使用卡尔曼滤波器来估计和预测Diebold-Li模型

在2008年的金融危机之后,额外偿付能力规定强加给许多金融公司,更强调以负债的市场价值和会计。许多公司,尤其是保险公司和养老基金,写年金合同和承担长期负债,要求复杂的模型和方法预测收益率曲线。

此外,由于长期负债的价值大大增加在低利率的环境中,收益率很低的概率应该准确建模。在这种情况下,使用卡尔曼滤波器,其将时变系数和推断能力未被注意的驱动因素的演变观察收益率,通常是适当的收益率曲线模型参数的估计和随后的模拟和预测的收益,这是保险和养老金的核心分析。

下面的例子说明了使用(SSM)状态空间模型和卡尔曼滤波Diebold-Li通过合适的受欢迎则只产生模型[2]的月度时间序列来自政府债券收益率曲线数据。这个例子强调了估计,模拟、平滑、和预测能力的导弹计量经济学工具箱™所具有的功能,并比较其估计性能更传统的计量技术。

首先介绍了Diebold-Li模型的例子中,然后概述了参数整数表示支持的地对地导弹的功能与计量经济学工具箱,然后说明了Diebold-Li可能制定在整数阶模型。金宝app一旦制定整数阶,再现了样本估计的结果发表在示例[2],并比较结果中概述的两步方法[1]。

这个例子结尾的一个简单的例子最小均方误差(MMSE)预测和SSM的蒙特卡罗模拟功能功能。

Diebold-Li模型收益率曲线模型

Diebold-Li模型- siegel模型的一个变体[3]reparameterizing获得的原始配方。为观察日期 $t$ 和期限 $τ$ ,Diebold-Li模型描述屈服 $y_{t} (τ)$ 四个参数的函数:

$y_{t} (τ) = l_{t} + {年代}_{t} (\frac{1 - - - - - - e^{- - - - - - λ τ}}{λ τ}) + C_{t} (\frac{1 - - - - - - e^{- - - - - - λ τ}}{λ τ} - - - - - - e^{- - - - - - λ τ})$

在这 $l_{t}$ 是长期的因素,还是水平, ${年代}_{t}$ 是短期因素,还是坡, $C_{t}$ 是中期因素,还是曲率。 $λ$ 决定了成熟的加载在曲率是最大化,和管理的指数衰减速率模型。

计量经济学(SSM)状态空间模型的工具

的舰导弹计量经济学工具箱的函数允许用户指定一个给定的整数阶的问题。一旦指定导弹的参数形式,其他相关功能允许用户通过最大似然估计模型参数,得到平滑通过向后和向前递归和过滤状态,分别获得最优的预测未被注意的(潜在的)状态和观测数据,和模拟样本路径的潜伏状态和观测数据通过蒙特卡洛。

为状态向量 $x_{t}$ 和观测向量 $y_{t}$ ,计量经济学的工具箱导弹的参数形式表示在接下来的线性状态方程表示:

$x_{t} = {一个}_{t} x_{t - - - - - - 1} + B_{t} u_{t}$

$y_{t} = C_{t} x_{t} + D_{t} ϵ_{t}$

在哪里 $u_{t}$ 和 $ϵ_{t}$ 是不相关的,unit-variance白噪声向量过程。在上面的导弹表示,被称为第一个方程状态方程和第二个观测方程。模型参数 ${一个}_{t}$ , $B_{t}$ , $C_{t}$ 和 $D_{t}$ 被称为状态转换,状态扰动加载,测量灵敏度,观察创新矩阵,分别。

尽管计量经济学中的有关SSM函数工具箱将适应时变参数(动态) ${一个}_{t}$ , $B_{t}$ , $C_{t}$ 和 $D_{t}$ 的价值观和尺寸变化随着时间的推移,Diebold-Li模型中的这些参数定常(静态)。

状态方程的配方Diebold-Li模型

上面介绍的Diebold-Li模型是制定水平,斜坡,矢量和曲率因素遵循一阶自回归过程,或VAR(1),因此立即形成一个状态空间模型系统。,使用符号王希金(音译)认为Rudebusch, Aruoba[2]状态转移方程,控制的动态状态向量(水平、坡度和曲率因素),是写成

$(\begin{array}{c} l_{t} - - - - - - μ_{l} \\ {年代}_{t} - - - - - - μ_{年代} \\ C_{t} - - - - - - μ_{C} \end{array}) = (\begin{array}{c} {一个}_{11} {一个}_{12} {一个}_{13} \\ {一个}_{21} {一个}_{22} {一个}_{23} \\ {一个}_{31} {一个}_{32} {一个}_{33} \end{array}) (\begin{array}{c} l_{t - - - - - - 1} - - - - - - μ_{l} \\ {年代}_{t - - - - - - 1} - - - - - - μ_{年代} \\ C_{t - - - - - - 1} - - - - - - μ_{C} \end{array}) + (\begin{array}{c} η_{t} (l) \\ η_{t} (年代) \\ η_{t} (C) \end{array})$

相应的观测方程写成(测量)

$(\begin{array}{c} y_{t} (τ_{1}) \\ y_{t} (τ_{2}) \\ ⋮ \\ y_{t} (τ_{N}) \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \frac{1 - - - - - - e^{- - - - - - λ τ_{1}}}{λ τ_{1}} \frac{1 - - - - - - e^{- - - - - - λ τ_{1}}}{λ τ_{1}} - - - - - - e^{- - - - - - λ τ_{1}} \\ 1 \frac{1 - - - - - - e^{- - - - - - λ τ_{2}}}{λ τ_{2}} \frac{1 - - - - - - e^{- - - - - - λ τ_{2}}}{λ τ_{2}} - - - - - - e^{- - - - - - λ τ_{2}} \\ ⋮ \\ 1 \frac{1 - - - - - - e^{- - - - - - λ τ_{N}}}{λ τ_{N}} \frac{1 - - - - - - e^{- - - - - - λ τ_{N}}}{λ τ_{N}} - - - - - - e^{- - - - - - λ τ_{N}} \end{array}) (\begin{array}{c} l_{t} \\ {年代}_{t} \\ C_{t} \end{array}) + (\begin{array}{c} e_{t} (τ_{1}) \\ e_{t} (τ_{2}) \\ ⋮ \\ e_{t} (τ_{N}) \end{array})$

在向量矩阵表示法,Diebold-Li模型写成以下状态空间系统的三维向量mean-adjusted因素 $f_{t}$ 和观察到的收益率 $y_{t}$ :

$(f_{t} - - - - - - μ) = 一个 (f_{t - - - - - - 1} - - - - - - μ) + η_{t}$

$y_{t} = Λ f_{t} + e_{t}$

正交的,高斯白噪声过程 $η_{t}$ 和 $e_{t}$ 这样定义

$(\begin{array}{c} η_{t} \\ e_{t} \end{array}) \sim W N (\begin{array}{c} (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}), (\begin{array}{c} 问 0 \\ 0 H \end{array}) \end{array})$

此外,Diebold-Li模型制定的状态方程的因素干扰 $η_{t}$ 是相关的,因此相应的协方差矩阵 $问$ 是分支。相比之下,然而,该模型实施diagonality协方差矩阵 $H$ 观测方程的扰动 $e_{t}$ 这样观察收益率在不同期限的偏差是不相关的。

潜伏状态定义为mean-adjusted因素

$x_{t} = f_{t} - - - - - - μ$

intercept-adjusted,或放气,收益率(殖利率)

$y_{t}^{'} = y_{t} - - - - - - Λ μ$

代入上面的公式,Diebold-Li状态空间系统可以写成

$x_{t} = 一个 x_{t - - - - - - 1} + η_{t}$

$y_{t}^{'} = y_{t} - - - - - - Λ μ = Λ x_{t} + e_{t}$

现在比较Diebold-Li状态空间系统支持的配方的地对地导弹的功能与计量经济学工具箱,金宝app

$x_{t} = 一个 x_{t - - - - - - 1} + B u_{t}$

$y_{t} = C x_{t} + D ϵ_{t}$

从上面的状态空间系统,我们立即看到状态转移矩阵 $一个$ 是相同的配方和Diebold-Li矩阵吗 $Λ$ 只是状态测量灵敏度矩阵 $C$ 在有关SSM配方。

干扰之间的关系,然而,因此的参数化 $B$ 和 $D$ 矩阵的有关SSM配方,更微妙。看到这种关系,请注意

$η_{t} = B u_{t}$

$e_{t} = D ϵ_{t}$

自干扰在每个模型必须相同,的协方差 $η_{t}$ 在Diebold-Li配方必须等于按比例缩小的白噪声的协方差SSM的过程 $B u_{t}$ 。同样,的协方差 $e_{t}$ 必须等于的过程 $D ϵ_{t}$ 。此外,自 $u_{t}$ 和 $ϵ_{t}$ 舰导弹配方被定义为不相关的干扰,unit-variance白噪声向量过程,其协方差矩阵单位矩阵。

因此,在应用程序的线性变换性质的协方差的高斯随机向量,Diebold-Li制定有关导弹的参数制定等

$问 = B B^{'}$

$H = D D^{'}$

制定Diebold-Li模型的方式适合估计计量经济学的工具箱,用户必须首先创建一个导弹模型舰导弹函数。此外,一个导弹模型可能与未知参数定义显式或隐式创建的。

显式地创建一个导弹模型,所有需要的矩阵 $一个$ , $B$ , $C$ , $D$ 必须提供。在显式方法中,显示为未知参数南值来表示的存在和位置未知的值;每一个南条目对应于一个独特的参数估计。

虽然创建模型显式地通过直接指定参数 $一个$ , $B$ , $C$ , $D$ 有时比隐式地指定一个模型,更方便实用的一个显式的方法是有限的,每个估计参数的影响和独特相关系数矩阵的一个元素。

隐式地创建一个模型,用户必须指定一个参数映射函数输入参数向量映射到模型参数 $一个$ , $B$ , $C$ , $D$ 。在隐式方法中,单独映射函数定义了模型,尤其方便评估复杂的模型和实施各种参数约束。

此外,有关SSM框架不存储非零补偿与回归组件相关的状态变量或参数的观测方程。相反,回归估计组件是通过降低观测 $y_{t}$ 。同样,其他相关导弹功能,例如过滤器,光滑的,预测,模拟,假设观察已经手动放气,或预处理,占任何补偿或观测方程中回归组件。

自Diebold-Li模型包括一个非零偏移(平均)的三个因素,这代表了一种简单而常见的回归组件,这个示例使用一个映射函数。此外,映射函数也对协方差矩阵的对称约束 $问 = B B^{'}$ 和一个diagonality协方差矩阵的约束 $H = D D^{'}$ ,两者都是特别适合于一个隐式方法。此外,还允许我们估算出的映射函数 $λ$ 衰变率参数。

注意,这个整数配方,和相应的方法包括一个回归组件,并不是唯一的。例如,补偿因素也可以包括通过增加状态向量的维数。

采取的方法在本例中,将状态方程中的系数补偿的SSM表示观测方程中引入了一个回归组件。允许调整,这个示例使用一个参数映射函数缩小期间观察到的收益率模型估计。这种方法的优点是,状态向量的维数未被注意的因素仍然是3,因此直接对应于3 d产量也仅仅因素,模型王希金(音译)认为Rudebusch, Aruoba[2]。缺点是,因为估计进行放气产量,其他导弹还必须考虑这种调整的功能降低,随后推高收益率。

收益率曲线数据

收益率的时间序列数据由每月29年不光滑Fama-Bliss美国财政部零息收益,使用和讨论[1]和[2],期限3、6、9、12、15、18、21日,24日,30日,36岁,48岁,60岁,72,84,96,108,120个月。百分比表达的产量并记录在每月月底,1972年1月开始,截至2000年12月17日期限的共有348个月度曲线。整个收益率曲线不光滑Fama-Bliss数据集,用于的一个子集[1]和[2],可以发现https://www.sas.upenn.edu/ ~ fdiebold /论文/ paper49 / FBFITTED.txt。

下面的分析使用整个Diebold-Li数据集复制估算结果发表在[2],比较了两步和导弹的方法。

作为一种替代方法,数据集也可以划分为一个分类中时间用来估计每个模型和一个样本外期保留评估预测性能。预测精度分析等概念,可以进行的方式类似于发表在表和李4 - 6王希金(音译)认为[1]。然而,这样做会花费太长时间去完成,因此不适合现场MATLAB的例子。

负载Data_DieboldLi到期期限= (,);%确保一个列向量收益率=数据(1:,:);%样本内收益率进行估计

两步估计Diebold-Li模型

在他们的原始论文[1]Diebold和李估计收益率曲线的参数模型使用一个两步方法:

与 $λ$ 保持固定,估计水平、坡度和曲率参数为每个月收益率曲线。重复这个过程对于所有观察到的收益率曲线,并提供一个三维的时间序列的估计未被注意的水平,坡度和曲率因素。
符合一阶自回归模型的时间序列因素派生的第一步。

通过修复 $λ$ 在第一步中,原本是一个非线性最小二乘估计是取而代之的是一个相对简单的普通最小二乘法(OLS)估计。- siegel框架内设置,这是司空见惯的 $λ$ = 0.0609,这意味着在曲率的值加载(中期因子)是最大化发生在30个月。

此外,由于收益率曲线参数化功能的因素,预测收益率曲线相当于预测潜在因素和评估Diebold-Li模型作为预测因素的函数。

第一步相当于3因素(水平、坡度和曲率)通过OLS回归系数,并积累三维时间序列因素通过重复OLS估计适合每一个观察到的收益率曲线。下面的OLS步骤执行,回归系数和线性模型的残差满足存储供以后使用。

lambda0 = 0.0609;X =[(大小(期限))(1-exp (-lambda0 *到期日)。/ (lambda0 *期限)…((1-exp (-lambda0 *到期日)。/ (lambda0 *期限)exp (-lambda0 *期限)];β= 0(大小(产量,1),3);残差= 0(大小(产量,1),元素个数(期限));为i = 1:尺寸(产量,1)EstMdlOLS = fitlm (X,收益率(我,:),“拦截”、假);β(我:)= EstMdlOLS.Coefficients.Estimate ';残差(我:)= EstMdlOLS.Residuals.Raw ';结束

现在,计算了三维时间序列因素,第二步的时间序列一阶自回归(AR)模型。在这一点上,有两种选择的基于“增大化现实”技术的配合:

适合每个因素单变量分别AR(1)模型,如[1]。
适用于所有3因素同时VAR(1)模型,如[2]

尽管计量经济学的工具箱支持单变量和多变量AR估计,在接下来的一个VA金宝appR(1)模型拟合的三维时间序列因素。一致性与SSM配方,适用于mean-adjusted因素,VAR(1)模型包括一个积分常数占每个因素的均值。

EstMdlVAR =估计(varm(3,1),β);

舰导弹Diebold-Li模型的估计

正如上面所讨论的,Diebold-Li模型估计使用隐式方法,指定一个参数映射函数。这个映射函数映射SSM模型参数的参数向量,以观察占每个因素的方式,在协方差矩阵和强加的限制。

下面的代码创建了一个SSM模型通过参数映射函数Example_DieboldLi到舰导弹功能,表明映射函数将调用输入参数向量参数个数。额外的映射函数输入参数指定产量和成熟的静态信息,用于初始化函数的方式适合后续使用的估计。有关更多细节,请参见helper函数Example_DieboldLi。

Mdl =舰导弹(@ (params) Example_DieboldLi(参数、产量、到期日));

舰导弹模型的最大似然估计(企业)通过卡尔曼滤波器对初始参数值是出了名的敏感。在这个例子中,我们使用两步初始化方法估计的结果。

具体来说,初始值传递给导弹估计函数被编码到一个列向量。在这个例子中,矩阵 $一个$ 有关SSM模型设置为3×3的AR估计VAR(1)模型的系数矩阵列的方式堆叠成第一个9列向量的元素。

从上面的讨论中,矩阵 $B$ 有关SSM模型3 x3的矩阵的约束等 $问 = B B^{'}$ ,在以下的估计 $B$ 柯列斯基因素较低吗 $问$ 。因此,为了确保 $问$ 是对称的正定,允许非零非对角协方差,6元素与较低的柯列斯基因素有关 $问$ 必须分配在初始参数列向量。然而,接下来我们初始化初始参数向量的元素与创新估计方差的平方根的VAR模型(1)。

换句话说,当初始化参数向量,我们假设协方差矩阵 $问$ 是斜的,但仍保留空间below-diagonal元素的协方差矩阵,这样低的柯列斯基因素 $问 = B B^{'}$ 。初始参数向量是安排这样的元素 $B$ 和主对角线以下堆叠在一列的方式。

自协方差矩阵 $H$ Diebold-Li配方的对角矩阵 $D$ SSM模型的约束也是斜等 $H = D D^{'}$ 。因此,相关的初始参数向量的元素 $D$ 将的平方根的样本协方差矩阵的对角元素VAR(1)模型的残差,其中一个元素的每个成熟度输入产量数据(在这个例子中有17个期限),堆在一个列的方式。

请注意, $C$ SSM模型的矩阵不是直接估计,而是一个完全参数化函数估计的衰变率参数 $λ$ 映射函数,计算内部。此外, $λ$ 参数初始化对传统价值0.0609,存储在最后一个元素的初始参数列向量。

最后,初始参数向量的元素相关的因素意味着仅仅是将样品通过OLS回归系数的平均值最初的两步方法的第一步。

A0 = EstMdlVAR.AR {1};%得到VAR(1)矩阵(存储单元阵列)A0 = A0 (:);%堆栈它columnwiseQ0 = EstMdlVAR.Covariance;%的VAR(1)协方差矩阵估计创新B0 = [sqrt (Q0 (1,1));0;0;√Q0 (2, 2);0;√Q0 (3、3)];H0 = x(残差);%样本协方差矩阵的VAR(1)残差D0 =√诊断接头(H0));% D矩阵对角化mu0 =意味着(beta)”;param0 = [A0;B0;D0;mu0;lambda0];

现在已经计算的初始值,设置一些优化参数和使用卡尔曼滤波器估计模型通过调用有关SSM函数估计。在这个例子中,协方差矩阵 $H = D D^{'}$ 是斜的,所以我们选择调用一系列多元的单变量治疗来提高估计的运行时性能。

选择= optimoptions (“fminunc”,“MaxFunEvals”,25000,“算法”,“拟牛顿”,…“TolFun”1 e-8“TolX”1 e-8“麦克斯特”,1000,“显示”,“关闭”);(EstMdlSSM, params) =估计(param0 Mdl,收益率,“显示”,“关闭”,…“选项”选项,“一元”,真正的);λ= params(结束);%得到估计的衰变率μ= params (end-3: end-1) ';%的估计系数的含义

参数估计结果的比较

现在比较结果从导弹的两步方法。除了提供一个密切的两种方法的结果一致,也给出了一个比较合适的两步的使用方法是提供所需的初始参数值估计导弹。

首先比较估计状态转移矩阵 $一个$ 有关SSM模型AR(1)系数矩阵获得的VAR模型。

dispvars = {“导弹状态转移矩阵(A):“;…”- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -”;…EstMdlSSM.A};cellfun (@disp dispvars)

舰导弹状态转移矩阵(A): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0.9944 0.0286 -0.0221 -0.0290 0.9391 0.0396 0.0253 0.0229 0.8415

dispvars = {“两步状态转移矩阵():“;…”- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -”;…EstMdlVAR.AR {1}};cellfun (@disp dispvars)

两步状态转移矩阵(A): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0.9901 0.0250 -0.0023 -0.0281 0.9426 0.0287 0.0518 0.0125 0.7881

密切注意结果一致。特别注意到大积极的对角元素,表明持续self-dynamics每个因素,同时小非对角元素,表明弱cross-factor动力学。

现在检查状态扰动载荷矩阵 $B$ 协方差矩阵并比较相应的创新 $问 = B B^{'}$ 获得有关SSM的创新VAR(1)模型的协方差。

dispvars = {“导弹状态扰动载荷矩阵(B):“;…“- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -”;…EstMdlSSM.B};cellfun (@disp dispvars)

舰导弹状态扰动载荷矩阵(B): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0.3076 0 0 0 0.1421 0.0255 0.8824 -0.0453 - 0.6170

dispvars = {“导弹状态干扰协方差矩阵(Q = BB”):“;…”- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -”;…EstMdlSSM。B* EstMdlSSM.B'}; cellfun(@disp,dispvars)

舰导弹状态干扰协方差矩阵(Q = BB”): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0.0946 -0.0139 0.0437 -0.0139 0.3827 0.0093 0.0437 0.0093 0.7995

dispvars = {“两步状态干扰协方差矩阵(问):“;…“- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -”;…EstMdlVAR.Covariance};cellfun (@disp dispvars)

两步状态干扰协方差矩阵(问):- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0.1149 -0.0266 -0.0719 -0.0266 0.3943 0.0140 -0.0719 0.0140 1.2152

注意,估计协方差矩阵在相对较近的协议,和估计方差增加我们从水平坡曲率沿主对角线。

最后,比较因素意味着获得有关SSM的两步方法。

dispvars = {“导弹因素的意思是:“;…“- - - - - - - - - - - - - - - - - -”;…μ};cellfun (@disp dispvars)

舰导弹因素意味着:- - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.0246 -1.4423 -0.4188

dispvars = {“两步因素的意思是:“;…“- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -”;…mu0 '};cellfun (@disp dispvars)

两个因素意味着:- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.3454 -1.5724 0.2030

在这种情况下,估计是在相对较近的协议和边坡因素水平,虽然曲率两种方法之间的不同。

推断出因素的比较

未被注意的因素,或潜伏状态,对应级别,斜率、曲率Diebold-Li模型的因素,主要关心的是在预测未来收益率曲线的演化。我们现在检查的状态推断从每个方法。

两步方法,潜州(因素)OLS回归系数估计的步骤。

舰导弹的方法,光滑的函数实现卡尔曼平滑t = 1, 2,…T平滑的状态被定义为

$E (x_{t} | y_{T}, 。。。, y_{1}]$

但是,在调用之前光滑的函数,回忆从上面的讨论,有关SSM框架必须占抵消调整期间观察到的收益估计。具体来说,在估计参数映射函数使原始观测,因此适用于offset-adjusted收益率 $y_{t}^{'} = y_{t} - - - - - - Λ μ$ 而不是原来的收益率。

此外,由于调整只有映射函数,知道估计SSM模型没有任何调整的显性知识的原始收益率。因此,其他相关导弹等功能过滤器,光滑的,预测,模拟必须正确地考虑任何补偿或回归组件与预测包含在观测方程。

因此,我们所说的光滑的函数来推断估计国家我们必须首先缩小原始收益率减去相关的拦截估计抵消, $C μ = Λ μ$ ,以补偿偏移量调整评估期间发生的。然而,美国然后推断出对应于泄气的收益率,而事实上我们感兴趣的实际状态(水平、坡度和曲率因素),而不是offset-adjusted同行。因此,平滑后,泄气的州通过添加估计意思是,必须重新调整 $μ$ 的因素。

紧缩的过程的观察,然后夸大美国放松的通货紧缩,是一个重要的但微妙的一点。

拦截= EstMdlSSM。C *亩”;deflatedYields = bsxfun (@minus,收益率,拦截”);deflatedStates =平滑(EstMdlSSM deflatedYields);estimatedStates = bsxfun (@plus deflatedStates,μ);

现在我们已经推断出美国,我们可以比较各个层面上,坡度和曲率因素来自导弹和两步方法。

首先检查水平,或长期因素。

图绘制(日期、[β(:1)estimatedStates(: 1)])标题(的水平(长期因素))ylabel (“百分比”)datetickx传奇({“两步”,”的状态空间模型},“位置”,“最佳”)

图包含一个轴。坐标轴标题水平(长期因素)包含2线类型的对象。这些对象代表了两步,状态空间模型。”width=

现在检查边坡,或短期因素。

图绘制(日期、[β(:,2)estimatedStates(:, 2)])标题(的斜率(短期因素))ylabel (“百分比”)datetickx传奇({“两步”,”的状态空间模型},“位置”,“最佳”)

图包含一个轴。轴与标题斜率(短期因素)包含2线类型的对象。这些对象代表了两步,状态空间模型。”width=

现在检查曲率,或中期因子,

图绘制(日期、[β(:,3)estimatedStates(:, 3)])标题(的曲率(中期因素))ylabel (“百分比”)datetickx传奇({“两步”,”的状态空间模型},“位置”,“最佳”)

图包含一个轴。标题的轴曲率(中期因子)包含2线类型的对象。这些对象代表了两步,状态空间模型。”width=

以及估计衰变率参数 $λ$ 与曲率有关。

dispvars = {“SSM衰变率(λ):“;…“- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -”;…λ};cellfun (@disp dispvars)

舰导弹衰变率(λ):- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0.0778

注意,估计衰变率参数比价值更大(0.0609)两步所使用的方法。

回想一下, $λ$ 决定了成熟的加载曲率是最大化。在两步方法 $λ$ 是固定在0.0609,反映出有些武断的决定最大曲率加载在2.5年(30个月)。相比之下,有关SSM估计的最大曲率装载仅发生在不到2年(23.1个月),可被策划曲率加载与每个价值相关联 $λ$ 。在这两种情况下,其hump-shaped行为作为成熟揭示了为什么曲率的函数被解释为一个中期因素。

τ= 0(1/12):马克斯(期限);%成熟度(个月)衰变= (lambda0λ);加载= 0(元素个数(τ),2);为i = 1:元素个数(τ)加载(我:)= ((1-exp(衰变*τ(我)))。/(衰变*τ(i)) exp(衰变*τ(我)));结束图绘制(τ,加载)标题(对曲率的加载(中期因素))包含(的期限(月))ylabel (“弯曲加载”)({传奇' \λ= 0.0609固定两步的,(‘\λ= 'num2str(λ)“估计SSM”}),“位置”,“最佳”)

$图包含一个轴。与标题加载轴曲率(中期因子)包含2线类型的对象。这些对象代表\λ= 0.0609固定由两步\λ= 0.077764估计导弹。”width=$

从上面的图表,我们可以看到,虽然这两种方法之间的差异存在,每种方法的因素来源于通常合理的协议。也就是说,一步SSM /卡尔曼滤波器的方法,同时在所有模型参数估计,优先。

最后分类性能比较,我们现在比较残差观测方程的均值和标准差的两种方法的方式类似于表2[2]。结果表示在基点(bps)。

在创建下面的表格,请注意状态测量灵敏度矩阵 $C$ 在有关SSM配方也是因子载荷矩阵 $Λ$ 中发现的[2]。

residualsSSM =收益率- estimatedStates * EstMdlSSM.C ';residuals2Step =收益率-β* X ';residualMeanSSM = 100 *意味着(residualsSSM) ';residualStdSSM = 100 *性病(residualsSSM)”;residualMean2Step = 100 *意味着(residuals2Step) ';residualStd2Step = 100 *性病(residuals2Step)”;dispvars = {“- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -”;…“两步”状态空间模型;…“- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -”;…“标准标准”;…“到期日”平均偏差平均偏差;…”(个月)(bps) (bps) (bps) (bps)”;…“- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -”;…(期限residualMeanSSM residualStdSSM residualMean2Step residualStd2Step]};cellfun (@disp dispvars)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -两步的状态空间模型- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -标准标准成熟度平均偏差平均偏差(月)(bps) (bps) (bps) (bps) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3.0000 -12.6440 22.3639 -7.3922 14.1709 6.0000 -1.3392 5.0715 2.1914 7.2895 9.0000 0.4922 8.1084 2.7173 11.4923 12.0000 1.3059 9.8672 2.5472 11.1200 15.0000 3.7130 8.7073 4.2189 9.0558 18.0000 3.5893 7.2946 3.5515 7.6721 21.0000 3.2308 6.5112 2.7968 7.2221 24.0000 -1.3996 6.3890 -2.1168 7.0764 30.0000 -2.6479 6.0614 -3.6923 7.0129 36.0000 -3.2411 6.5915 -4.4095 7.2674 48.0000 -1.8508 9.7019 -2.9761 10.6242 60.0000 -3.2857 8.0349 -4.2314 9.0296 72.0000 1.9737 9.1370 1.2238 10.3745 84.0000 0.6935 10.3689 0.1196 9.8012 96.0000 3.4873 9.0440 3.0626 9.1220 108.0000 4.1940 13.6422 3.8936 11.7942 120.0000 -1.3074 16.4545 -1.5043 13.3544

考试的上表显示,多发性骨髓瘤虽然并不总是比两步法期限,它提供了一个更好的适合最多中间期限从6到60个月。

预测和蒙特卡洛模拟

最后一个例子,我们现在强调最小均方误差(MMSE)预测和SSM的蒙特卡罗模拟功能的功能。

回想一下,自从Diebold-Li模型只取决于估计因素,收益率曲线预测的预测因素。然而,正如上面所讨论的,当预测或模拟收益率我们必须补偿偏移量调整在SSM估计,所以必须使用的放气产量估计为基础。

使用放气产量,我们现在所说的预测函数来计算泄气的MMSE预测收益率1,2,…,在未来12个月。然后实际预测收益率计算通过添加估计抵消 $C μ$ 泄气的同行。

注意,收益率曲线预测将有一行中每一个未来时期预测地平线在这个例子中(12)和一个列每个成熟度在每个收益率曲线(在本例中17日)。

地平线= 12;%预测地平线(个月)[forecastedDeflatedYields, mse] =预测(EstMdlSSM,地平线,deflatedYields);forecastedYields = bsxfun (@plus forecastedDeflatedYields,拦截”);

现在确定的MMSE预测计算使用预测功能,我们现在说明相同的结果可能近似使用模拟函数。

之前进行蒙特卡罗模拟,然而,我们必须先初始化均值向量和协方差矩阵的初始状态(因素)的安装SSM模型,确保仿真始于最近的信息。要做到这一点,下面的代码段调用光滑的函数来获得平滑的州通过向后递归。

从以下步骤初始化安装均值和协方差,可用历史数据集的最后,平滑的状态光滑的从整个数据集函数,使用信息,相当于国家过滤得到的过滤器函数,只使用信息之前最后的观察。

[~,~,结果]=光滑(EstMdlSSM deflatedYields);也可以使用%的过滤器EstMdlSSM。.SmoothedStates Mean0 =结果(结束);%初始化的意思.SmoothedStatesCov cov0 =结果(结束);EstMdlSSM。Cov0 = (cov0 + cov0')/2;%初始化协方差

现在,最初的均值和协方差的州已经设置,通过蒙特卡罗模拟计算样本外预测。

在以下代码段,每个样本路径代表未来的演化模拟收益率曲线预测的时间跨度超过12个月。模拟重复100000次。

在某种程度上类似于预测计算之前,收益率曲线模拟矩阵每一行未来时期预测地平线在这个例子中(12),和一个列成熟度(在本例中17日)。然而,在与MMSE预测矩阵,收益率曲线模拟矩阵三维存储100000模拟路径。

再次注意,泄气的收益率实际上是模拟,然后进行后期处理补偿考虑因素。

rng (“默认”)nPaths = 100000;simulatedDeflatedYields =模拟(EstMdlSSM,地平线,nPaths);simulatedYields = bsxfun (@plus simulatedDeflatedYields,拦截”);

现在收益率模拟,计算100000次试验的样本均值和标准偏差。这些统计数据是患者的样本模拟预测和标准错误。为了方便样本均值和标准差的计算,模拟收益率的矩阵重新定购商品,这样它现在有100000行,12列,17页。

simulatedYields =排列(simulatedYields [3 1 2]);%重新订货为了方便预测= 0(地平线,元素个数(期限));standardErrors = 0(地平线,元素个数(期限));为i = 1:元素个数(期限)预测(:,i) =意味着(simulatedYields(:,:我));standardErrors (:, i) =性病(simulatedYields(:,:我));结束

现在在视觉上比较患者的预测和相应的标准错误得到的预测随着这些获得的功能模拟通过蒙特卡罗函数。结果是几乎相同的。

图绘制(期限,预测(地平线,:)“forecastedYields(地平线,:)))标题(“12-Month-Ahead预测:蒙特卡罗与MMSE”)包含(的期限(月))ylabel (“百分比”)({传奇“蒙特卡罗”,最小均方误差的},“位置”,“最佳”)

图包含一个轴。坐标轴标题12-Month-Ahead预测:蒙特卡罗与MMSE包含2线类型的对象。这些对象代表蒙特卡罗,最小均方误差。”width=

图绘制(期限,[standardErrors(地平线,:)“sqrt (mse(地平线,:))))标题(“12-Month-Ahead预测标准误差:蒙特卡罗与MMSE”)包含(的期限(月))ylabel (“百分比”)({传奇“蒙特卡罗”,最小均方误差的},“位置”,“最佳”)

图包含一个轴。坐标轴标题12-Month-Ahead预测标准误差:蒙特卡罗与MMSE包含2线类型的对象。这些对象代表蒙特卡罗,最小均方误差。”width=

当然,蒙特卡罗模拟的额外的好处是,它允许一个更详细的分析之外的收益率分布的均值和标准误差,进而提供了额外的洞察,分布如何影响其他变量的分布依赖于它。例如,在保险行业收益率曲线的模拟是常用来评估利润和损失的分布与年金和养老合同。

下面的代码段显示分布的模拟12个月收益率在一个,六个,未来12个月,类似于精神的预测实验表4 - 6所示[1]。

index12 =找到(期限= = 12);%的索引页12个月的收益垃圾箱= 0:0.2:12;图次要情节(3、1、1)直方图(simulatedYields (:, 1, index12),垃圾箱,“归一化”,“pdf”)标题(12个月的收益率的概率密度函数)包含(的收益率在未来1个月(%)'次要情节(3、1、2)直方图(simulatedYields(:, 6日index12),垃圾箱,“归一化”,“pdf”)包含(未来6个月的收益率(%)')ylabel (“概率”次要情节(3,1,3)直方图(simulatedYields(:, 12日index12),垃圾箱,“归一化”,“pdf”)包含(的收益率在未来12个月(%)')

图包含3轴。轴1标题概率密度函数的12个月的收益包含一个直方图类型的对象。轴2包含一个直方图类型的对象。轴3包含一个直方图类型的对象。”width=

总结

线性是一个离散时间状态空间模型,随机模型与两个方程,一个状态方程,描述了未被注意的潜伏状态的过渡,和一个观测方程将美国与观测数据和描述一个观察者间接措施的过程在每一个时期。

这个例子中制定流行产量也仅仅在整数阶Diebold-Li期限结构模型,从收益率曲线的时间序列推断潜伏状态,以确定潜在因素推动利率的进化。Diebold-Li模型是一个动态的模型有三个因素,新的见解的因素的解释水平,坡度和曲率。

上面所示的例子说明了Diebold-Li模型映射到一种适合通过地对地导弹的功能与计量经济学建模工具箱,然后进一步说明了参数估计,平滑,预测和蒙特卡罗模拟功能。

引用

[1]Diebold, F.X.和c·李。”预测政府债券收益率的期限结构。”计量经济学杂志。2号卷。130年,2006年,页337 - 364。

[2]Diebold, f . X。,G. D. Rudebusch, and B. Aruoba (2006), "宏观经济和收益率曲线:一个动态的潜在因素的方法。”计量经济学杂志》上。131卷,2006年,页309 - 338。

[3]纳尔逊,r . C。,一个。F. Siegel. "Parsimonious Modeling of Yield Curves."商业杂志》上。60卷,第4期,1987年,页473 - 489。