一个具有单一非光滑点的函数

这个函数 $$F（X）=||X|{|}^{1/2}$$在点0处是不光滑的，这是最小值点。这是一个使用矩阵规范对于4-D点 $\left[\begin{array}{cc}X（1）& X（2）\\ 0.& 0.\end{array}\right]$．

图x = linspace（-5,5,51）;[xx，yy] = meshgrid（x）;zz = zeros（尺寸（xx））;为了II = 1：长度（x）为了jj = 1:长度(x) zz ii, jj =√(规范([xx (ii, jj), yy (ii, jj), 0, 0)));结尾结尾冲浪（XX，YY，ZZ）Xlabel（“x”(1)) ylabel (“x”(2))标题('常态（[x（1），x（2）; 0,0]）^ {1/2}'）

此示例使用2×6矩阵的矩阵标准X．矩阵范数与奇异值分解有关，它不像欧几里得范数那样光滑。看2-Norm矩阵．

最小化使用patternsearch

patternsearch是推荐的第一求解器，用于尝试非现场问题。看选择求解器的表格．开始patternsearch从一个非0的2 × 6矩阵X0.，并尝试找到最少的 $$F$$．对于此尝试，以及所有其他尝试，请使用默认的求解器选项。

返回接近于零的解，目标函数值，也应该接近于零，以及进行的函数计算的次数。

有趣= @ (x)规范([x (1:6); (7:12))) ^ (1/2);x0 = (1:6; 7:12);rng默认x0 = x0 + rand（size（x0））

X0 =2×61.8147 2.1270 3.6324 4.2785 5.9575 6.1576 7.9058 8.9134 9.0975 10.5469 11.9649 12.9706

(xps、fvalps eflagps outputps] = patternsearch(有趣,x0);

优化终止:网孔尺寸小于选项。网孔公差。

xps、fvalps eflagps outputps.funccount

XPS =2×610.－4× 0.1116 -0.1209 0.3503 -0.0520 -0.1270 0.2031 -0.3082 -0.1526 0.0623 0.0652 0.4479 0.1173

fvalps = 0.0073

EFLAGPS = 1

ANS = 10780.

patternsearch达到一个良好的解决方案，如退出标志1所示。但是，它需要超过10,000个功能评估来融合。

最小化使用fminsearch.

文件指出fminsearch.有时可以处理不连续性，所以这是一个合理的选择。

(广播xfm fvalfms、eflagfms outputfms] = fminsearch(有趣,x0);

退出:已超过最大函数计算数-增加maxfuneval选项。当前函数值:3.197063

XFMS，FVALFMS，EFLAGFM，OutputFMS.Funccount

XFMS =2×62.2640 1.1747 9.0693 8.1652 1.7367 -1.2958 3.7456 1.2694 0.2714 -3.7942 3.8714 1.9290

FVALFMS = 3.1971.

eflagfms = 0

ans = 2401

使用默认选项,fminsearch.在它收敛到一个解之前用完函数计算。退出标志0表示缺乏收敛。报道的解决方案很差。

使用partminleswarm.

partminleswarm.建议作为下一个求解器尝试。看选择求解器之间的索音问题．

[XPSW，FVALPSW，EFL​​AGPSW，OUTPUTPSW] = ParticleSwarm（Fun，12）;

优化结束:在最后一个选项中客观值的相对变化。MaxStallIterations迭代比OPTIONS.FunctionTolerance小。

xpsw、fvalpsw eflagpsw outputpsw.funccount

xpsw =1×1210.-12× -0.0386 - 0.01282 -0.0560 - 0.0904 - 0.0771 -0.0541 -0.1189 0.1290 -0.0032 0.0165 0.0728 -0.0026

fvalpsw = 4.5222 e-07

EFLAGPSW = 1

ans = 37200

partminleswarm.找到了比patternsearch，但需要超过35,000个函数计算。退出标志1表示该解决方案是好的。

使用GA.

GA.是一个受欢迎的求解器，但不建议作为第一个尝试的求解器。看看它对这个问题有多好。

[XGA，FVALGA，EFLAGGA，Outputga] = GA（乐趣，12）;

优化终止:平均变化的适应度值小于选项。功能公差。

xga、fvalga eflagga outputga.funccount

XGA =1×12-0.0061 -0.0904 0.0816 -0.0484 0.0799 -0.1925 0.0048 0.3581 0.0848 0.0232 0.0237 -0.1294

fvalga = 0.6257

EFLAGGA = 1

ans = 65190

GA.没有找到良好的解决方案patternsearch或partminleswarm.，并大约需要两倍的函数评估partminleswarm.．在这种情况下，退出标志1具有误导性。

使用Fminunc.从优化工具箱

Fminunc.不推荐用于非光驱功能。看看它是如何执行这个的。

[xfmu，fvalfmu，eflagfmu，outputfmu] = fminunc（fun，x0）;

局部最小值。Fminunc停止是因为当前步长小于步长公差值。

XFMU，FVALFMU，EFLAGFMU，OUTPORFMU.FUNCCOUNT

xfmu =2×6-0.5844 -0.9726 -0.4356 0.1467 0.3263 -0.1002 -0.0769 -0.1092 -0.3429 -0.6856 -0.7609 -0.6524

fvalfmu = 1.1269

EFLAGFMU = 2

ans = 429.

这Fminunc.解决的不如解决的好GA.解决方案。然而，Fminunc.在相对较少的函数评估中得到相当差的解决方案。退出标志2意味着您应该注意，报告的解决方案不满足一阶最优性条件。

使用粉刺从优化工具箱

粉刺有时可以最小化非光滑函数。看看它是如何执行这个的。

[XFMC，FVALFMC，EFLAGFMC，OutputFMC] = Fmincon（乐趣，X0）;

局部最小值。约束满足。Fmincon停止，因为当前步骤的大小小于步长的值，但是在约束公差的值内满足约束。

XFMC，FVALFMC，EFLAGFMC，OUTPUTFMC.FUNCCOUNT

XFMC =2×610.-10×-0.1407 0.8738 0.9526 0.5668 0.8921 0.6830 0.4008 -0.1290 0.0410 -0.6440 0.0190 -0.2374

fvalfmc = 1.3212 e-05

EFLAGFMC = 2

ans = 863

粉刺默认选项后，在少于1000个功能评估后会产生准确的解决方案。退出标志2并不意味着解决方案是不准确的，但不满足一阶的最优性条件。这是因为解决方案在目标函数的梯度不为零。

结果摘要

选择合适的求解器导致更好，结果更快。本摘要显示了结果如何存在。解决方案质量是“可怜的”如果目标函数值大于0.1，‘好’如果小于0.01，则'平庸'除此以外。

求解器= {'patternsearch';“fminsearch”;'particleswarm';'ga';'fminunc';“fmincon”};SolutionQuality = {‘好’;“可怜的”;‘好’;“可怜的”;“可怜的”;‘好’};FVal = [fvalps fvalfms、fvalpsw fvalga, fvalfmu, fvalfmc) ';NumEval = [outputps.funccount outputfms.funcCount outputpsw.funccount,......outputga.funccount、outputfmu.funcCount outputfmc.funcCount]”;结果=表(解算器,SolutionQuality、FVal NumEval)

结果=6×4表解算器SolutionQuality FVal NumEval  _________________ _______________ __________ _______ {' patternsearch}{‘好’}0.0072656 10780{‘fminsearch}{“贫穷”}2401 - 3.1971{‘particleswarm}{‘好’}4.5222 e-07 37200 {ga的}{“贫穷”}65190 - 0.62572{‘fminunc}{“贫穷”}429 - 1.1269{‘fmincon}{‘好’}1.3212 e-05 863

结果的另一个看法。

图保存在为了II = 1：长度（FVAL）CLR = RAND（1,3）;绘图（Numeval（II），FVAL（II），“o”那“MarkerSize”10，“MarkerEdgeColor”，clr，'markerfacecolor'，clr）文本（Numeval（ii），fval（ii）+ 0.2，solver {II}，“颜色”, clr);结尾ylabel ('fval')包含('numeval')标题(“由求解器报告的最小值和评估”)举行从

而partminleswarm.实现最低的目标函数值，它通过占用三倍多的函数评估而这样做patternsearch，超过30倍粉刺．

粉刺通常不推荐用于非本地问题。在这种情况下它是有效的，但这种情况只有一个非空间点。