您不能包含这些约束Quadprog.．困难是限制的离散性。此外，虽然混合整数线性编程求解器确实处理了离散的约束，但它没有地解决二次​​目标函数。

该示例构造了一系列满足约束的MILP问题，并且越来越近似二次目标函数。虽然此技术适用于此示例，但它可能不适用于不同的问题或约束类型。

首先建模约束。

建模离散限制

$$x$$资产配置分数的向量，与 $$0\le .x（我）\le .1$$对于每一个人 $$我$$．为了模拟投资组合中的资产数量，你需要指标变量 $$v$$这样 $$v（我）＝0$$什么时候 $$x（我）＝0$$, $$v（我）＝1$$什么时候 $$x（我）>0$$．要获得满足此限制的变量，请设置 $$v$$向量是二进制变量，并施加线性约束

这些不平等都强化了这一点 $$x（我）$$和 $$v（我）$$同时都是零，他们也强制执行吗 $$f米我n\le .x（我）\le .f米\mathrm{一个}x$$每当 $$x（我）>0$$．

此外，为了加强对投资组合中资产数量的约束，施加线性约束

客观和连续的线性近似

首先配制，您尝试最大化目标函数。但是，所有优化工具箱™索盘最小化。因此，为最小化目标的负面制定问题：

这个目标函数是非线性的。MILP求解器需要一个线性目标函数。有一种标准的方法可以将这个问题转化为线性目标和非线性约束的问题。引入一个松弛变量 $$z$$来表示二次项。

当您迭代地解决MILP近似时，您包括新的线性约束，每个线性约束近似于当前点附近的非线性约束。特别是 $$x＝x_0+\mathrm{\delta .}$$在哪里 $$x_0$$是一个常数矢量和 $$\mathrm{\delta .}$$是一个可变矢量，对约束的一阶泰勒近似值是

更换 $$\mathrm{\delta .}$$通过 $$x-x_0$$给

对于每个中间溶液 $$x_k$$引入一个新的线性约束 $$x$$和 $$z$$作为上面表达式的线性部分：

它的形式是 $$\mathrm{一个}x\le .b$$， 在哪里 $$\mathrm{一个}＝2x_k^T问$$，有一个 $$-1$$乘数的 $$z$$术语和 $$b＝x_k^T问x_k$$．

这种向问题添加新的线性约束的方法称为切割平面方法。有关详细信息，请参阅J. E. Kelley，Jr.“用于解决凸面的纤维化方法。”J. SoC。犹苹果。数学。卷。8，4，第4页，第403-712号，1960年12月。

MATLAB®问题公式化

为了表达优化问题：

加载问题的数据。该数据在向量中有225个预期返回值r以及225 × 225矩阵中收益的协方差问．数据与在POSTFOLIO优化问题上使用二次编程中的数据相同。

负载port5r = mean_return;q =相关性。*（stddev_return * stddev_return'）;

设置资产的数量N．

n =长度（r）;

创建问题变量、约束和目标

创建连续变量xvars表示资产配置部分，二元变量vvars代表是否关联xvars是零或严格阳性的，zvar代表 $$z$$变量，一个正标量。

xvars = Optimvar（'xvars'N 1'indowbound'，0，“UpperBound”1);vvars = optimvar (“vvars”N 1'类型'，'整数'，'indowbound'，0，“UpperBound”1);zvar = optimvar (“zvar”，1，'indowbound', 0);

所有的下界2 n + 1问题中的变量为零。的上限xvars和yvars变量是一个，而且zvar没有上界。

设置解决方案中的资产数量在100到150之间。将此约束合并到表单中的问题中，即

通过写出两个线性约束:

m = 150;m = 100;qpprob = OptimProblem（'ObjectiveSense'，'最大化'）;qppro . constraints .mconstr = sum(vars) <= M;qpprob.Constraints。米constr2 = sum(vvars) >= m;

包括半连续约束。采取最小的非零部分资产0.001对于每个资产类型，最大分数0．05．

fmin = 0.001;fmax = 0.05;

包括不平等 $$x（我）\le .f米\mathrm{一个}x（我）＊v（我）$$和 $$f米我n（我）＊v（我）\le .x（我）$$．

qpprob.constraints.fmaxconstr = xvars <= fmax * vvars;qpprob.constraints.fminconstr = fmin * vvars <= xvars;

包括投资组合100％投入的约束，意思 $$\sigma .x_{我}＝1$$．

qpprob.constraints.Allin = Sum（xvars）== 1;

设置风险厌恶系数 $$\mathrm{\lambda .}$$到100.．

λ= 100;

定义目标函数 $$r^{T}x-\mathrm{\lambda .}z$$并在问题中包含它。

qpprob。Objective = r'*xvars - lambda*zvar;

解决这个问题

为了迭代地解决问题，首先用当前的约束条件来解决问题，这些约束条件还没有反映出任何线性化。

选择= optimoptions (@intlinprog,'展示'，'离开'）;％抑制迭代显示[xlinint，fval，extflagint，输出] =求解（qpprob，'选项'，选项）;

为迭代准备一个停止条件：停止时停止变量 $$z$$是在真实二次值的0.01%之内。

thediff = 1e-4;iter = 1;%迭代计数器资产= xLinInt.xvars;truequadratic =资产' * Q *资产;zslack = xLinInt.zvar;

保留计算的真正二次和松弛变量的历史记录。设置更严格的公差而不是默认值，以帮助迭代会聚到正确的解决方案。

历史= [truequadratic, zslack];选择= optimoptions(选项,“LPOptimalityTolerance”，1e-10，“RelativeGapTolerance”1 e-8......“ConstraintTolerance”1 e-9“IntegerTolerance”1 e-6);

计算二次和松弛值。如果它们不一样，再加一个线性约束，然后再解一次。

每个新的线性约束 $$\mathrm{一个}x\le .b$$来自线性近似

在你找到一个新解之后，在旧解和新解之间使用一个线性约束。金宝搏官方网站这种包含线性约束的启发式方法比简单地采用新解更快。要使用这个解决方案而不是中途启发式，请注释下面的“中途”行，并取消注释下面的行。

而Abs ((zslack - truequadratic)/truequadratic％相对错误constr = 2 *资产'* q * xvars  -  zvar <=资产'* q *资产;newname = ['迭代'num2str (iter)];qpprob.Constraints。(新名称)=若干;％解决了新约束的问题[xlinint，fval，extflagint，输出] =求解（qpprob，'选项'，选项）;资产=（资产+ Xlinint.xvars）/ 2;从之前到当前的％中途%资产= xLinInt(xxars);%使用前一行或这一行truequadratic = xlinint.xvars'* q * xlinint.xvars;zslack = xLinInt.zvar;历史= [历史;真正的，zslack];iter = iter + 1;结束

检查解决方案和收敛速率

绘制松弛变量和目标函数的二次部分的历史，看看它们是如何收敛的。

情节（历史）传奇（“二次”，'松弛'）Xlabel（'迭代号'） 标题（'二次和线性近似（松弛）'）

MILP解决方案的质量是什么？的输出结构包含该信息。在解决方案的目标上检查内部计算的界限之间的绝对差距。

disp（output.absolutegap）

0

绝对间隙为零，表明MILP解决方案是准确的。

绘制最优分配图。使用xlinint.xvars.， 不是资产,因为资产使用中途更新时可能无法满足约束。

栏(xLinInt.xvars)网格在Xlabel（'资产索引'）ylabel（'投资比例'） 标题（'最优资产配置'）

您可以轻松地看到所有非零资产分配都在半连续界限之间 $$f米我n＝0．001$$和 $$f米\mathrm{一个}x＝0．05$$．

有多少非零资产？约束是在100到150个非零资产之间。

总和(xLinInt.vvars)

ans = 100.

这种分配的预期回报是什么，以及风险调整的返回的价值？

流(预期回报率为%g，风险调整回报率为%g.\n'，......r'* xlinint.xvars，fval）

预期返回是0.000595107，风险调整的返回是-0.0360382。

通过使用专门用于FinancialToolbox®的产品组合优化专门设计的功能，可以进行更详细的分析。有关显示如何使用投资组合类直接处理半连续和基数约束的示例，请参阅具有半连续和基数约束的投资组合优化（金融工具箱）．