微分方程和线性代数GyD.F4y2Ba

1.1:微分方程概述GyD.F4y2Ba线性方程包括GyD.F4y2Bady / dtGyD.F4y2Ba=GyD.F4y2Bay, dy / dtGyD.F4y2Ba= -GyD.F4y2Bay, dy / dtGyD.F4y2Ba=GyD.F4y2Ba2泰GyD.F4y2Ba．这个方程GyD.F4y2Bady / dtGyD.F4y2Ba=GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba*GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba是非线性的。GyD.F4y2Ba

1.2:你需要的微积分GyD.F4y2Ba求和法则，乘积法则和链式法则会从的导数得到新的导数GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba^N.GyD.F4y2Ba，罪（GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba),GyD.F4y2BaE.GyD.F4y2Ba^XGyD.F4y2Ba．微积分基本定理说，积分是导数的倒数。GyD.F4y2Ba

1.4b:响应指数输入，exp(s*t)GyD.F4y2Ba指数输入,GyD.F4y2BaE.GyD.F4y2Ba^{圣GyD.F4y2Ba}，从外部和指数增长，GyD.F4y2BaE.GyD.F4y2Ba^{在GyD.F4y2Ba}从内部看，解y(t)是两个指数的组合。GyD.F4y2Ba

1.4c:输入振荡响应，cos(w*t)GyD.F4y2Ba振荡输入COS（ΩGyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba)产生具有相同频率ω(和相移)的振荡输出。GyD.F4y2Ba

1.4d任意输入q(t)的解GyD.F4y2Ba解线性一阶方程，将每个输入相乘GyD.F4y2Ba问(s)GyD.F4y2Ba通过它的增长因素和综合这些产出GyD.F4y2Ba．GyD.F4y2Ba

1.4e:阶跃函数和脉冲函数GyD.F4y2Ba单位阶跃函数从0跳跃0到1。它的斜率是Δ函数：零点除外，跳转无限。GyD.F4y2Ba

1.5:复指数响应，exp(i*w*t) = cos(w*t)+ isin (w*t)GyD.F4y2Ba对于线性方程，解GyD.F4y2Baf =GyD.F4y2Bacos(ωGyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba）是解决方案的真实部分GyD.F4y2Baf = eGyD.F4y2Ba^{我ωtGyD.F4y2Ba}．那种复杂的解决方案具有幅度GyD.F4y2BaGGyD.F4y2Ba(获得)。GyD.F4y2Ba

1.6:常数速率的积分因子，aGyD.F4y2Ba整合因素GyD.F4y2BaE.GyD.F4y2Ba^{——GyD.F4y2Ba}乘以微分方程，y ' =ay+q，得到的导数GyD.F4y2BaE.GyD.F4y2Ba^{——GyD.F4y2Ba}可以集成了。GyD.F4y2Ba

1.6b:变化率积分因子a(t)GyD.F4y2Ba变化的利率的积分提供了增长解决方案(银行余额)的指数。GyD.F4y2Ba

1.7：物流方程GyD.F4y2Ba当GyD.F4y2Ba——GyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Ba减缓生长并使方程式非线性，解决方案接近稳定状态GyD.F4y2Bay (GyD.F4y2Ba∞GyD.F4y2Ba) = a / b。GyD.F4y2Ba

1.7c:稳态的稳定性和不稳定性GyD.F4y2Ba稳态解可以是稳定的，也可以金宝搏官方网站是不稳定的——一个简单的测试就可以决定。GyD.F4y2Ba

1.8:可分离变量方程GyD.F4y2Ba可分离方程可以通过两个单独的积分来求解，一个在GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba另一个在GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba．最简单的是GyD.F4y2Bady / dt = yGyD.F4y2Ba,当GyD.F4y2Bady / yGyD.F4y2Ba=GyD.F4y2BaDT.GyD.F4y2Ba．然后ln (GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba) =GyD.F4y2Bat + CGyD.F4y2Ba．GyD.F4y2Ba

2.1：二阶方程GyD.F4y2Ba对于无阻尼无强迫的振动方程，所有解具有相同的固有频率。金宝搏官方网站GyD.F4y2Ba

2.1b:强迫谐波运动GyD.F4y2Ba与强迫GyD.F4y2BaFGyD.F4y2Ba= cos(ωGyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba)，特解为GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba* cos(ωGyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba）.但如果强制频率等于自然频率存在共振。GyD.F4y2Ba

2.3：未经裁减的动议GyD.F4y2Ba常系数微分方程的基本解是指数函数金宝搏官方网站GyD.F4y2BaE.GyD.F4y2Ba^{圣GyD.F4y2Ba}．指数GyD.F4y2BaS.GyD.F4y2Ba解决了一个简单的等式，如GyD.F4y2Ba作为GyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Ba+ b + C = 0GyD.F4y2Ba．GyD.F4y2Ba

2.3c:脉冲响应和阶跃响应GyD.F4y2Ba脉冲响应GyD.F4y2BaGGyD.F4y2Ba为当力为脉冲(脉冲函数)时的解。这也解决了具有非零初始条件的空方程（无力）。GyD.F4y2Ba

2.4:指数响应-可能的共振GyD.F4y2Ba当固有频率与强迫频率等指数内外匹配时，就会发生共振。GyD.F4y2Ba

2.4b:带阻尼的二阶方程GyD.F4y2Ba阻尼强迫方程有一个特解GyD.F4y2Bay = GGyD.F4y2Bacos(ωGyD.F4y2Bat -GyD.F4y2Baα)。阻尼比提供了对零解的洞察。金宝搏官方网站GyD.F4y2Ba

2.5:电气网络:电压和电流GyD.F4y2Ba电流在RLC回路周围的流动求解一个有系数的线性方程GyD.F4y2BaL.GyD.F4y2Ba(电感),GyD.F4y2BaR.GyD.F4y2Ba(电阻),GyD.F4y2Ba1 / CGyD.F4y2Ba（GyD.F4y2BaCGyD.F4y2Ba=电容)。GyD.F4y2Ba

2.6待定系数法GyD.F4y2Ba具有常系数和特殊强迫项(的幂GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba如余弦/正弦，指数)，特解也有同样的形式。GyD.F4y2Ba

2.6b:待定系数法的一个例子GyD.F4y2Ba该方法对力和解也同样适用金宝搏官方网站GyD.F4y2Ba(在GyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Ba【答案】cGyD.F4y2Ba^{圣GyD.F4y2Ba}:代入方程求GyD.F4y2BaA，B，CGyD.F4y2Ba．GyD.F4y2Ba

2.6c:参数的变化GyD.F4y2Ba把空的解决方案金宝搏官方网站GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba_1GyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba_2GyD.F4y2Ba与系数GyD.F4y2BaCGyD.F4y2Ba_1GyD.F4y2Ba（t）GyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BaCGyD.F4y2Ba_2GyD.F4y2Ba（t）GyD.F4y2Ba求任意的特解GyD.F4y2Baf (t)。GyD.F4y2Ba

2.7:拉普拉斯变换:一阶方程GyD.F4y2Ba将线性微分方程中的每一项变换成一个代数问题。然后你可以把代数解转换回ODE解，GyD.F4y2Bay (t)GyD.F4y2Ba．GyD.F4y2Ba

2.7b:拉普拉斯变换:二阶方程GyD.F4y2Ba二阶导数变换为GyD.F4y2BaS.GyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba代数问题涉及传递函数GyD.F4y2Ba1 / (GyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Ba+ b + C)。GyD.F4y2Ba

2.7c:拉普拉斯变换和卷积GyD.F4y2Ba当力是脉冲δ时GyD.F4y2Ba（t）GyD.F4y2Ba，脉冲响应为GyD.F4y2Bag (t)GyD.F4y2Ba．当力是GyD.F4y2Baf (t)GyD.F4y2Ba，响应是“卷积”的GyD.F4y2BaFGyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BaG。GyD.F4y2Ba

3.1:解决方案图片金宝搏官方网站GyD.F4y2Ba的方向场GyD.F4y2Bady / dt = f (t, y)GyD.F4y2Ba有带坡度的箭头吗GyD.F4y2BaFGyD.F4y2Ba每一点GyD.F4y2BaT，Y.GyD.F4y2Ba．箭头沿着Isocline躺着。GyD.F4y2Ba

3.2：阶段平面图片：源，水槽马鞍GyD.F4y2Ba金宝搏官方网站二阶方程的解可以趋近于无穷或零。鞍点包含一个正的和一个负的指数或特征值。GyD.F4y2Ba

3.2b:相平面图片:螺旋和中心GyD.F4y2Ba具有纯振荡的虚指数在相平面上提供了一个“中心”。这一点GyD.F4y2Ba(y, dy / dt)GyD.F4y2Ba围绕着椭圆形行事。GyD.F4y2Ba

3.2C：两个第一阶方程：稳定性GyD.F4y2Ba二阶方程给出了两个第一阶方程GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba和GyD.F4y2Bady / dtGyD.F4y2Ba．这个矩阵变成了一个同伴矩阵。GyD.F4y2Ba

3.3:临界点线性化GyD.F4y2Ba临界点是常数解GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba微分方程GyD.F4y2Bay ' = f (y)GyD.F4y2Ba．附近,GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba…的标志GyD.F4y2Badf / dyGyD.F4y2Ba决定稳定还是不稳定。GyD.F4y2Ba

3.3b：y'= f（y，z）和z'= g（y，z）的线性化GyD.F4y2Ba对于两个方程，临界点有GyD.F4y2Baf（y，z）GyD.F4y2Ba= 0且GyD.F4y2Bag (Y, Z)GyD.F4y2Ba= 0。在这些常数解附近，两个线性化的方程使用了金宝搏官方网站偏导数的2 × 2矩阵GyD.F4y2BaFGyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BaGGyD.F4y2Ba．GyD.F4y2Ba

3.3C：特征值和稳定性：2乘2矩阵，aGyD.F4y2Ba两个方程式GyD.F4y2Bay'= ayGyD.F4y2Ba是稳定(解接近零)时的迹金宝搏官方网站GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba是负的，而行列式是正的。GyD.F4y2Ba

3d: 3d的翻滚盒GyD.F4y2Ba一个在空中的盒子可以围绕它的最长和最短的轴旋转。它在中轴附近剧烈地翻滚。GyD.F4y2Ba

5.1:矩阵a的列空间GyD.F4y2Ba一个GyD.F4y2BaM.GyD.F4y2Ba经过GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Ba矩阵GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba有GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Ba各列GyD.F4y2BaR.GyD.F4y2Ba^M.GyD.F4y2Ba．获取这些列的所有组合Av就得到列空间-的一个子空间GyD.F4y2BaR.GyD.F4y2Ba^M.GyD.F4y2Ba．GyD.F4y2Ba

5.4:独立性、基础和维度GyD.F4y2Ba如果它们的组合跨越整个子空间并且是独立的，则V 1至V D是子空间的基础：没有基础载体是其他基础。Dimension D =基础向量的数量。GyD.F4y2Ba

5.5:线性代数的大图GyD.F4y2Ba一个矩阵产生4个子空间——列空间、行空间(相同维数)、垂直于所有行的向量空间(零空间)和垂直于所有列的向量空间。GyD.F4y2Ba

图5.6:GyD.F4y2Ba一个图GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Ba节点连接GyD.F4y2BaM.GyD.F4y2Ba边(其他边可能缺失)。这对于互联网、大脑、管道系统等等都是一个有用的模型。GyD.F4y2Ba

5.6B：图的发病矩阵GyD.F4y2Ba的关联矩阵GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba每个边都有一行，包含-1和+1来显示两个节点(两列GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba)由这条边连接。GyD.F4y2Ba

6.1:特征值和特征向量GyD.F4y2Ba特征向量GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba乘以矩阵时保持方向不变(GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba=GyD.F4y2BaλGyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba）.一个GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2BaXGyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Ba矩阵GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Ba特征值。GyD.F4y2Ba

6.2:对角化矩阵GyD.F4y2Ba如果它有矩阵可以是对角线化的GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Ba独立的特征向量。对角线矩阵λis的特征值矩阵。GyD.F4y2Ba

6.2b:幂、A^n和马尔可夫矩阵GyD.F4y2Ba整个思想GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba=GyD.F4y2BaV.GyD.F4y2BaΛGyD.F4y2BaV.GyD.F4y2Ba^1GyD.F4y2Ba同时斜向移动GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba^N.GyD.F4y2Ba=GyD.F4y2BaV.GyD.F4y2BaΛGyD.F4y2Ba^N.GyD.F4y2BaV.GyD.F4y2Ba^1GyD.F4y2Ba．GyD.F4y2Ba

6.3：解决线性系统GyD.F4y2BaD.GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba/ dt =一个GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba包含解决方案金宝搏官方网站GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba= eGyD.F4y2Ba^{λt.GyD.F4y2Ba}XGyD.F4y2Ba在哪里GyD.F4y2BaλGyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba是一个特征值/特征向量对GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba．GyD.F4y2Ba

6.4:矩阵指数，exp(A*t)GyD.F4y2Ba解的最短形式使用矩阵指数GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba= eGyD.F4y2Ba^{在GyD.F4y2Ba}yGyD.F4y2Ba（0）GyD.F4y2Ba．矩阵GyD.F4y2BaE.GyD.F4y2Ba^{在GyD.F4y2Ba}有特征值GyD.F4y2BaE.GyD.F4y2Ba^{λt.GyD.F4y2Ba}特征向量GyD.F4y2Ba一种。GyD.F4y2Ba

6.4b：类似的矩阵，a和b = m ^（ - 1）* a * mGyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BaB.GyD.F4y2Ba如果是“类似”GyD.F4y2BaB.GyD.F4y2Ba=GyD.F4y2BaM.GyD.F4y2Ba^{－1GyD.F4y2Ba}是GyD.F4y2Ba对于一些矩阵GyD.F4y2BaM.GyD.F4y2Ba．GyD.F4y2BaB.GyD.F4y2Ba然后有相同的特征值GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba．GyD.F4y2Ba

对称矩阵，实特征值，正交特征向量GyD.F4y2Ba对称矩阵都GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Ba垂直特征向量和GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Ba真正的特征值。GyD.F4y2Ba

6.5b:二阶方程组，y " +Sy=0GyD.F4y2Ba振荡方程GyD.F4y2BaD.GyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Bay / dtGyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Ba+ sy =GyD.F4y2Ba0有GyD.F4y2Ba2 nGyD.F4y2Ba金宝搏官方网站解决方案（阳孔和余弦）。金宝搏官方网站解决方案使用特征向量GyD.F4y2Ba年代。GyD.F4y2Ba

7.2：正定矩阵，s = a'aGyD.F4y2Ba一个正定矩阵S有正的特征值，正的支点，正的行列式，正的能量vGyD.F4y2Ba^T.GyD.F4y2BaSv对于每个向量v, S = AGyD.F4y2Ba^T.GyD.F4y2Ba如果一个有独立的列，A总是积极的。GyD.F4y2Ba

7.2B：奇异值分解，SVDGyD.F4y2BaSVD分解每个矩阵GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba转化成一个正交矩阵GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba乘以一个对角矩阵Σ(奇异值)乘以另一个正交矩阵VGyD.F4y2Ba^T.GyD.F4y2Ba：旋转时间拉伸时间旋转。GyD.F4y2Ba

7.3:边界条件代替初始条件GyD.F4y2Ba二阶方程可以改变它的初始条件GyD.F4y2Bay (0)GyD.F4y2Ba和GyD.F4y2Bady / dt (0)GyD.F4y2Ba到边界条件GyD.F4y2Bay (0)GyD.F4y2Ba和GyD.F4y2Bay (1)GyD.F4y2Ba．GyD.F4y2Ba

7.4:拉普拉斯方程GyD.F4y2Ba∂GyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Bau /GyD.F4y2Ba∂GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Ba+GyD.F4y2Ba∂GyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Bau /GyD.F4y2Ba∂GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Ba= 0GyD.F4y2Ba描述圆、方或任何平面区域内的温度分布。GyD.F4y2Ba

8.1:傅里叶级数GyD.F4y2Ba傅里叶级数分离周期函数GyD.F4y2BaF (x)GyD.F4y2Ba为所有基函数cos(无穷)的组合GyD.F4y2Banx)GyD.F4y2Ba和罪恶(GyD.F4y2Banx)GyD.F4y2Ba．GyD.F4y2Ba

8.1b：傅立叶系列的例子GyD.F4y2Ba偶数函数只使用余弦函数(GyD.F4y2BaF (- x) = F (x)GyD.F4y2Ba)和奇函数只使用正弦函数。系数GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba_N.GyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BaB.GyD.F4y2Ba_N.GyD.F4y2Ba来自于积分GyD.F4y2BaF (x)GyD.F4y2Bacos (GyD.F4y2BanxGyD.F4y2Ba),GyD.F4y2BaF (x)GyD.F4y2Basin (GyD.F4y2BanxGyD.F4y2Ba）.GyD.F4y2Ba

8.1c:拉普拉斯方程的傅里叶级数解GyD.F4y2Ba在圆内，解GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba（GyD.F4y2BaR.GyD.F4y2Baθ)结合GyD.F4y2BaR.GyD.F4y2Ba^N.GyD.F4y2Bacos (GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Baθ),GyD.F4y2BaR.GyD.F4y2Ba^N.GyD.F4y2Basin (GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Baθ）。边界解决方案结合了傅立叶系列中的所有条目以匹配边界条件。GyD.F4y2Ba

8.3:热方程GyD.F4y2Ba热方程∂GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba/∂GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba=∂GyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba/∂GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Ba从温度分布开始GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba在GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba= 0并跟随它GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba> 0因为它很快变得光滑。GyD.F4y2Ba

8.4:波动方程GyD.F4y2Ba波动方程∂GyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba/∂GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Ba=∂GyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba/∂GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Ba展示了波浪是如何沿着GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba轴，从波形开始GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba(0)及其速度∂GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba/∂GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba（0）。GyD.F4y2Ba