偏微分方程工具箱解决形式的标量方程gydF4y2Ba
和这种形式的特征值方程gydF4y2Ba
对于标量偏微分方程,对于每个边或面的边界条件有两种选择:gydF4y2Ba
狄利克雷-在边缘或面上,解决方法gydF4y2BaugydF4y2Ba满足的方程gydF4y2Ba
胡gydF4y2Ba=gydF4y2BargydF4y2Ba,gydF4y2Ba
在哪里gydF4y2BahgydF4y2Ba和gydF4y2BargydF4y2Ba可以是空间函数(gydF4y2BaxgydF4y2Ba,gydF4y2BaygydF4y2Ba,在三维情况下,gydF4y2BazgydF4y2Ba),解决方案gydF4y2BaugydF4y2Ba,和时间。通常,您需要gydF4y2BahgydF4y2Ba= 1,并设置gydF4y2BargydF4y2Ba到适当的值。gydF4y2Ba
广义诺伊曼边界条件-对边或面解gydF4y2BaugydF4y2Ba满足的方程gydF4y2Ba
是向外单位正常。gydF4y2Ba问gydF4y2Ba和gydF4y2BaggydF4y2Ba∂Ω上定义的函数,可以是函数吗gydF4y2BaxgydF4y2Ba,gydF4y2BaygydF4y2Ba,在三维情况下,gydF4y2BazgydF4y2Ba,解决方案gydF4y2BaugydF4y2Ba,对于与时间相关的方程,是时间。gydF4y2Ba
这个工具箱还能解这种形式的方程组gydF4y2Ba
和这种形式的特征值系统gydF4y2Ba
偏微分方程的系统gydF4y2BaNgydF4y2Ba组件gydF4y2BaNgydF4y2Ba耦合偏微分方程与耦合边界条件。标量偏微分方程是gydF4y2BaNgydF4y2Ba= 1gydF4y2Ba,表示只有一个PDE。偏微分方程系统通常意味着gydF4y2BaNgydF4y2Ba> 1gydF4y2Ba.文档有时将系统称为多维偏微分方程或具有矢量解的偏微分方程gydF4y2BaugydF4y2Ba.在所有情况下,PDE系统都有一个单一的几何结构和网格。只有gydF4y2BaNgydF4y2Ba,可以变化的方程的数量。gydF4y2Ba
系数gydF4y2Ba米gydF4y2Ba,gydF4y2BadgydF4y2Ba,gydF4y2BacgydF4y2Ba,gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba,gydF4y2BafgydF4y2Ba可以是位置(gydF4y2BaxgydF4y2Ba,gydF4y2BaygydF4y2Ba在3d中,gydF4y2BazgydF4y2Ba),并且,除了特征值问题外,它们也可以是解的函数gydF4y2BaugydF4y2Ba或其梯度。对于特征值问题,系数不能依赖于解gydF4y2BaugydF4y2Ba
或其梯度。gydF4y2Ba
对于标量方程,所有的系数,除了gydF4y2BacgydF4y2Ba是标量。的系数gydF4y2BacgydF4y2Ba表示二维几何中的2 × 2矩阵,或三维几何中的3 × 3矩阵。对系统的gydF4y2BaNgydF4y2Ba方程的系数gydF4y2Ba米gydF4y2Ba,gydF4y2BadgydF4y2Ba,gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba是gydF4y2BaNgydF4y2Ba——- - - - - -gydF4y2BaNgydF4y2Ba矩阵,gydF4y2BafgydF4y2Ba是一个gydF4y2BaNgydF4y2Ba1向量,gydF4y2BacgydF4y2Ba是一个2gydF4y2BaNgydF4y2Ba2gydF4y2BaNgydF4y2Ba张量(二维几何)或3gydF4y2BaNgydF4y2Ba3gydF4y2BaNgydF4y2Ba张量(3 d几何)。为了…的意义gydF4y2Ba ,请参阅gydF4y2Bac具体系数的系数gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
当两个gydF4y2Ba米gydF4y2Ba和gydF4y2BadgydF4y2Ba是gydF4y2Ba0gydF4y2Ba
,偏微分方程是静止的。当gydF4y2Ba米gydF4y2Ba或gydF4y2BadgydF4y2Ba是非零的,这个问题是与时间相关的。任何系数都取决于解gydF4y2BaugydF4y2Ba或者说它的梯度,这个问题叫做非线性问题。gydF4y2Ba
对于偏微分方程系统,有Dirichlet和Neumann边界条件的广义版本:gydF4y2Ba
胡gydF4y2Ba=gydF4y2BargydF4y2Ba代表一个矩阵gydF4y2BahgydF4y2Ba乘以解向量gydF4y2BaugydF4y2Ba,等于这个向量gydF4y2BargydF4y2Ba.gydF4y2Ba
.对于二维系统,这个符号gydF4y2Ba 意味着gydF4y2BaNgydF4y2Ba带(的- × 1矩阵gydF4y2Ba我gydF4y2Ba1)分gydF4y2Ba
边界的向外法向量在哪里gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
对于三维系统,这个符号gydF4y2Ba 意味着gydF4y2BaNgydF4y2Ba- × 1向量gydF4y2Ba我gydF4y2Ba1)分gydF4y2Ba
边界的向外法向量在哪里gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
对于每个边或面段,总共有gydF4y2BaNgydF4y2Ba边界条件。gydF4y2Ba