행렬 회전 및 변환

이 예제에서는 Symbolic Math Toolbox™와 행렬을 사용하여 3차원으로 회전 및 변환을 수행하는 방법을 보여줍니다.

파라미터 곡면을 정의하고 플로팅하기

파라미터 곡면x(u,v),y(u,v),z(u,v)를 다음과 같이 정의합니다.

symsuvx = cos(u)*sin(v); y = sin(u)*sin(v); z = cos(v)*sin(v);

fsurf를 사용하여 곡면을 플로팅합니다.

fsurf(x,y,z) axisequal

Figure contains an axes object. The axes object contains an object of type parameterizedfunctionsurface.

회전 행렬 만들기

x축,y축,z축을 중심으로 각도t로 평면 회전을 나타내는 3×3 행렬Rx,Ry,Rz를 만듭니다.

symstRx = [1 0 0;0 cos(t) -sin(t); 0 sin(t) cos(t)]

Rx =
                  
                    $(\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos (t) & - \sin (t) \\ 0 & \sin (t) & \cos (t) \end{array})$

Ry = [cos(t) 0 sin(t); 0 1 0; -sin(t) 0 cos(t)]

Ry =
                  
                    $(\begin{array}{c} \cos (t) & 0 & \sin (t) \\ 0 & 1 & 0 \\ - \sin (t) & 0 & \cos (t) \end{array})$

Rz = [cos(t) -sin(t) 0; sin(t) cos(t) 0; 0 0 1]

Rz =
                  
                    $(\begin{array}{c} \cos (t) & - \sin (t) & 0 \\ \sin (t) & \cos (t) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$

3차원에서 각 축을 중심으로 회전하기

먼저 곡면을x축을 중심으로 시계 반대 방향으로 45도 회전합니다.

xyzRx = Rx*[x;y;z]; Rx45 = subs(xyzRx, t, pi/4); fsurf(Rx45(1), Rx45(2), Rx45(3)) title('Rotating by \pi/4 about x, counterclockwise') axisequal

Figure contains an axes object. The axes object with title R o t a t i n g blank b y blank pi / 4 blank a b o u t blank x , blank c o u n t e r c l o c k w i s e contains an object of type parameterizedfunctionsurface.

z축을 중심으로 시계 방향으로 90도 회전합니다.

xyzRz = Rz*Rx45; Rx45Rz90 = subs(xyzRz, t, -pi/2); fsurf(Rx45Rz90(1), Rx45Rz90(2), Rx45Rz90(3)) title('Rotating by \pi/2 about z, clockwise') axisequal

Figure contains an axes object. The axes object with title R o t a t i n g blank b y blank pi / 2 blank a b o u t blank z , blank c l o c k w i s e contains an object of type parameterizedfunctionsurface.

y축을 중심으로 시계 방향으로 45도 회전합니다.

xyzRy = Ry*Rx45Rz90; Rx45Rz90Ry45 = subs(xyzRy, t, -pi/4); fsurf(Rx45Rz90Ry45(1), Rx45Rz90Ry45(2), Rx45Rz90Ry45(3)) title('Rotating by \pi/4 about y, clockwise') axisequal

Figure contains an axes object. The axes object with title R o t a t i n g blank b y blank pi / 4 blank a b o u t blank y , blank c l o c k w i s e contains an object of type parameterizedfunctionsurface.

스케일 및 회전하기

z축을 따라 인자를 3으로 하여 곡면을 스케일링합니다.z에 대한 표현식에 3을 곱할 수 있습니다(z = 3*z). 보다 일반적인 접근 방식은 스케일링 행렬을 만든 다음 이 스케일링 행렬에 좌표 벡터를 곱하는 것입니다.

S = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 3]; xyzScaled = S*[x; y; z]

xyzScaled =
                  
                    $(\begin{array}{c} \cos (u) \sin (v) \\ \sin (u) \sin (v) \\ 3 \cos (v) \sin (v) \end{array})$

fsurf(xyzScaled(1), xyzScaled(2), xyzScaled(3)) title('Scaling by 3 along z') axisequal

Figure contains an axes object. The axes object with title Scaling by 3 along z contains an object of type parameterizedfunctionsurface.

스케일링된 곡면을x축,y축,z축을 중심으로 시계 방향으로 45도 회전합니다. 이때z,y,x의 순서로 회전하십시오. 이 변환에 대한 회전 행렬은 다음과 같습니다.

R = Rx*Ry*Rz

R =
                  
                    $\begin{array}{l} (\begin{array}{c} {\cos (t)}^{2} & - \cos (t) \sin (t) & \sin (t) \\ σ_{1} & {\cos (t)}^{2} - {\sin (t)}^{3} & - \cos (t) \sin (t) \\ {\sin (t)}^{2} - {\cos (t)}^{2} \sin (t) & σ_{1} & {\cos (t)}^{2} \end{array}) \\ where \\ σ_{1} = \cos (t) {\sin (t)}^{2} + \cos (t) \sin (t) \end{array}$

회전 행렬을 사용하여 새로운 좌표를 구합니다.

xyzScaledRotated = R*xyzScaled; xyzSR45 = subs(xyzScaledRotated, t, -pi/4);

곡면을 플로팅합니다.

fsurf(xyzSR45(1), xyzSR45(2), xyzSR45(3)) title('Rotating by \pi/4 about x, y, and z, clockwise') axisequal

Figure contains an axes object. The axes object with title R o t a t i n g blank b y blank pi / 4 blank a b o u t blank x , blank y , blank a n d blank z , blank c l o c k w i s e contains an object of type parameterizedfunctionsurface.

회전 행렬`R`의 속성 확인하기

회전 행렬은 직교 행렬입니다. 따라서R의 전치는 역행렬이기도 하며R의 행렬식은 1입니다.

simplify(R.'*R)

ans =
                  
                    $(\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$

simplify(det(R))

ans =
                   $1$