经验小波变换

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经验小波变换(EWT)是一种使用自适应小波细分方案对信号进行多分辨率分析(MRA)的技术。EWT首先对信号的频谱进行分割。EWT提供了输入信号的完美重建。EWT系数将输入信号的能量划分为单独的通带。

EWT由Gilles [1］．Gilles和Heal [3.]提出，并使用基于直方图的方法来分割频谱。

MRA是将信号分解为不同尺度上的分量，或等效地，在不同频带上，通过在每个时间点上对分量求和来恢复原始信号多分辨率分析实用导论)。存在许多MRA技术。最大重叠离散小波变换(MODWT)及其相关的MRA公式使用独立于信号设计的基或框架modwt和modwtmra)。经验模态分解(EMD)算法是一种将非线性或非平稳过程分解为其固有振动模态的数据自适应技术。EMD在输入信号上迭代，以提取数据中包含的自然AM-FM模式，也称为本征模式函数(参见emd)。

易算法

您可以使用易函数来获得信号的MRA。EWT算法的结构如下:

我们使用五个正弦锥来获得信号的多锥功率谱估计。这是一个平滑的，低方差的功率谱估计(见周期图的偏倚和变异性(信号处理工具箱))。我们将估计归一化，使其位于[0,1]范围内。默认情况下，我们严格识别所有大于峰值70%的峰值。如果有一个主峰和许多较小的峰，您可以使用LogSpectrum选择。
默认情况下构造经验小波通带，使它们的过渡带在相邻峰值的几何平均频率处交叉。迈耶小波的构造如[1随着我们决定的方式而变化 $γ$ 参数。小波以这样一种方式重叠，它们形成了一个帕塞瓦尔紧框架。
为了确定相邻通带之间的边界，可以选择使用相邻峰值之间的第一个局部极小值。如果没有确定局部最小值，则恢复到几何平均值(默认值)。
您还可以选择使用重写峰值的自动阈值设置MaxNumPeaks．最大的山峰高达MaxNumPeaks使用。多锥估计的近似带宽是(K+1/2)/(N+1)，其中K是锥的数量，N是数据长度(可能包括填充)。因为峰之间必须被近似带宽最小程度地隔开才能成为一个峰，所以小于MaxNumPeaks确定了峰，包括没有峰的峰。

由于小波形成Parseval紧框架，滤波器组是自对偶的:分析滤波器组等于合成滤波器组。该方法利用小波对信号进行频域滤波，然后对变换进行逆变换得到分析系数。EWT利用相应的合成小波重构MRA分量。

频谱分割

如果您有信号处理工具箱™，您可以看到如何使用多锥器可以产生功率谱的平滑估计。

创建定义在[]中的第三个测试信号1并添加白噪音。将随机数生成器设置为默认设置，以产生可重复的结果。减去其平均值并绘制结果。

rng默认的Fs = 500;T = 0:1/fs:1-1/fs;F1 = 1 /(6/5+cos(2* *t));F2 = 1 /(3/2+sin(2*pi*t));F3 = cos(32* t+cos(64* t));Sig = f1+f2.*f3;Sig = Sig +randn(1,length(Sig))/2;Sig = Sig -mean(Sig);情节(t, sig)包含(的时间(秒)) ylabel (“振幅”)标题(测试信号的）

图中包含一个轴对象。标题为Test Signal的axes对象包含一个line类型的对象。

使用周期图函数绘制信号的周期图。然后使用pmtm函数来绘制平滑的多锥估计。

[Pxx,F] = periodogram(sig，[]，[]，500);Pxxmt = pmtm(sig,5，[]，500，“蜡烛”，的正弦，“权力”）;subplot(2,1,1) plot(F,Pxx)标题(“周期图”) subplot(2,1,2) subplot(F,Pxxmt)“平滑估计”)包含(的频率(赫兹)）

图中包含2个轴对象。标题为Periodogram的Axes对象1包含一个类型为line的对象。标题为Smoothed Estimate的Axes对象2包含一个类型为line的对象。

计算易

您有几种方法来控制易函数获取信号的MRA。本节演示几个选项。

使用易函数，以获得信号的MRA和滤波器组的信息。

[mra，~，~，info] = ewt(sig);大小(mra)

ans =1×2500 2

指定的山峰

默认情况下,易找到两个MRA组件。检查滤波器组通带。因为通带是以归一化频率返回的，所以将它们乘以采样频率。

info.FilterBank.Passbands * fs

ans =2×265 250 0 65

注意，在22 Hz处有一个段边界。第一段有两个峰。集MaxNumPeaks等于3，所以易使用三个最大峰值确定滤波器通带。

[mra,cfs，~，info] = ewt(sig，“MaxNumPeaks”3);info.FilterBank.Passbands * fs

ans =3×262.0000 250.0000 28.0000 62.0000 0 28.0000

验证MRA分量相加能对信号进行完美重构，验证EWT分析系数是节能的。

马克斯(abs (sig的总和(mra, 2)))

Ans = 1.7764e-15

和(和(abs (cfs) ^ 2))。

Ans = 1.2985e+03

规范(团体,2)^ 2

Ans = 1.2985e+03

您可以不指定峰值的最大数量，而是设置百分比阈值，用于确定多锥功率谱中保留哪些峰值。将信号的多锥功率谱估计的局部极大值归一化到[0,1]范围内，最大峰值为1。集PeakThresholdPercent2。

[~，~，~，info] = ewt(sig，“PeakThresholdPercent”2);info.FilterBank.Passbands * fs

ans =5×2141.0000 250.0000 74.0000 141.0000 57.0000 74.0000 28.0000 57.0000 0 28.0000

指定分割方法

默认情况下,易使用相邻峰值的几何平均值来确定滤波器通带。的易函数让您可以选择使用峰值之间的第一个局部最小值。集SegmentMethod来“localmin”，所以易使用第一个局部最小值，并指定三个峰值的最大值。确认使用第一个局部最小值会产生不同的分割结果。

[~，~，~，info] = ewt(sig，“MaxNumPeaks”3,“SegmentMethod”，“localmin”）;info.FilterBank.Passbands * fs

ans =3×254.0000 250.0000 28.0000 54.0000 0 28.0000

指定频率分辨率

您还可以指定多锥功率谱估计的频率分辨率带宽。频率分辨率带宽决定了在多锥功率谱估计中使用多少正弦锥。指定频率分辨率为0.2和最多三个峰值。请注意，即使MaxNumPeaks设置为3时，使用指定的频率分辨率找不到三个峰值。

[mra，~，~，info] = ewt(sig，“MaxNumPeaks”3,“FrequencyResolution”, 0.2);info.FilterBank.Passbands * fs

ans =2×283.0000 250.0000 0 83.0000

参考文献

[1] Gilles, Jérôme。"经验小波变换"IEEE信号处理汇刊61年,没有。16(2013年8月):3999-4010。https://doi.org/10.1109/TSP.2013.2265222．

[2] Gilles, Jérôme, Giang Tran, Stanley Osher。“二维经验变换。小波，山脊和曲波再认识"成像科学杂志7,不。1(2014年1月):157-86。https://doi.org/10.1137/130923774．

[3] Gilles, Jérôme和Kathryn Heal。在直方图中寻找有意义模式的无参数尺度空间方法-应用于图像和频谱分割。国际小波，多分辨率和信息处理杂志12,没有。06(2014年11月):1450044。https://doi.org/10.1142/S0219691314500441．