拉普拉斯算子的特征值
这个例子展示了如何求解l形区域上拉普拉斯算子的特征值问题。
膜的问题
考虑一个固定在边界的膜 一个地区的 在平面上。它的位移 是由特征值问题描述的 ,在那里 是拉普拉斯算子和 是标量参数。边界条件是 对所有 。
拉普拉斯算子是自伴随的负定的,也就是说,只有实的负特征值 存在。存在一个最大(负)离散本征值,对应的本征函数 叫做基态。在这个例子中, 为l型区域,与该区域相关的基态为l型膜,即MATLAB®标志。
九点有限差分逼近
特征值问题最简单的方法是近似拉普拉斯算子
通过有限差分近似(a钢网)在一个由点和距离组成的方格网格上hx
在
方向和距离沪元
在
方向。在这个例子中,近似
用求和S_h
由中点周围的九个常规网格点组成
。未知量是权重
。
信谊u (x, y)每股收益a11a10a1_1a01a00a0_1a_11a_10a_1_1信谊hx沪元积极的S_h = a_11 * u(x - Eps*hx,y + Eps*hy) +…a01 * u(x,y + Eps*hy) +…a11 * u(x + Eps*hx,y + Eps*hy) +…a_10 * u(x - Eps*hx,y) +…A00 * u(x,y) +…a10 * u(x + Eps*hx,y) +…a_1_1* u(x - Eps*hx,y - Eps*hy) +…a0_1 * u(x,y - Eps*hy) +…a1_1 * u(x + Eps*hx,y - Eps*hy);
使用符号参数每股收益
对这个表达式的幂展开进行排序hx
和沪元
。知道了权重,你可以通过设置来近似拉普拉斯Eps = 1
。
t = taylor(S_h, Eps,“秩序”7);
使用多项式系数
函数来提取具有相同幂的项的系数每股收益
。每个系数都是包含幂的表达式hx
,沪元
的导数。u
关于
和
。自S_h
代表
的所有其他导数的系数u
必须是零。通过替换所有的导数来提取系数u
,除了
和
,除以0。取代
和
1。这将泰勒展开简化为您想要计算的系数,并导致以下六个线性方程。
C =公式(coeffs(t, Eps,“所有”));eq0 = subs(C(7),u(x,y),1) == 0;eq11 =潜艇(C (6), (diff (u, x) diff (u, y)], [1,0]) = = 0;eq12 =潜艇(C (6), (diff (u, x) diff (u, y)], [0,1]) = = 0;eq21 =潜艇(C (5), (diff (u, x, x) diff (u, x, y), diff (u, y, y)], [1, 0, 0)) = = 1;eq22 =潜艇(C (5), (diff (u, x, x) diff (u, x, y), diff (u, y, y)], [0, 1,0]) = = 0;eq23 =潜艇(C (5), (diff (u, x, x) diff (u, x, y), diff (u, y, y)], [0, 0, 1]) = = 1;
因为有9个未知权重S_h
,通过要求的所有三阶导数来添加进一步的方程u
都是0。
eq31 =潜艇(C (4), (diff (u, x, x, x), diff (u, x, x, y), diff (u, x, y, y) diff (u, y, y, y)], [1, 0, 0, 0) = = 0;eq32 =潜艇(C (4), (diff (u, x, x, x), diff (u, x, x, y), diff (u, x, y, y) diff (u, y, y, y)], [0 1 0,0]) = = 0;eq33 =潜艇(C (4), (diff (u, x, x, x), diff (u, x, x, y), diff (u, x, y, y) diff (u, y, y, y)], [0, 0, 1, 0]) = = 0;eq34 =潜艇(C (4), (diff (u, x, x, x), diff (u, x, x, y), diff (u, x, y, y) diff (u, y, y, y)], [0, 0, 0, 1]) = = 0;
为9个未知权重解出结果的10个方程。使用ReturnConditions
求包含任意参数的所有解。金宝搏官方网站
(a11 a10, a1_1、a01 a00、a0_1, a_11, a_10, a_1_1,参数、条件)=…解决([eq0, eq11、eq12 eq21, eq22, eq23, eq31, eq32, eq33, eq34),…(a11 a10, a1_1、a01 a00、a0_1, a_11, a_10, a_1_1),…“ReturnConditions”,真正的);扩大([a_11 a01, a11;…a_10、a00 a01;…a1_1、a0_1 a_1_1])
ans =
参数
参数=
使用潜艇
函数将权重替换为其计算值。
C =简化(subs(C));
的表情C (7)
,C (6)
,C (4)
包含的0阶,一阶,三阶导数u
消失。
[c (7), c (6), c (4)]
ans =
表达式C (5)
的拉普拉斯式是什么u
。
C (5)
ans =
因此,有了上面计算的权重值,模具S_h
使拉普拉斯近似符合顺序hx ^ 2
,hy ^ 2
对于任意参数的任意值z
,条件是z
被选择是有秩序的O (1 / hx ^ 2, 1 / hy ^ 2)
。
包含四阶和更高阶导数的术语
尽管该解决方案包含一个自由参数z
,表达式C (3)
的四阶导数u
不能由一个合适的选择变成零z
。另一种选择是把它变成拉普拉斯算子平方的倍数。
信谊d拉普拉斯= @(u)拉普拉斯(u,[x,y]);扩大(d *拉普拉斯(拉普拉斯(u)))
Ans (x, y) =