如何找到合适的频率轴当我们把一个函数的傅里叶变换?

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2 nor_kh 2022年6月22日

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//www.tatmou.com/matlabcentral/answers/1746065-how-to-find-the-right-frequency-axis-when-we-take-the-fourier-transform-of-a-function

编辑: 保罗 2022年6月26日

答:接受保罗

我想知道如何找到正确的频率轴当我傅里叶变换。要明确,我们知道sinc函数,我们有以下的长度之间的关系sinc函数及其傅里叶(矩形函数):

基于这一事实,每一次我试着不同的频率axix最后我找到正确的一个。但实际上,我仍然不知道如何找到正确的轴。这是一个简单的函数,我已经知道了函数的长度及其transforemed但对其他功能我不知道正确的频率轴。

任何帮助将不胜感激

接受的答案

保罗 2022年6月22日

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//www.tatmou.com/matlabcentral/answers/1746065-how-to-find-the-right-frequency-axis-when-we-take-the-fourier-transform-of-a-function answer_991480

编辑:保罗 2022年6月23日

嗨Donya,

默认情况下,频率变量傅里叶在符号数学工具箱在rad /秒。

此外,Matlab的定义 sinc 在SMT sinc (x) =罪(π* x) /(π* x)。

所以例子的问题有:

                              信谊tωf t真实
                             
                              s (t, t) = sinc (2 * t / t);
                             
                              S_omega(ω,T) =简化(傅里叶(s (T, T), T,ω));

现在,如果我们想要表达的CTFT赫兹

S_f (f, T) =简化(S_omega(2 *符号(π)* f T))

S_f (f, T) =

现在做一些情节T = 2

图

fplot (s (t, 2), 3[3]),网格

包含(“t (sec)”)

图

fplot (S_f (f, 2), 3[3]),网格

包含(“f (Hz)”)

如预期和符合情节的问题,s (t)的mainlobe t的跨度CTFT跨越1 1 / t / t。

看到傅里叶和 sympref 更多discusson SMT如何参数化CTFT及其逆,以及如何控制参数化。

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2 nor_kh 2022年6月24日

我的问题是更多的理论基础。我认为,在绘制正确的频率轴傅里叶函数,我们应该奈奎斯特频率作为参数。

多次尝试和改变参数后,我终于可以写代码给我长度我正在寻找,我将分享在这个评论。

这是三个月,我开始研究信号处理,所以我需要知道什么是背后的理论之间的关系x轴的傅里叶转换函数在时域。

关闭所有;

清晰的所有;

Fs = 80;%的界线率

Ts = 1 / f;

t = 1: Ts / 2:1;

N =长度(t);

f = 5;

残雪= sinc (t * f);

图;

情节(t, cx);

包含(“时间”);

ylabel (“级”);

% ff =傅里叶(cx (t, f));

财政年度= (fft (cx));

dx = (t(结束)- t (1)) / (n - 1);%时间增量

《= 1 / (2 * Ts);%奈奎斯特频率

df = 1 / (N * Ts);%的频率增加

如果国防部(N, 2) = = 0% N是偶数

k =界线:df: Nyq-df;

其他的% N是奇数

k = [(1 * (df: df:界线))(0:df:界线)];

结束

% fr = (- (n - 1) / 4:0.5: (n - 1) / 4);使用这一个或k

图;

情节(k, fftshift (abs(年度)));

包含('频率t ^ {1}”);

ylabel (“级”);

保罗 2022年6月24日

至少有三个不同的傅里叶变换的兴趣:连续时间傅里叶变换(CTFT),离散时间傅里叶变换(DTFT)和离散傅里叶变换(DFT)。奈奎斯特频率的问题没有提到,我认为这是关于CTFT和回答。但现在对DFT的明显问题是真的。

它看起来像有一个错误在发布代码

清晰的所有;

Fs = 80;%的界线率

Ts = 1 / f;

t = 1: Ts / 2:1;

N =长度(t);

f = 5;

残雪= sinc (t * f);

图;

情节(t, cx);

包含(“时间”);

ylabel (“级”);

% ff =傅里叶(cx (t, f));

财政年度= (fft (cx));

dx = (t(结束)- t (1)) / (n - 1);%时间增量

尼奎斯特freuqency 1/2采样频率。在上面的代码中,采样频率是1 / (Ts / 2),所以应该把

                                   %的界线= 1 / (2 * Ts);%奈奎斯特频率
                                  
                                   对于那些= 1 / (2 * Ts / 2);%奈奎斯特频率

类似,df应该计算的采样频率,也就是1 / (Ts / 2)

% df = 1 / (N * Ts);%的频率增加

df = 1 / (N * Ts / 2);%的频率增加

如果国防部(N, 2) = = 0% N是偶数

k =界线:df: Nyq-df;

其他的% N是奇数

k = [(1 * (df: df:界线))(0:df:界线)];

结束

% fr = (- (n - 1) / 4:0.5: (n - 1) / 4);使用这一个或k

图;

情节(k, fftshift (abs(年度)));

包含('频率t ^ {1}”);

ylabel (“级”);

-10 xlim ([10])

我强烈建议symbots Ts和Fs用于抽样分别暴涨和采样频率,我相信这是标准符号,国际海事组织,使得分析更加清晰。这个更新和其他一些修改我们的代码

清晰的所有;

Fs = 160;%采样频率

Ts = 1 / f;%采样周期

t = 1: Ts: 1;

N =元素个数(t);%元素个数推荐而不是长度

f = 5;

残雪= sinc (t * f);

图;

情节(t, cx);

包含(“时间”);

ylabel (“级”);

财政年度= (fft (cx));

对于那些= f / 2;%奈奎斯特频率采样频率的1/2

% dx = (t(结束)- t (1)) / (n - 1);%时间增量,应该重命名dt,但是不习惯

%显示不使用冒号和df跨步,坚持结肠与单位的跨步

如果国防部(N, 2) = = 0% N是偶数

k = ((- N / 2): ((N - 2) / 2)) / N * Fs;

其他的% N是奇数

k = ((- (N - 1) / 2): ((N - 1) / 2)) / N * Fs;

结束

图;

情节(k, fftshift (abs(年度)));

包含('频率t ^ {1}”);

ylabel (“级”);

-10 xlim ([10])

保罗 2022年6月25日

编辑:保罗 2022年6月25日

也许一个不同的例子会更清晰如何计算频率向量

我们感兴趣的信号是一个正弦波周期P

P = 0.1;

让采样周期

Ts = P / 10;

因此,采样频率(赫兹)

Fs = 1 / Ts;

定义一个向量样本,通过Ts间隔

                                   N = 50;
                                  
                                   t = (0: (n - 1)) * Ts;

计算正弦波的样品在样品的时间

y =罪(2 *π/ P * t);

计算FFT和应用fftshift ()

                                   Y = fft (Y);
                                  
                                   Y = fftshift (Y);

计算相关的频率向量在赫兹fftshifted Y的样本。

注意频率向量只取决于样本的数目和采样频率,而不是信号本身,所以不管我们使用正弦,或sinc等等。

                                   如果国防部(N, 2) = = 0% N是偶数
                                  
                                   k = ((- N / 2): ((N - 2) / 2)) / N * Fs;
                                  
                                   其他的% N是奇数
                                  
                                   k = ((- (N - 1) / 2): ((N - 1) / 2)) / N * Fs;
                                  
                                   结束

现在情节

图

情节(k, abs (Y),“o”)、网格

参照线(1 / P,“r”)

xlim (15 [-15])

包含(的频率(赫兹))

我们看到,FFT峰值频率的正弦波(1 / P)。

保罗 2022年6月25日

在谈论正常化之前,我想指出的另一个问题需要考虑。我们现在的代码是正确的策划DFT的振幅。然而,阶段情节是不正确的。原因是DFT(由fft实现())假定时域样本从n = 0开始,但在我们的例子中样本的残雪开始在一些n值< 0。所以我们需要使用fft的财产转移到正确的输出()(我们还ccould使用ifftshfit(),这将是更好的对于这个问题)。

这是代码来说明

清晰的所有;

Fs = 160;%采样频率

Ts = 1 / f;%采样周期

t = 1: Ts: 1;

N =元素个数(t);%元素个数推荐而不是长度

f = 5;

残雪= sinc (t * f);

%图;

%的阴谋(t, cx);

%包含(的时间);

% ylabel(级);

财政年度= (fft (cx));

对于那些= f / 2;%奈奎斯特频率采样频率的1/2

如果国防部(N, 2) = = 0% N是偶数

k = ((- N / 2): ((N - 2) / 2)) / N * Fs;

其他的% N是奇数

k = ((- (N - 1) / 2): ((N - 1) / 2)) / N * Fs;

结束

图;

情节(k, abs (fftshift(年度)));

包含('频率t ^ {1}”);

ylabel (“级”);

-10 xlim ([10])

图

情节(k,图像放大(fftshift(年度)))

我们看到,财政年度的虚部是零,这种情况我们不应该期望一个矩形函数。

但是如果我们正确的财政年度的适当的相移,我们得到了预期的结果与图像放大(年度)= 0(上)

N0残雪的转变,使得fft()基于输入

N0 =圆(t (1) / Ts)

N0 = 160

=年度财政年度。* exp (1 j * (0: (N - 1) / N * 2 *π* N0);

图

情节(k,图像放大(fftshift(年度)))

我以后会回来和应对问题规范化。

保罗 2022年6月26日

编辑:保罗 2022年6月26日

对于DFT系数正常化,我们应该把他们向量的长度,

而不是“正常化”,我感谢一个更好的词是“扩展”。Whether or not we "should" scale the DFT coefficients depends on a) what we want the DFT coefficients to represent, and b) how the DFT is defined for the particular implementation being used.

一个动机DFT系数除以输入向量的长度,N,可以说明如下。再次考虑正弦波的情况下时间P和我们的DFT域样本5期。

P = 0.1;

Ts = P / 10;

Fs = 1 / Ts;

N = 50;

t = (0: (n - 1)) * Ts;

y =罪(2 *π/ P * t);

图

茎(t, y)

计算FFT和应用fftshift ()

                                   Y = fft (Y);
                                  
                                   Y = fftshift (Y);

计算相关的频率向量在赫兹fftshifted Y的样本。

                                   如果国防部(N, 2) = = 0% N是偶数
                                  
                                   k = ((- N / 2): ((N - 2) / 2)) / N * Fs;
                                  
                                   其他的% N是奇数
                                  
                                   k = ((- (N - 1) / 2): ((N - 1) / 2)) / N * Fs;
                                  
                                   结束

现在情节

图

茎(k, abs (Y)),网格

xlim (15 [-15])

包含(的频率(赫兹))

我们看到,使用 Matlab的fft()实现 ,+ -10 Hz的DFT振幅25。假设现在我们想把这些DFT系数和重建原5周期的正弦波。我们知道的DFT系数用复指数形式exp (1 j * 2 *π* k * n * Ts)。注意,n * t = t,在这种情况下,我们只需要担心k = -10 k = 10。fftshift之后,Y(21)对应于k = -10和Y (31) k = 10

yrecon = Y (21) * exp (1 j * 2 *π* (-10)* t) + Y (31) * exp (1 j * 2 *π* 10 * t);

图

茎(t, yrecon)

这个情节是一样的,除了振幅太高的50倍,这并非巧合是N的值

                                   N
                                  
                                     N = 50

所以,如果我们想要重建正弦波,我们可以把Y除以N

Y = Y / N;

图

茎(k, abs (Y))

yrecon = Y (21) * exp (1 j * 2 *π* (-10)* t) + Y (31) * exp (1 j * 2 *π* 10 * t);

图

茎(t, yrecon)

缩放×N后,DFT系数amplitide 1/2的正弦波。

另一种方法来重建正弦波是除以N的而不是扩展DFT coeffeicients重建方程

                                   Y = Y * N;%回到原来的DFT
                                  
                                   yrecon = (1 / N) * (Y (21) * exp (1 j * 2 *π* (-10)* t) + Y (31) * exp (1 j * 2 *π* 10 * t));

我们不会因为我们知道它会是什么样子。

现在的documenation寻找 fft ,特别是对传输线方程。我们看到这个方程包括前面的1 / N因子求和的复指数,完全按照上面的立即yrecon方程所示。

总之,使用Matlab的实现fft /传输线,您可以扩展DFT系数从fft输出1 / N如果你想让他们成为“一致”在某种意义上的振幅指数,将用于重建信号。我认为一些人称之为“振幅比例。”IMO, I don't think you should ever explicitly scale Y by N, i.e., do not do

Y = fft (Y) / N

因为你忘记以后的运行风险分析塞尔Y是缩放和别的东西不工作,例如,传输线(Y)收益率错误的答案如果你忘了结果乘以N .相反,只是根据需要除以N的动态,例如,

情节(k.abs (Y / N)

如果你决定你想看到“振幅比例系数。

DTFT, CTFT和DFT都是彼此相关的,所以如果你改变DFT的定义扩展1 / N,你可能需要重新考虑如何维持relationshihp CTFT以及DTFT如果希望所有三个相互一致。

最后,在你做任何扩展你真正需要知道的DFT定义特定的软件你使用。正如我们所看到的,Matlab尺度DFT和1和iDFT的1 / N(我认为本公约是很常见的)。然而,唯一的要求是,产品是1 / N,所以其他的s / w可能DFT总和的1 / N比例因子和统一比例因子iDFT的总和(或1 /√(N)在两个!)。在这种情况下,很明显,你不想Y除以N。

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