Compare`paretosearch`和`gamultiobj.`

打开直播脚本

此示例显示如何使用两者在Pareto正面创建一组点paretosearch和gamultiobj.。目标函数有两个目标和二维控制变量x。目标职能mymulti3在您的Matlab®会话中可用，当您单击按钮编辑或尝试此示例时。或者，复制mymulti3code to your session. For speed of calculation, the function is vectorized.

typemymulti3

function f = mymulti3(x) % f(:,1) = x(:,1).^4 + x(:,2).^4 + x(:,1).*x(:,2) - (x(:,1).^2).*(x(:,2).^2) - 9*x(:,1).^2; f(:,2) = x(:,2).^4 + x(:,1).^4 + x(:,1).*x(:,2) - (x(:,1).^2).*(x(:,2).^2) + 3*x(:,2).^3;

Basic Example and Plots

Find Pareto sets for the objective functions usingparetosearch和gamultiobj.。Set theUseVectorizedoption to真的增加速度。包括可视化Pareto集的绘图功能。

rng.defaultnvars = 2;opts = Optimoptions（@gamultiobj，'UseVectorized',true,'plotfcn','gaplotpareto'）;[xga,fvalga,~,gaoutput] = gamultiobj(@(x)mymulti3(x),nvars,[],[],[],[],[],[],[],opts);

Optimization terminated: average change in the spread of Pareto solutions less than options.FunctionTolerance.

图遗传算法包含轴对象。带有标题帕累托前线的轴对象包含类型线的对象。

optsp = optimoptions('paretosearch','UseVectorized',true,'plotfcn'，{'psplotparetof''psplotparetox'}）;[xp，fvalp，〜，psOutput] = paretosearch（@（x）mymulti3（x），nvars，[]，[]，[]，[]，[]，[]，[]，OPTSP）;

发现帕累托集，满足了约束。优化完成，因为帕累托集的卷的相对变化小于'选项.PartetosetchangeTolerance'，并满足于“选项”中的约束。

Figure paretosearch contains 2 axes objects. Axes object 1 with title Pareto Front contains an object of type line. Axes object 2 with title Parameter Space contains an object of type line.

通过使用计算Pareto前面的理论上精确点mymulti4。这mymulti4在MATLAB会话中可用功能在您单击按钮以编辑或尝试此示例。

typemymulti4

功能城市= mymulti4 (x) % gg = [4 * x (1) ^ 3 + x (2) -2*x(1)*(x(2)^2) - 18*x(1); x(1)+4*x(2)^3-2*(x(1)^2)*x(2)]; gf = gg + [18*x(1);9*x(2)^2]; mout = gf(1)*gg(2) - gf(2)*gg(1);

这mymulti4function evaluates the gradients of the two objective functions. Next, for a range of values ofx(2), useFzero.找到渐变正好并行的点，这是输出的位置mout= 0.

a = [fzero（@（t）mymulti4（[t，-3.15]），[2,3]）， -  3.15];forJJ = Linspace（-3.125，-1.89,50）a = [a; [fzero（@（t）mymulti4（[t，jj]），[2,3]），JJ]];endfigure plot(fvalp(:,1),fvalp(:,2),'博'）;抓住在fs = mymulti3（a）;情节（Fvalga（：，1），Fvalga（:,2），'r *'）;绘图（FS（：，1），FS（:,2），'k。') legend('paretosearch','Gamultiobj','True'）Xlabel（'Objective 1'）ylabel（'Objective 2'） 抓住离开

图包含轴对象。轴对象包含3个类型线的对象。这些对象代表paretosearch，gamultiobj，true。

gamultiobj.在客观函数空间中找到略微更宽的点。绘制判定变量中的解金宝搏官方网站决方案，以及理论最优帕累托曲线和两个目标函数的轮廓图。

(x, y) = meshgrid(1.9: .01:3.1, -3.2:幅:-1.8);mydata = mymulti3([x(:),y(:)]); myff = sqrt(mydata(:,1) + 39);% Spaces the contours bettermygg = sqrt(mydata(:,2) + 28);% Spaces the contours bettermyff = reshape(myff,size(x)); mygg = reshape(mygg,size(x)); figure; hold在轮廓（x，y，mygg，50）轮廓（x，y，myff，50）绘图（xp（：，1），xp（:,2），'博') plot(xga(:,1),xga(:,2),'r *') plot(a(:,1),a(:,2),'-k'）Xlabel（'x（1）'）ylabel（'x（2）'） 抓住离开

图包含轴对象。这axes object contains 5 objects of type contour, line.

不像paretosearchsolution, thegamultiobj.solution has points at the extreme ends of the range in objective function space. However, theparetosearch解决方案具有更多的点，该点更接近客观函数空间和决策变量空间中的真实解决方案。在使用默认选项时，每个求解器的Pareto前面的点数不同。

Shifted Problem

What happens if the solution to your problem has control variables that are large? Examine this case by shifting the problem variables. For an unconstrained problem,gamultiobj.可能会失败，而且paretosearchis more robust to such shifts.

更容易比较，为每个求解器指定帕累托前面的35分。

Shift = [20，-30];fun = @（x）mymulti3（x + shift）;选择.Populationsize = 100;% opts.ParetoFraction = 35[xgash,fvalgash,~,gashoutput] = gamultiobj(fun,nvars,[],[],[],[],[],[],opts);

Optimization terminated: average change in the spread of Pareto solutions less than options.FunctionTolerance.

图遗传算法包含轴对象。带有标题帕累托前线的轴对象包含类型线的对象。

gamultiobj.fails to find a useful Pareto set.

optsp.plotfcn = [];optsp.paretosetsize = 35;[xpsh，fvalpsh，〜，pshoutput] = paretosearch（fun，nvars，[]，[]，[]，[]，[]，[]，[]，OPTSP）;

发现帕累托集，满足了约束。优化完成，因为帕累托集的卷的相对变化小于'选项.PartetosetchangeTolerance'，并满足于“选项”中的约束。

figure plot(fvalpsh(:,1),fvalpsh(:,2),'博'）;抓住在绘图（FS（：，1），FS（:,2），'k。') legend('paretosearch','True'）Xlabel（'Objective 1'）ylabel（'Objective 2'） 抓住离开

图包含轴对象。这axes object contains 2 objects of type line. These objects represent Paretosearch, True.

paretosearchfinds solution points spread evenly over nearly the entire possible range.

添加界限，甚至相当松散，有助于两者gamultiobj.和paretosearchto find appropriate solutions. Set lower bounds of-50in each component, and upper bounds of50。

opts.plotfcn = [];optsp.plotfcn = [];lb = [-50，-50];UB = -LB;[xgash，fvalgash，〜，gashoutput] = gamultiobj（有趣，nvars，[]，[]，[]，[]，LB，UB，OPTS）;

Optimization terminated: average change in the spread of Pareto solutions less than options.FunctionTolerance.

[xpsh2，fvalpsh2，〜，pshoutput2] = paretosearch（fun，nvars，[]，[]，[]，[]，LB，UB，[]，OPTSP）;

发现帕累托集，满足了约束。优化完成，因为帕累托集的卷的相对变化小于'选项.PartetosetchangeTolerance'，并满足于“选项”中的约束。

figure plot(fvalpsh2(:,1),fvalpsh2(:,2),'博'）;抓住在绘图（FVALGASH（：，1），FVALGASH（:,2），'r *'）;绘图（FS（：，1），FS（:,2），'k。') legend('paretosearch','Gamultiobj','True'）Xlabel（'Objective 1'）ylabel（'Objective 2'） 抓住离开

图包含轴对象。轴对象包含3个类型线的对象。这些对象代表paretosearch，gamultiobj，true。

In this case, both solvers find good solutions.

Start`paretosearch`从`gamultiobj.`解决方案

Obtain a similar range of solutions from the solvers by startingparetosearch来自gamultiobj.解决方案。

optsp.initialpoints = xgash;[xpsh3，fvalpsh3，〜，pshoutput3] = paretosearch（fun，nvars，[]，[]，[]，[]，LB，UB，[]，OPTSP）;

发现帕累托集，满足了约束。优化完成，因为帕累托集的卷的相对变化小于'选项.PartetosetchangeTolerance'，并满足于“选项”中的约束。

figure plot(fvalpsh3(:,1),fvalpsh3(:,2),'博'）;抓住在绘图（FVALGASH（：，1），FVALGASH（:,2），'r *'）;绘图（FS（：，1），FS（:,2），'k。') legend('paretosearch','Gamultiobj','True'）Xlabel（'Objective 1'）ylabel（'Objective 2'） 抓住离开

图包含轴对象。轴对象包含3个类型线的对象。这些对象代表paretosearch，gamultiobj，true。

Now theparetosearchsolution is similar to thegamultiobj.solution, although some of the solution points differ.

从单目标解决方案开始金宝搏官方网站

Another way of obtaining a good solution is to start from the points that minimize each objective function separately.

From the multiobjective function, create a single-objective function that chooses each objective in turn. Use the shifted function from the previous section. Because you are giving good start points to the solvers, you do not need to specify bounds.

nobj = 2;％目标数量x0 = -shift;% Initial point for single-objective minimizationuncmin = cell（nobj，1）;% Cell array to hold the single-objective minimaAllfuns = Zeros（Nobj，2）;% Hold the objective function valuesEFLAG = Zeros（Nobj，1）;fopts = Optimoptions（'patternsearch','展示','离开'）;% Use an appropriate solver herefori = 1：nobj indi = zeros（nobj，1）;% Choose the objective to minimizeIndi（i）= 1;Funi = @（x）点（乐趣（x），Indi）;[undmin {i}，〜，eflag（i）] = patternsearch（funi，x0，[]，[]，[]，[]，[]，[]，[]，FOPT）;% Minimize objective iallfuns(i,:) = fun(uncmin{i});enduncmin = cell2mat(uncmin);％起点矩阵

Startparetosearch从单个客观的最低点，请注意，它在其解决方案中具有全方位。金宝搏官方网站paretosearch将随机初始点添加到所提供的点，以便至少有人口options.ParetoSetSizeindividuals. Similarly,gamultiobj.将随机点添加到所提供的点以获得至少的人口(options.PopulationSize)*(options.ParetoFraction)individuals.

Optsp = Optimoptions（Optsp，'InitialPoints'，肆意）;[Xpinit，Fvalpinit，〜，Outputpinit] = Paretosearch（Fun，NVARS，[]，[]，[]，[]，[]，[]，[]，OPTSP）;

发现帕累托集，满足了约束。优化完成，因为帕累托集的卷的相对变化小于'选项.PartetosetchangeTolerance'，并满足于“选项”中的约束。

Now solve the problem usinggamultiobj.starting from the initial points.

opts = optimoptions(opts,'InitialPopulationMatrix'，肆意）;[xgash2,fvalgash2,~,gashoutput2] = gamultiobj(fun,nvars,[],[],[],[],[],[],opts);

Optimization terminated: average change in the spread of Pareto solutions less than options.FunctionTolerance.

图绘图（fvalpinit（：，1），fvalpinit（:,2），'博'）;抓住在plot(fvalgash2(:,1),fvalgash2(:,2),'r *'）;绘图（FS（：，1），FS（:,2），'k。'）绘图（Allfuns（：，1），Allfuns（:,2），'gs','MarkerSize',12) legend('paretosearch','Gamultiobj','True','开始点'）Xlabel（'Objective 1'）ylabel（'Objective 2'） 抓住离开

图包含轴对象。轴对象包含4个类型的4个对象。这些对象代表paretosearch，gamultiobj，true，起点。

两个求解器都填充了极端点之间的帕累托前部，具有合理准确和间隔良好的解决方案。金宝搏官方网站

View the final points in decision variable space.

figure; hold在xx = X  -  Shift（1）;yy = y  -  shift（2）;轮廓（xx，yy，mygg，50）轮廓（xx，yy，myff，50）绘图（xpinit（：，1），xpinit（:,2），'博') plot(xgash2(:,1),xgash2(:,2),'r *') ashift = a - shift; plot(ashift(:,1),ashift(:,2),'-k'）情节（贸易委员会（：，1），unclmin（:,2），'gs','MarkerSize'，12）;Xlabel（'x（1）'）ylabel（'x（2）'） 抓住离开