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条件平均模型的MMSE预测

什么是MMSE预测?

时间序列建模的一个共同目标是对一个过程在未来的时间范围内生成预测。也就是说，给定一个观测级数y1，y2,...，yN以及一个预测的地平线h，生成预测 y N + 1 ， y N + 2 ， ．.. ， y N + h ．

让 y ＾ t + 1 表示当时过程的预报t+ 1，条件是进程的历史到时间t，Ht，以及到时间的外生协变量序列t+ 1,Xt＋ １，如果模型中包含回归组件。最小均方误差(MMSE)预报是预报 y ＾ t + 1 使期望平方损失最小化，

E （ y t + 1 − y ＾ t + 1 | H t ， X t + 1 ） 2 ．

将这个损失函数最小化可得到MMSE预测，

y ＾ t + 1 ＝ E （ y t + 1 | H t ， X t + 1 ） ．

如何预测生成MMSE预测

的预测函数递归生成MMSE预测。当你打电话预测，则指定模型Mdl预测的时间跨度,numperiods，并预采样响应Y0．您可以选择指定前样例创新“E0”,有条件的差异“半”，外生数据“X0”通过使用名称-值对参数。虽然预测不需要X0或预测样本外生数据XF，如果你指定X0然后你还必须指定XF．

例如，从一个观测序列的末尾开始预测Y，使用最后的几个观察Ypresample反应Y0初始化预报。当你指定预样例数据时，有几点需要记住:

  • 初始化预测所需的最小响应数存储在属性中P一个华宇电脑模型。如果你提供的样本太少，预测返回一个错误。

  • 如果你预测一个带有MA成分的模型，那么预测需要presample创新。所需的创新数量存储在资产中问一个华宇电脑模型。如果你也有一个条件方差模型，你必须额外说明它所需要的任何样前创新。如果你指定了样品前的创新，但还不够，预测返回一个错误。

  • 如果您没有指定任何前样创新，但指定足够的前样反应(至少P+问)和外生协变量数据(至少前样本响应数减去P),然后预测自动推断样品前的创新。一般来说，提供的前样例响应系列越长，推断的前样例创新就越好。如果你提供了前样本响应和外生协变量数据，但还不够，预测设定样品创新等于零。

  • 如果你用回归组件预测一个模型，那么预测需要预测期内所有时间点的未来外生协变量数据(numperiods）.如果你提供了未来的外生协变量数据，但还不够，那么预测返回一个错误。

考虑为AR(2)过程生成预测，

y t ＝ c + ϕ 1 y t − 1 + ϕ 2 y t − 2 + ε t ．

鉴于presample观察 y N − 1 和 y N ， 预测递归生成如下:

  • y ＾ N + 1 ＝ c + ϕ 1 y N + ϕ 2 y N − 1

  • y ＾ N + 2 ＝ c + ϕ 1 y ＾ N + 1 + ϕ 2 y N

  • y ＾ N + 3. ＝ c + ϕ 1 y ＾ N + 2 + ϕ 2 y ＾ N + 1

⋮

对于平稳AR过程，这个递归收敛于过程的无条件均值，

μ ＝ c （ 1 − ϕ 1 − ϕ 2 ） ．

对于MA(2)过程，例如:

y t ＝ μ + ε t + θ 1 ε t − 1 + θ 2 ε t − 2 ，

你需要2个创新样本来初始化预测。所有来自时间的创新N+ 1和更大的是他们的期望，0。因此，对于MA(2)过程，对未来任何超过2步的时间的预测是无条件的平均值，μ．

预测误差

的预测均方误差年代-步前预测给出

均方误差 ＝ E （ y t + 年代 − y ＾ t + 年代 | H t + 年代 − 1 ， X t + 年代 ） 2 ．

考虑由给出的条件平均模型

y t ＝ μ + x t ” β + ψ （ l ） ε t ，

在哪里 ψ （ l ） ＝ 1 + ψ 1 l + ψ 2 l 2 + ．.. ．对滞后创新的方差求和得到年代一步一步MSE,

（ 1 + ψ 1 2 + ψ 2 2 + ．.. + ψ 年代 − 1 2 ） σ ε 2 ，

在哪里 σ ε 2 为创新方差。

对于平稳过程，无限滞后算子多项式的系数是绝对可和的，并且MSE收敛于过程的无条件方差。

对于非平稳过程，序列不收敛，预测误差随时间增长。

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