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eig

特征值和特征向量

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语法

e = eig (A)
[V D] = eig (A)
[V D W] = eig (A)
e = eig (A, B)
[V D] = eig (A, B)
[V D W] = eig (A, B)
［＿＿＿balanceOption] = eig(一个)
［＿＿＿] = eig (A, B,算法)
［＿＿＿) = eig (＿＿＿, outputForm)

描述

例子

e= eig (一个）返回包含方阵特征值的列向量一个．

例子

［V，D) = eig (一个）返回对角矩阵D特征值和矩阵V哪个列是对应的右边特征向量* V = V * D．

例子

［V，D，W) = eig (一个）也返回全矩阵W哪个列是对应的左特征向量W * = D * W的．

特征值问题是要确定方程的解一个v＝λv,在那里一个是一个n——- - - - - -n矩阵,v列向量是长度的吗n,λ是一个标量。的值λ满足方程的是特征值。对应的值v满足方程的就是正确的特征向量。左特征向量,w，满足方程w”一个＝λw”。

例子

e= eig (一个，B）返回包含方阵的广义特征值的列向量一个和B．

例子

［V，D) = eig (一个，B）返回对角矩阵D广义特征值和全矩阵V哪个列是对应的右边特征向量* V = B * * D．

［V，D，W) = eig (一个，B）也返回全矩阵W哪个列是对应的左特征向量W W * = D *的* B．

广义特征值问题是确定方程的解一个v＝λBv,在那里一个和B是n——- - - - - -n矩阵,v列向量是长度的吗n,λ是一个标量。的值λ满足方程的是广义特征值。对应的值v是广义的右特征向量。左特征向量,w，满足方程w”一个＝λw”B．

［＿＿＿) = eig (一个，balanceOption）,在那里balanceOption是“nobalance”，禁用算法中的初始平衡步骤。的默认值balanceOption是“平衡”，可以实现平衡。的eig函数可以返回前面语法中的任何输出参数。

例子

［＿＿＿) = eig (一个，B，算法）,在那里算法是“胆固醇”的Cholesky分解B来计算广义特征值。的默认值算法取决于性质一个和B，但一般来说“求”，它使用QZ算法。

如果一个埃尔米特,B厄米正定，那么默认值是算法是“胆固醇”．

例子

［＿＿＿) = eig (＿＿＿，outputForm）以指定的形式返回特征值outputForm使用前面语法中的任何输入或输出参数。指定outputForm作为“向量”返回列向量或作为的特征值“矩阵”以返回对角矩阵的特征值。

例子

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打开生活的脚本

使用画廊来建立一个对称的正定矩阵。

一个=画廊(“黄土”4)
一个=4×41.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.5000 1.0000 0.6667 0.5000 0.3333 0.6667 1.0000 0.7500 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000

计算的特征值一个．结果是一个列向量。

e = eig (A)
e =4×10.2078 0.4078 0.8482 2.5362

另外,使用outputForm以返回对角矩阵的特征值。

D = eig (,“矩阵”）
D =4×40.2078 0 0 0 0.4078 0 0 0 0.8482 0 0 0 2.5362
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使用画廊来创建一个循环矩阵。

一个=画廊(“线性”3)
一个=3×31 2 3 3 1 2 2 3 1

计算的特征值和右特征向量一个．

[V D] = eig (A)
V =3×3复杂-0.5774 + 0.00000 i -0.5774 + 0.00000 i -0.5774 + 0.00000 i -0.2887 + 0.5000i -0.2887 - 0.5000i
D =3×3复杂6.0000 + 0.00000 i 0.0000 + 0.00000 i 0.0000 + 0.00000 i -1.5000 + 0.8660i

验证结果是否满足要求* V = V * D．

* V - V * D
ans =3×3复杂10-14年× -0.2665 + 0.00000 i -0.0888 - 0.0111i -0.0888 + 0.0111i -0.0888 + 0.00000 i - 0.0833i -0.0444 + 0.00000 i -0.1157 + 0.0666i -0.1157 - 0.0666i

理想情况下，特征值分解满足这种关系。自eig然后使用浮点计算执行分解* V充其量，能接近吗V * D．换句话说,* V - V * D接近，但不完全是0．

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默认情况下eig并不总是按照排序的顺序返回特征值和特征向量。使用排序函数将特征值按升序排列并重新排列相应的特征向量。

计算5 × 5幻方矩阵的特征值和特征向量。

=魔法(5)
一个=5×517 24 18 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9
[V D] = eig (A)
V =5×50.4472 0.0976 -0.6330 0.6780 -0.2619 -0.4472 0.3525 0.5895 0.3223 -0.1732 -0.4472 0.3915 -0.5501 0.4415 -0.4472 -0.3223 0.1732 -0.3525 -0.5895 -0.4472 -0.6780 0.2619 -0.0976
D =5×560.000 0000 0 -21.2768 0000 -13.1263 000

的特征值一个在的对角线上D．然而，特征值是未排序的。

从的对角线提取特征值D使用诊断接头(D)，然后将得到的向量按升序排序。来自排序返回由索引组成的排列向量。

位于[d] =排序(诊断接头(d))
d =5×113.1263 13.1263 21.2768 65.0000
印第安纳州=5×12 .单词conduct联想记忆

使用印第安纳州的对角线元素重新排序D．因为特征值在D对应于的列中的特征向量V的列也必须重新排序V使用相同的索引。

Ds = D(印第安纳州)
Ds =5×5-13.1263 0000 13.1263 000 21.2768 000 65.0000
Vs = V(:,印第安纳州)
和=5×50.0976 -0.6330 -0.2619 0.6780 -0.4472 0.3525 0.5895 -0.1732 0.3223 -0.4472 0.3915 0.3915 -0.5501 -0.4472 -0.3223 0.1732 -0.5895 -0.3525 -0.4472 -0.6780 0.2619 0.6330 -0.0976 -0.4472

这两个(V, D)和(Vs Ds)的特征值分解一个．的结果* V-V * D和* Vs-Vs * Ds同意，直到四舍五入错误。

e1 =规范(* V-V * D);e2 =规范(* Vs-Vs * Ds);E = abs(e1 - e2)
e = 1.2622 e-29
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创建一个3 × 3矩阵。

A = [1 7 3;2 9日12;5 22 7];

计算正确的特征向量，V特征值,D，和左特征向量，W．

[V D W] = eig (A)
V =3×30.2610 -0.9734 0.1891 -0.5870 0.2281 -0.5816 -0.7663 -0.0198 0.7912
D =3×325.5548 0 0 0 -0.5789 0 0 0 -7.9759
W =3×3-0.1791 -0.9587 -0.1881 -0.8127 0.0649 -0.7477 -0.5545 0.2768 0.6368

验证结果是否满足要求W * = D * W的．

W * A - D * W的
ans =3×310-13年× -0.0266 -0.2132 -0.1243 0.0056 -0.0286 -0.0072 -0.0022 0 -0.0178

理想情况下，特征值分解满足这种关系。自eig然后使用浮点计算执行分解W”*充其量，能接近吗D * W '．换句话说,W * A - D * W的接近，但不完全是0．

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创建一个3 × 3矩阵。

A = [3 10 0;0 3 1;0 0 3];

计算的特征值和右特征向量一个．

[V D] = eig (A)
V =3×31.0000 -1.0000 1.0000 0 0.000 -0.0000 0 0.000
D =3×33 0 0 0 3 0 0

一个有重复的特征值特征向量不是独立的。这意味着一个是不可对角化的，因此是有缺陷的。

验证V和D满足的方程,* V = V * D,即使一个是有缺陷的。

* V - V * D
ans =3×310－15× 0 0.8882 0.8882 00 0.0000 00

理想情况下，特征值分解满足这种关系。自eig然后使用浮点计算执行分解* V充其量，能接近吗V * D．换句话说,* V - V * D接近，但不完全是0．

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创建两个矩阵,一个和B，然后求解该对的特征值和右特征向量的广义特征值问题(A, B)．

A =[1/根号(2)0;0 1];B = [0 1;1 /√(2)0];[V D] = eig (A, B)
V =2×2复杂1.0000 + 0.000 i 0.000 + 0.000 i 0.000 - 0.7071i 0.000 + 0.7071i
D =2×2复杂1.000 + 1.000 i + 0.000 i + 0.000 i + 0.000 i + 0.000 i

验证结果是否满足要求* V = B * * D．

* V - B * * D
ans =2×20 0 0 0

剩余误差* V - B * * D就是零。

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创建一个条件不良的对称矩阵，包含接近机器精度的值。

格式长eA = diag([10^-16, 10^-15])
一个=2×20.1000 00 1.0000

用默认算法计算广义特征值和一组右特征向量。在本例中，默认算法为“胆固醇”．

(V1, D1) = eig (,)
V1 =2×21.0000 00 0.3162
D1 =2×21.0000 00 1.0000

现在，计算广义特征值和一组右特征向量使用“求”算法。

(V2, D2) = eig(一个,“求”）
V2 =2×21 0 0 1
D2 =2×21 0 0 1

检查“胆固醇”结果满足* V1 =一个* * D1．

格式短* V1 - * * D1
ans =2×210-23年× 0.1654 0 0 -0.6617

现在，检查一下“求”结果满足一个* V2 * * V2 = D2．

* V2 - * V2 * D2
ans =2×20 0 0 0

当两个矩阵都是对称的，eig使用“胆固醇”默认的算法。在这种情况下，QZ算法返回更准确的结果。

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创建一个2 × 2的单位矩阵，一个，和奇异矩阵，B．

一个=眼(2);B = [3 6;4 8];

如果你试图计算矩阵的广义特征值 B - 1 一个 使用命令[V D] = eig (B \)，则MATLAB®返回一个错误，因为B \生产正值。

相反，计算广义特征值和右特征向量通过传递两个矩阵eig函数。

[V D] = eig (A, B)
V =2×2-0.7500 -1.0000
D =2×20.0909 0 0 Inf

最好是分别传递两个矩阵，让eig选择最好的算法来解决问题。在这种情况下,eig (A, B)返回一组特征向量和至少一个真实特征值，即使B是不可逆的。

验证 一个 v ＝ λ B v 对于第一个特征值和第一个特征向量。

eigval = D (1,1);eigvec = V (: 1);* eigvec——eigval * B * eigvec
ans =2×110－15×0.1110 - 0.2220

理想情况下，特征值分解满足这种关系。由于分解是使用浮点计算来执行的，那么A * eigvec充其量，能接近吗eigval * B * eigvec，就像这个例子一样。

输入参数

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输入矩阵，指定为实方阵或复方阵。

数据类型:双|单
复数的支持:金宝app是的

广义特征值问题输入矩阵，指定为实值或复值的方阵。B必须和一个．

数据类型:双|单
复数的支持:金宝app是的

余额选项，指定为:“平衡”，以实现初步的平衡步骤，或“nobalance”禁用它。在大多数情况下，平衡步骤可以提高身体素质一个以产生更准确的结果。然而，在某些情况下，平衡会产生不正确的结果。指定“nobalance”当一个包含比例差异很大的值。例如,如果一个包含非零整数以及非常小(接近零)的值，那么平衡步骤可能会缩放这些小值，使它们与整数一样重要，从而产生不准确的结果。

“平衡”是默认行为。有关平衡的更多信息，请参见平衡．

广义特征值算法，具体为“胆固醇”或“求”，它选择用于计算一对广义特征值的算法。

算法 描述
“胆固醇” 计算的广义特征值一个和B用乔尔斯基分解B．
“求” 使用QZ算法，也称为广义舒尔分解。该算法忽略了对称一个和B．

一般来说，这两种算法返回相同的结果。QZ算法在某些问题上更稳定，比如那些涉及条件差矩阵的问题。

当你省略算法参数,eig函数根据属性选择算法一个和B．它使用“胆固醇”对称(厄米特)算法一个对称(厄密)正定B．否则，它使用“求”算法。

不管你指定的算法是什么eig函数总是使用QZ算法一个或B不对称的。

特征值的输出格式，指定为“向量”或“矩阵”．此选项允许您指定特征值是以列向量还是对角矩阵的形式返回的。默认行为根据指定的输出数量不同:

  • 如果指定一个输出，例如e = eig (A)，则默认情况下特征值作为列向量返回。

  • 如果指定两个或三个输出，例如[V D] = eig (A)，则特征值以对角矩阵的形式返回，D默认情况下,。

例子:D = eig (A,“矩阵”)返回带有一个输出语法的特征值对角矩阵。

输出参数

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特征值，返回为包含多重特征值(或一对的广义特征值)的列向量。每个特征值e (k)对应于右边的特征向量V (:, k)和左特征向量W (:, k)．

右特征向量，作为方阵返回，其列是的右特征向量一个或者对的广义右特征向量，(A, B)．的形式和规范V取决于输入参数的组合:

  • [V D] = eig (A)收益矩阵V，它的列向量是的正确特征向量一个这样* V = V * D．的特征向量V标准化，使每个的2范数为1。

    如果一个是真实的对称的，埃尔米特,或斜厄密，然后是正确的特征向量V正交。

  • [V D] = eig (A,“nobalance”)还返回矩阵V．然而，每个特征向量的2范数不一定是1。

  • [V D] = eig (A, B)和[V D] = eig (A, B,算法)返回V作为一个矩阵，它的列是满足的广义右特征向量* V = B * * D．每个特征向量的2范数不一定是1。在这种情况下,D包含对的广义特征值，(A, B)，沿着主对角线。

    当eig使用“胆固醇”对称(厄密)算法一个对称(厄密)正定B，它将特征向量标准化V这样B-每个的norm是1。

不同的机器和发布的MATLAB®可以产生不同的特征向量，在数值上仍然准确:

  • 对于实特征向量，特征向量的符号可以改变。

  • 对于复特征向量，特征向量可以乘以任意复数，大小为1。

  • 对于一个多重特征值，它的特征向量可以通过线性组合重新组合。例如,如果一个x＝λx和一个y＝λy,然后一个（x+y) =λ（x+y）,所以x+y也是的特征向量一个．

特征值，返回为带有特征值的对角矩阵一个在主对角线或特征值上，(A, B)，在主对角线上。每个特征值D (k, k)对应于右边的特征向量V (:, k)和左特征向量W (:, k)．

的左特征向量，返回为方阵，其列为的左特征向量一个或者对的广义左特征向量，(A, B)．的形式和规范W取决于输入参数的组合:

  • [V D W] = eig (A)收益矩阵W，它的列是的左特征向量一个这样W * = D * W的．的特征向量W标准化，使每个的2范数为1。如果一个是对称的,然后W是一样的V．

  • [V D W] = eig (A,“nobalance”)还返回矩阵W．然而，每个特征向量的2范数不一定是1。

  • [V D W] = eig (A, B)和[V D W] = eig (A, B,算法)返回W作为一个矩阵，其列是满足的广义左特征向量W W * = D *的* B．每个特征向量的2范数不一定是1。在这种情况下,D包含对的广义特征值，(A, B)，沿着主对角线。

    如果一个和B是对称的,然后W是一样的V．

不同的机器和发布MATLAB可以产生不同的特征向量，仍然是数值准确的:

  • 对于实特征向量，特征向量的符号可以改变。

  • 对于复特征向量，特征向量可以乘以任意复数，大小为1。

  • 对于一个多重特征值，它的特征向量可以通过线性组合重新组合。例如,如果一个x＝λx和一个y＝λy,然后一个（x+y) =λ（x+y）,所以x+y也是的特征向量一个．

更多关于

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对称矩阵

  • 一个方阵,一个，是对称的，如果它等于它的非共轭转置，一个=。．

    用矩阵元素来表示，这意味着

    一个 我 ， j ＝ 一个 j ， 我 ．

  • 由于实矩阵不受复共轭的影响，所以对称的实矩阵也是厄米矩阵。例如，矩阵

    一个 ＝ ［ 1 0 0 2 1 0 1 0 1 ］

    既是对称的又是厄密的。

斜对称的矩阵

  • 一个方阵,一个，是斜对称的，如果它等于它的非共轭转置的负，=——”。．

    用矩阵元素来表示，这意味着

    一个 我 ， j ＝ − 一个 j ， 我 ．

  • 由于实矩阵不受复共轭的影响，因此斜对称的实矩阵也是斜厄密矩阵。例如，矩阵

    一个 ＝ ［ 0 − 1 1 0 ］

    是斜对称的和斜厄密的。

埃尔米特矩阵

  • 一个方阵,一个，是厄米矩阵，如果它等于它的复共轭转置，=“．

    用矩阵元素来表示，这意味着

    一个 我 ， j ＝ 一个 ¯ j ， 我 ．

  • 厄米矩阵对角线上的项总是实数。由于实矩阵不受复共轭的影响，所以对称的实矩阵也是厄米矩阵。例如，矩阵

    一个 ＝ ［ 1 0 0 2 1 0 1 0 1 ］

    既是对称的又是厄密的。

  • 厄米矩阵的特征值是实数。

斜厄密矩阵

  • 一个方阵,一个，是斜厄米矩阵，如果它等于它的复共轭转置的负，一个=——'．

    用矩阵元素来表示，这意味着

    一个 我 ， j ＝ − 一个 ¯ j ， 我 ．

  • 斜厄密矩阵对角线上的项总是纯虚数或零。由于实矩阵不受复共轭的影响，因此斜对称的实矩阵也是斜厄密矩阵。例如，矩阵

    一个 ＝ ［ 0 − 1 1 0 ］

    是斜厄米矩阵和斜对称的。

  • 斜厄密矩阵的特征值是纯虚数或零。

提示

  • 的eig函数可以计算实对称稀疏矩阵的特征值。为了计算一个稀疏矩阵的特征向量，或者计算一个非实的对称稀疏矩阵的特征值，使用eigs函数。

兼容性的考虑

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行为在R2021b中改变

扩展功能

另请参阅

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