确切的探地雷达法
响应的实例y从一个高斯过程回归(GPR)模型可以建模为
因此,从探地雷达模型预测新数据要求:
知识的系数向量, 固定的基函数
能力评估协方差函数 对于任意的 和 ,考虑到内核参数或hyperparameters, 。
噪声方差的知识 出现的密度
也就是说,需要一个估计 , , 从数据 。
参数估计
一种方法估计参数 , , 探地雷达的模型是通过最大化的可能性 的函数 , , [1]。也就是说,如果 , , 的估计是 , , 分别,那么:
因为
边际对数似然函数如下:
在哪里 是显式的矢量基函数, 协方差函数矩阵(有关更多信息,请参见吗高斯过程回归模型)。
估计参数,首先计算的软件 ,最大化对数似然函数有关 对于给定 和 。然后使用这个估计计算 异形的可能性:
的估计 对于给定 , 是
然后, 异形日志可能是由
然后最大化的软件 异形对数似在 , 发现他们的估计。
预测
从探地雷达进行概率预测模型与已知的参数需要密度 。使用条件概率的定义,一个可以写:
找到联合密度在分子上,有必要引入潜在变量 和 对应于 , ,分别。然后,可以使用的联合分布 , , , 来计算 :
高斯过程模型假设每个响应 只取决于相应的潜变量 和特征向量 。写作 作为一个产品的条件密度和基于这样的假设:
后整合有关 ,结果只取决于 和 :
因此,
再次使用条件概率的定义,
可以写 如下:
使用的事实
和
可以重写 如下:
还可以显示
因此,所需的密度 是:
它可以显示
所需的集成和代数后,密度的新反应 在一个新的观点 ,鉴于 , 发现是
在哪里
和
预测的期望值 在一个新的观点 鉴于 , 和参数 , , 是
在哪里
计算复杂度的精确参数估计和预测
培训(当探地雷达模型准确的方法FitMethod
是“准确”
)需要的反演n——- - - - - -n内核矩阵
。这一步的内存要求尺度为O (n2)自
必须存储在内存中。一个评价
尺度为O (n3)。因此,计算复杂度是O (kn3),k是函数的数量最大化和所需的评价n是观测的数量。
新数据做出预测涉及的计算 。如果想要预测区间,这一步也可以涉及的柯列斯基因素的计算和存储 以备后用。这一步的计算复杂度使用的直接计算 是O (n3)和内存需求是O (n2)。
因此,对于大n,参数估计或计算预测可能会非常昂贵。近似计算方法通常涉及重新安排,以避免的反演n——- - - - - -n矩阵。可用近似方法,请参见相关链接在页面的底部。
引用
Rasmussen [1], c, e和c k。威廉姆斯。高斯过程机器学习。麻省理工学院出版社。马萨诸塞州剑桥,2006年。