的滤波器组包含两个分解滤波器和两个合成滤波器。分解和综合滤波器可以构成一对双正交基或正交基。大写字母表示过滤器的z变换。

这导致了完美重构(PR)滤波器组的以下两个条件:

$H_{}^{\sim} (z ） H (z ） + G_{}^{\sim} (z ） G (z ）＝ 2 z^{- l + 1}$

和

$H_{}^{\sim} (- z ） H (z ） + G_{}^{\sim} (- z ） G (z ）＝ 0$

第一个条件通常被(不正确地)称为完美重构条件，第二个条件是抗锯齿条件。

的 $z^{- l + 1}$ 术语意味着，当一个样本的延迟小于滤波器长度时，可以实现完美重构，l．结果如果分析过滤器被移位为因果关系。

提升通过从小波变换的基本性开始设计完美的重建滤波器银行。小波通过利用大多数现实世界数据中固有的相关性来改造构建稀疏表示。例如，在3天期间绘制电力消耗的例子。

加载leleccum情节(leleccum)网格在轴紧标题（的电力消耗）

图包含轴。具有标题电力消耗的轴包含类型线的对象。

多相表示

的多相信号的表示是提升中的一个重要概念。你可以把每个信号看作是由阶段，包括采取每一个N以某个索引开头的示例。例如，如果你索引一个时间序列n＝０取其他样本的起始点n＝０，提取偶数样本。如果你从n＝1，提取奇数样本。这些是数据中的偶数和奇数多相分量。因为样本之间的增量是2，所以只有两个阶段。如果将增量增加到4，则可以提取4个相。对于提升来说，集中于偶、奇多相分量就足够了。下面的图说明了输入信号的这个操作。

在哪里Z表示单位前进操作员和数字2的向下箭头表示两个倒置采样。在提升语言中，将输入信号分离为偶数和奇数组件的操作是已知的分裂操作,或懒惰的小波．

为了了解数学上提升，有必要了解偶数和奇数多相组分的Z域表示。

偶多相分量的z变换为

$X_{0} (z ）＝ \sum_{n} x (2 n ） z^{- n}$

奇数多相组分的z变换是

$X_{1} (z ）＝ \sum_{n} x (2 n + 1 ） z^{- n}$

您可以将输入信号的Z变换写入多相组分的Z变换的扩张版本的总和。

$X (z ）＝ \sum_{n} x (2 n ） z^{- 2 n} + \sum_{n} x (2 n + 1 ） z^{- 2 n + 1} ＝ X_{0} (z^{2} ） + z^{- 1} X_{1} (z^{2} ）$

拆分，预测和更新

单个提升步骤可以通过以下三个基本操作来描述：

分裂- 信号分为不相交的组件。这样做的常见方法是提取解释的偶数和奇数多相组件多相表示．这也被称为懒惰的小波．
预测-基于偶多相分量样品的线性组合的奇多相分量。将奇多相分量的样本替换为奇多相分量与预测值的差值。
更新- 基于从预测步骤获得的差异样本的线性组合的偶数多相组分。

在实践中，对预测和更新操作都进行了规范化。

下面的图表演示了一个提升步骤。

通过提升的哈尔小波

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使用拆分，预测和更新，可以通过提升实现Haar小波。

分裂- 将信号划分为偶数和奇数多相组分
预测- 代替 $x (2 n + 1 ）$ 和 $d (n ）＝ x (2 n + 1 ） - x (2 n ）$ ．预测运算符很简单 $x (2 n ）$ ．
更新- 代替 $x (2 n ）$ 和 $x (2 n ） + d (n ） / 2$ ．这是等于的 $(x (2 n ） + x (2 n + 1 ）） / 2$ ．

z域的预测算子可以写成如下矩阵形式:

$［ \begin{array}{c} 1 & 0 \\ - P (z ） & 1 \end{array}] ［ \begin{array}{c} X_{0} (z ） \\ X_{1} (z ） \end{array}]$

和 $P (z ）＝ 1$ ．

更新运算符可以以以下矩阵形式写入：

$［ \begin{array}{c} 1 & 年代 (z ） \\ 0 & 1 \end{array}] ［ \begin{array}{c} 1 & 0 \\ - P (z ） & 1 \end{array}] ［ \begin{array}{c} X_{0} (z ） \\ X_{1} (z ） \end{array}]$

和 $年代 (z ）＝ 1 / 2$ ．

最后，更新和预测归一化可以合并为:

$［ \begin{array}{c} \sqrt{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}] ［ \begin{array}{c} 1 & 年代 (z ） \\ 0 & 1 \end{array}] ［ \begin{array}{c} 1 & 0 \\ - P (z ） & 1 \end{array}] ［ \begin{array}{c} X_{0} (z ） \\ X_{1} (z ） \end{array}]$

您可以使用升降机化学构造与Haar小波相关的提升格式。

lscHaar = liftingScheme ('小波'，“哈雾”）;disp (lscHaar)

小波:'haar' LiftingSteps: [2 × 1] liftingStep NormalizationFactors: [1.4142 0.7071] CustomLowpassFilter: [] Details of LiftingSteps: Type: 'predict' Coefficients: -1 MaxOrder: 0 Type: 'update' Coefficients: 0.5000 MaxOrder: 0

请注意，为方便起见，否定标志已被纳入其中预测提升一步。的元素NormalizationFactors，1.4142和0.7071.，分别为预测和更新归一化因子。maxOrder.给出了描述相应提升步骤的劳伦多因子的最高程度。在这种情况下，两者都是零，因为预测和更新升力都被标量描述。

Bior2.2小波通过提升

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通过实例介绍了该系统的提升方案Bior2.2.双正交尺度和小波滤波器。

在哈尔提升方案中，预测算子对奇、偶样本进行差分。在这个例子中，定义一个新的预测算子来计算两个相邻的偶数样本的平均值。从中间的奇数样本中减去平均值。

$d (n ）＝ x (2 n + 1 ） - \frac{1}{2} ［ x (2 n ） + x (2 n + 2 ）]$

在z域，你可以把预测算子写成

$［ \begin{array}{c} 1 & 0 \\ - \frac{1}{2} (1 - z ） & 1 \end{array}] ［ \begin{array}{c} X_{0} (z ） \\ X_{1} (z ） \end{array}]$

要获取更新操作符，请检查通过提升的哈尔小波．更新的定义是这样的:近似系数的总和与输入数据向量的平均值成正比。

$\sum_{n} x (n ）＝ \frac{1}{2} \sum_{n} 一个 (n ）$

为了在这个提升步骤中获得相同的结果，将更新定义为

$［ \begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} (z^{- 1} + 1 ） \\ 0 & 1 \end{array}] ［ \begin{array}{c} 1 & 0 \\ - \frac{1}{2} (1 + z ） & 1 \end{array}] ［ \begin{array}{c} X_{0} (z ） \\ X_{1} (z ） \end{array}]$

您可以使用升降机化学获得提升方案。

Lscbior =升降机（'小波'，'bior2.2'）;disp (lscBior)

小波：'Bior2.2'升级：[2×1]升降步骤正标准化系数：[0.2500 0.2500] maxOrder：0

哈尔吊装方案增加吊装步骤

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这个例子展示了如何将基本的提升步骤添加到提升方案中。

创建一个与哈尔小波相关的提升方案。

lsc = liftingScheme ('小波'，“哈雾”）;disp (lsc)

小波:'haar' LiftingSteps: [2 × 1] liftingStep NormalizationFactors: [1.4142 0.7071] CustomLowpassFilter: [] Details of LiftingSteps: Type: 'predict' Coefficients: -1 MaxOrder: 0 Type: 'update' Coefficients: 0.5000 MaxOrder: 0

创建一个更新小学提升一步。将步骤附加到提升方案中。

els = liftingStep ('类型'，'更新'，“系数”(-1/8 1/8),“MaxOrder”, 0);els lscNew = addlift (lsc);disp (lscNew)

小波：'自定义'升降步骤：[3×1]升降步骤标准化类型：'更新'系数：[-0.1250 0.1250] maxOrder：0

从新的提升方案中获得分解和重建滤波器。

[lod,藏,生气,hir] = ls2filt (lscNew);

用bswfun到绘图的结果缩放函数和过滤器。

bswfun (lod、藏、卤、雇佣“阴谋”）;

图包含4个轴。具有标题分析缩放功能（PHIA）的轴1包含类型线的对象。具有标题分析小波函数（PSIA）的轴2包含类型线的对象。具有标题合成缩放功能（PHIS）的轴3包含类型线的对象。具有标题合成小波功能（PSI）的轴4包含类型线的对象。

Integer-to-Integer小波变换

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在若干应用中，希望具有小波变换，该小波变换将整数输入映射到整数缩放和小波系数。您可以轻松使用升降。

创建一个与哈尔小波相关的提升方案。在提升方案中增加一个基本的提升步骤。

lsc = liftingScheme ('小波'，“哈雾”）;els = liftingStep ('类型'，'更新'，“系数”(-1/8 1/8),“MaxOrder”, 0);lscNew = lsc.addlift (els);

创建一个整数值信号。从小波变换中得到信号的整数到整数小波变换，利用提升方案'int2int'设置真正的．

rng默认的sig =兰迪(20日16日1);(ca、cd) =轻型(团体,'Liftingscheme'，lscnew，'int2int',真正的);

确定近似系数均为整数。

Max（ABS（CA-FALL（CA））））

ans = 0

确认细节系数都是整数。

len =长度(cd);为k = 1: len disp ([k,马克斯(abs (cd {k}地板(cd {k})))));结尾

1 0 2 0 3 0 4 0

反转变换并展示完美的重建。

xrec = ilwt (ca, cd,'Liftingscheme'，lscnew，'int2int',真正的);马克斯(abs (xrec-sig))

ans = 0

小波工具箱文档

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