从系列:微分方程和线性代数
马萨诸塞州理工学院吉尔伯特斯特朗(麻省理工学院)
二阶方程给出了两个一阶方程y和dy / dt.这个矩阵变成了一个同伴矩阵。
好的。关于二阶稳定性,恒系数方程的第三个视频。但我们将在此前进到矩阵。所以这是一个相当特殊的视频。所以这是我们熟悉的等式。我拿到了一个to b1,我只是分开了一个。没问题。
这是一个二阶方程。但我们知道如何把它转换成两个一阶方程。它们在这里。这是两个方程。这是一个2 × 2矩阵。我来读一下上面的方程。dy / dt = 0y + 1dy / dt。这个方程很简单。等于Dy / dt。
第二个方程是真实的。y '的导数是y ' '这是二阶导数,等于- cy和- by '这就是我的方程y ' ',当我把- cy除以+ cy,我把- byy '除以+ byy '。我有方程了。所以这个方程和那个方程是一样的。它只是写成了一个未知的向量。它是一个由两个方程组成的方程组。
它是一个2 × 2矩阵。它叫做,这个有0和1的矩阵叫做伴矩阵。伴侣,所以这是那个的伴侣方程。
好的。不管我们对这个方程有什么了解,从指数s1和s2中,我们都能从这个方程中得到相同的信息。但是语言改变了。这就是本期视频的重点,告诉大家语言的变化。这就是它。这个问题的旧指数s1和s2,看这个视频的人都记得s的解是s²+ b + C = 0。所以s总是这样的。
它有两个根,s1和s2控制着一切,控制着稳定性。如果我用这种语言来表示,我不再称它们为s1和s2。但它们是相同的两个数。我把它们叫做特征值,一个很酷的词,一半德语一半英语,有点疯狂的词。但它已经确立了。
那些相同的数字将被称为矩阵的特征值。你看,这个问题中的矩阵是相同的。我们在这里获得了与等式相同的信息。所以那些是特征值。我可以告诉你你可能知道的东西吗?每个人都在为特征值写下Lambda,希腊兰巴州。所以我在哪里有两项指数,这里我有两个特征值。这些数字与这些数字相同。他们满足相同的等式。
当我们遇到矩阵和特征值很快,我们会看到其他矩阵的特征值。我们会看到,对于这些特定的伴矩阵,特征值解出的方程和指数解出的方程是一样的,这个二次方程s²b和C = 0。
好的。稳定,记住,稳定性是那些指数的那些指数根源的实际部分,因为那么指数具有负实的真实部分,并进入零。现在我们只是在使用,所以这是我们的旧语言。我们的新语言将是Lambda的实际部分,小于零。
稳定矩阵是特征值的实部,小于零。我们只是交换了字母s和字母的高阶方程,和两个一阶方程。好的。我做这个的时候没有。只是把和s连接起来,但是没有告诉你它自己是什么。
好的。所以让我记住。所以,我在这里迈出了进一步的一步。因为基本上我已经说了关于二阶方程的一切。我们知道稳定的条件。条件是阻尼应该是阳性的,B应该是阳性的。频率平方更好地出现正面。所以C应该是积极的。所以B阳性和C阳性是我们的矩阵的情况。
现在我刚有几分钟。那么为什么我不允许任何2个矩阵。我不会在这里给你特征值的理论。但只是建立联系。好的。所以我想建立联系。并且你记得伴侣矩阵具有特殊形式0. A为零,B为1,C是含有的大C,D含量为伴侣。
那么我早点说什么,几乎太早的关于特征值?因为我必须做得好。特征值和特征向量是方程式系统的关键。你明白系统的意思吗?这意味着未知 - 我有多个方程。
我的矩阵是2 × 2,或3 × 3,或n × n,我未知的z有2或3或n个不同的分量。这是一个向量。z是一个向量。矩阵乘以向量。这就是矩阵的作用。他们乘向量。这就是大概的情况。这是一个特别重要的案例。
所以我们可以决定稳定性。我来总结一下这个系统的稳定性。稳定性是,我要告诉你们一些关于系统解的东西。金宝搏官方网站记住z是一个向量。这是解决方案。金宝搏官方网站Z是。这是关键。这里有一个e,你期待指数。现在你期望特征值取代s。现在我们需要一个向量。我称这个向量为x1。 And this will be the eigenvector. And this is the eigenvalue.
如果我寻找该表格的解决方案,请将其进入我的等式,从而弹出特征向量的关键方程。所以再次,我把它提出,希望解决方程。而且我会发现这个载体x1应该是lambda 1次x1的次数。哦,好吧,我有很多东西可以说。
但如果它持有,如果次x1是lambda 1次x1,那么当我把它放入时,等式工作。我有一个解决方案。好吧,我有一个解决方案。当然,对于二阶的东西,我正在寻找两个解决方案。金宝搏官方网站所以完整的解决方案也将是 - 所以我可以拥有它是线性的。所以我总是可以乘以常量。然后我期待第二个,相同的形式,e到一些其他特征值,就像一些其他指数时代一些其他特征向量。
这是我的前瞻性信息,解决方案看起来是这样的。金宝搏官方网站所以我们在寻找一个特征值,以及一个特征向量。这是他们必须满足的关键方程。当我们把这个代入微分方程,使两边一致时,就得到了这个方程。这就是将要发生的事情。特征值和特征向量控制方程组的稳定性。
这就是世界主要是在看的,单一方程,一旦一段时间,而且非常,经常是一个系统。这将是告诉我们的特征值。特征值是阳性的吗?在这种情况下,我们爆炸,不稳定。特征值是负的,还是至少真正的部分是负的?这是我们居住的稳定案例。好,谢谢。
您还可以从以下列表中选择一个网站:
选择中国网站(中文或英文)以获得最佳网站性能。其他MathWorks国家站点没有针对您所在位置的访问进行优化。