估计Option-Implied资产定价的概率分布

资产的性能预测和量化不确定性与这样的预测是一项艰巨的任务:一个经常被观察到的市场数据的短缺更加困难。

最近,有兴趣从中央银行使用观察选项用于创建预期的价格数据,尤其是时期金融不确定性[1],[2]。电话,看跌期权的资产受到了市场认为,资产将如何执行。本文介绍了MATLAB的工作流^®用于创建一个资产的性能预测,从相对稀缺的期权价格数据观察市场。这个工作流的主要步骤是:

• 从市场数据计算隐含波动率
• 创建额外的使用SABR插值数据点
• 估计隐含概率密度
• 模拟未来资产价格
• 呈现扇形图预测的不确定性

风扇图传达信息在一个可访问的图形形式,使金融专业人士交流他们的预测投影和不确定性非专业人士的观众(图1)。

本文中使用MATLAB代码可用下载。

从市场数据计算隐含波动率

分析师面临一个关键的挑战是获得少量的洞察市场数据可用。一种技术用于创建额外的数据点插值(K,σ)讨论,K是执行价格和σ是资产的波动性。使用这种技术,我们首先必须从市场数据计算隐含波动率。

我们假设,至少,我们可以观察到罢工号召对价格(或strike-put价格对)对于一个给定的资产,而且我们也知道潜在的资产价格,无风险利率、到期时间的选择。我们将这些数据存储在一个MATLAB表使用以下符号(图2)。

• K -执行价格($)
• C -赎回价格($)
• P -把价格($)
• T -期权的到期时间(年)
• rf -无风险利率(十进制数的区间[0,1])
• S -基础资产价格($)

当我们插值(K,σ)讨论,资产波动,σ,测量作为一个十进制数的区间[0,1]。我们开始通过分析称价格数据分别通过计算布莱克-斯科尔斯隐含波动率使用金融工具箱™函数blsimpv:

D。sigmaCall = blsimpv (D。年代,D。K, D。射频,D。T, D。C [] [] [], {“电话”});

阴谋的结果显示,该数据集,最高的波动与相对应的端点的数据失效时间T = 0.25(图3),情节也表明波动增长随着罢工的价格远离一些中心值,这似乎是接近标的资产价格= 100。

创建额外的数据点

有几种方法可以用于生成额外的点(K,σ)讨论。更简单的方法包括拟合二次函数为每一个失效时间数据,或者使用interp1构造三次样条函数interpolants。我们选择使用SABR插值来创建额外的数据点,因为这种技术通常可以得到更精确的结果端点的数据集。

SABR模型的四个参数随机波动模型[3]所使用的金融专业人士来适应波动率微笑命名,由此产生的曲线的形状。在MATLAB拟合波动微笑是一个两步的过程。首先,我们校准SABR模型使用lsqnonlin解算器的优化工具箱™。这个校准最小化标准观测数据之间的差异和候选人SABR微笑,导致一个向量SABR模型最优参数。其次,我们使用最优参数与金融工具的工具箱™函数blackvolbysabr在需要插入价格范围的罢工。

SABR技术是有效的甚至把尴尬的数据对应的失效时间T = 0.25(图4)。

估计隐含概率密度

在插值(K,σ)讨论,我们获得足够的数据来估计隐含价格密度函数在每一个失效时间。为此我们使用计算财政原则由布里登和Litzenberger[4],即概率密度函数f (K)的资产的价值在时间T的第二偏导数成正比资产赎回价格C = C (K)。

我们第一次转换数据的原始域((K、C)讨论)为每一个失效时间使用blsprice功能:

T0 =独特(D.T);S =个终身制(1);射频= D.rf (1);为k = 1:元素个数(T0) newC (:, k) = blsprice(年代,fineK,射频,T0 (k), sigmaCallSABR (:, k));结束

在这里,fineK是一个向量定义的范围用于插值和价格sigmaCallSABR使用SABR插值矩阵创建的列包含每个到期的插值波动率微笑呀。”

然后我们计算数值偏导数的执行价格。这在MATLAB使用可以有效地完成diff函数。

dK = diff (sampleK);Cdash = diff (newC)。/ repmat (dK 1大小(newC 2));Cddash = diff (Cdash)。/ repmat (d2K 1大小(Cdash 2));

我们也使用逻辑索引删除假负值时出现不必要的工件的这个过程。由此产生的曲线为每一个失效时间显示,随着失效时间的增加,功能变得不那么完整(图5)。我们需要推断这些函数之前,我们可以使用它们来估计隐含概率密度,因为他们不定义功能齐全价格范围的罢工的兴趣。

扩展定义这些函数的完整执行价格领域我们创建一个线性interpolant使用适合函数曲线拟合工具箱™。是那么容易推断从这个interpolant覆盖感兴趣的范围。

为k = 1:元素个数(T0) pdfFitsCall {k} =适合(pdfK, approxCallPDFs (:, k),“线性”);结束

在这里,pdfK是一个向量定义所需的行权价格和范围approxCallPDFs是一个矩阵存储隐含的近似密度为每一个失效时间在其列。推断和正常化每个函数下的面积,以确保我们有有效的概率密度函数,得到隐含密度(图6)。注意分配模式逐渐向上移动随着到期时间的增加,和似乎有增加的趋势波动。

模拟未来资产价格

既然我们已经完成了资产价格的概率分布在未来所有的时间我们可以随机从每个分布建立一个预测样本矩阵。我们需要从一个给定的随机样本(替代)范围的资产价格根据前一步中定义的概率分布。这个模拟实现使用很简单randsample从统计和机器学习的工具箱™函数。

nSamples = 1 e3;priceSimCall =南(元素个数(T0) nSamples);为k = 1:元素个数(T0) priceSimCall (k,:) = randsample (fitKCall {k}, nSamples,真的,fitValsCall {k});结束

上面的MATLAB代码预分配矩阵priceSimCall中每一行代表一个未来的时间和每一列代表一个随机资产价格来自相应的概率分布。循环遍历每一个未来的时间,每个迭代的创建一个行priceSimCall矩阵通过随机抽样从适当的分布。第一个输入参数randsample是fitKCall {k},一个向量包含资产价格的随机样本。第二个输入参数,nSamples所需的样本数量,第三(真正的我们想和替代样本)指定。第四个输入参数fitValsCall {k}是使用的概率分布randsample函数绘图时的随机样本。注意,在这个应用程序中使用顺序执行的独立计算为循环可以并行使用parfor构造。对于更大的数据集,并行规模允许应用程序很容易,只要多核处理可用于计算。

创建一个扇形图

扇形图通常用于情节的预计未来演化时间序列与不确定性相关的预测价值。金融工具箱提供了一个fanplot函数用于创建扇形图。这个函数需要两个输入:历史数据和预测数据。我们定义的历史数据作为只是一个点与相应的资产价格在时间T = 0 = 100,但如果我们有历史数据的资产价格,那么我们可以把他们在这里。

历史= [0 S];

预测数据包括到期时间与模拟的结果在前一步骤中执行。

forecastCall = (T0, priceSimCall);

然后我们创建粉丝与调用图fanplot函数。

forecastCall fanplot(历史)

中央线风扇图表示中位数轨迹,和每个乐队的边缘代表不同分位点的预测模拟矩阵(图7),与乐队最接近中央线指示越有可能的结果。在我们的示例中,有一个预测资产价格上升趋势,我们预计,随着时间的推移预测的不确定性增加。

假设和进一步改善

改善最终预测的准确性,我们可以将更多的数据点。我们还可以修改工作流程符合概率分布而不是使用外推法来完成隐含密度函数的定义,尽管这可能引入不必要的分布假设。这是一个好主意使用把价格数据重复这个过程。平均预测创建的调用,把风扇的价格数据结果图如图1所示。这样平均倾向于消除小波动,和反偏见引起的工作只有一个类型的价格数据。

注意整个工作流可以使用MATLAB脚本自动计算隐含波动率,创造额外的数据点通过插值,隐含概率密度估计,模拟未来资产价格前生成一个风扇图表来显示结果。