线性混合效应模型的参数估计- MATLAB和Simulink - MathWorks英国金宝app

线性混合效应模型的参数估计

线性混合效应模型的形式是

$y ＝ \underset{f 我 x e d}{\underset{︸}{X β}} + \underset{r 一个 n d o 米}{\underset{︸}{Z b}} + \underset{e r r o r}{\underset{︸}{ε}} ，$

在哪里

y是n-by-1响应向量n是观察的次数。
X是一个n——- - - - - -p固定后果设计矩阵。
β是一个p1固定后果向量。
Z是一个n——- - - - - -问随机设计矩阵。
b是一个问1随机向量。
ε是n观测误差向量。

随机向量,b，为误差向量，ε，假设具有以下独立先验分布:

$\begin{array}{l} b ～ N （ 0 ， σ^{2} D （ θ ））， \\ ε ～ N （ 0 ， σ {}^{2}我）， \end{array}$

在哪里D是一个对称和正半定矩阵，参数化的方差分量向量θ，我是一个n——- - - - - -n单位矩阵,σ²是误差方差。

在该模型中，估计的参数为固定效应系数β，和方差分量θ和σ²．线性混合效应模型中最常用的两种参数估计方法是极大似然法和限制极大似然法。

最大似然(ML)

最大似然估计既包括回归系数，也包括方差分量，即似然函数中的固定效应项和随机效应项。

对于上述定义的线性混合效应模型，则为响应变量的条件响应y鉴于β，b，θ,σ²是

$y | b ， β ， θ ， σ^{2} ～ N （ X β + Z b ， σ^{2} 我_{n} ）．$

的可能性y鉴于β，θ,σ²是

$P （ y | β ， θ ， σ^{2} ）＝ \int P （ y | b ， β ， θ ， σ^{2} ） P （ b | θ ， σ^{2} ） d b ，$

在哪里

$\begin{array}{l} P （ b | θ ， σ^{2} ）＝ \frac{1}{{（ 2 π σ^{2} ）}^{\frac{问}{2}}} \frac{1}{{| D （ θ ） |}^{\frac{1}{2}}} 经验值｛ - \frac{1}{2 σ^{2}} b^{T} D^{- 1} b ｝和 \\ P （ y | b ， β ， θ ， σ^{2} ）＝ \frac{1}{{（ 2 π σ^{2} ）}^{\frac{n}{2}}} 经验值｛ - \frac{1}{2 σ^{2}} {（ y - X β - Z b ）}^{T} （ y - X β - Z b ）｝． \end{array}$

假设Λ(θ)为的下三角Cholesky因子D（θ)和Δ(θ)是Λ(θ)．然后,

$D {（ θ ）}^{- 1} ＝ Δ {（ θ ）}^{T} Δ （ θ ）．$

定义

$r^{2} （ β ， b ， θ ）＝ b^{T} Δ {（ θ ）}^{T} Δ （ θ ） b + {（ y - X β - Z b ）}^{T} （ y - X β - Z b ），$

假设b^＊的价值b满足

${\frac{\partial r^{2} （ β ， b ， θ ）}{\partial b} |}_{b^{＊}} ＝ 0$

对于给定β和θ．则似然函数为

$P （ y | β ， θ ， σ^{2} ）＝ {（ 2 π σ^{2} ）}^{- \frac{n}{2}} {| D （ θ ） |}^{- \frac{1}{2}} 经验值｛ - \frac{1}{2 σ^{2}} r^{2} （ β ， b^{＊} （ β ）， θ ）｝ \frac{1}{{| Δ^{T} Δ + Z^{T} Z |}^{\frac{1}{2}}} ．$

P (y |β，θ,σ²)首先是对的最大化β和σ²对于一个给定的θ．因此，优化解金宝搏官方网站 $\overset{＾}{β} （ θ ）$ 和 ${\overset{＾}{σ}}^{2} （ θ ）$ 的函数θ．将这些解代入似然函数得到金宝搏官方网站 $P （ y | \overset{＾}{β} （ θ ）， θ ， {\overset{＾}{σ}}^{2} （ θ ））$ ．这个表达式被称为似然分析β和σ²已经被分析出来了。 $P （ y | \overset{＾}{β} （ θ ）， θ ， {\overset{＾}{σ}}^{2} （ θ ））$ 是一个函数θ，然后算法对其进行优化θ．一旦它找到最优的估计θ，对β和σ²是由 $\overset{＾}{β} （ θ ）$ 和 ${\overset{＾}{σ}}^{2} （ θ ）$ ．

ML方法处理β作为固定但未知的量时，方差成分被估计，但不考虑自由度损失估计的固定效应。这导致ML估计具有较小的偏差。然而，与REML相比，ML的一个优点是可以根据固定效应和随机效应对两个模型进行比较。另一方面，如果使用REML估计参数，则只能比较嵌套在随机效应术语中的两个具有相同固定效应设计的模型。